Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 26: Khoảng cách

Câu 7.27. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách

a) Giữa hai đường thẳng AB và CD.

b) Giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (A′B′CD).

c) Từ điểm A đến đường thẳng B′D.

d) Giữa hai đường thẳng AC và BD.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì BC vuông góc với cả hai đường thẳng AB và CD

=> d(AB, C’D ) = BC' = $a\sqrt{2}$

b) Vì AC // (A′B′C'D')nên d(AC, (A'B'C'D')) = d(A, (A'B'C'D')) = AA' = a.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có $AO\perp  BD, $

Theo định lí Pythagore, áp dụng cho tam giác AA′O' vuông tại A thì AO =$\frac{a\sqrt{6}}{2}$

=> d(A,B'D')=AO'=$\frac{a\sqrt{6}}{2}$

d) Ta có: d(AC, B'D') = d(AC, (A'B'C'D')) = d(A,(A'B'C'D'))=AA'=a

Câu 7.28. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a, $SA\perp (ABC)$ và SA = 2a. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).

b) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

c) Giữa hai đường thẳng AB và SC.

Hướng dẫn trả lời:

a) Kẻ $BH\perp AC$ tại H

Có $SA\perp (ABC) $

=> $SA\perp BH,$

=> $BH\perp (SAC). $

=> d(B,(SAC)) = BH =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

b) Kẻ $AM\perp BC$ tại M và $AK\perp SM$ tại K

=> $AK\perp (SBC),$

=> d(A,(SBC)) = AK.

Có $\frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AM^{2}}=\frac{19}{12a^{2}}$

=> AK=$2a\sqrt{\frac{3}{19}}$

Vậy d(A,(SBC))=$2a\sqrt{\frac{3}{19}}$

c) Dựng hình bình hành ABCD thì AB // (SCD) và mặt phẳng (SCD) chứa SC

=> d(AB, SC) = d(AB, (SCD)). 

Mà d(AB, (SCD)) = d(A,(SCD)), 

Có d(A, (SCD) = $2a\sqrt{\frac{3}{19}} $

Vậy d(AB,SC) = $2a\sqrt{\frac{3}{19}} $

Câu 7.29. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng $60^{\circ}$, biết tam giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a khoảng cách

a) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).

b) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).

c) Giữa hai đường thẳng AB và SC.

Hướng dẫn trả lời:

a) Kẻ $SH\perp BC$ tại H 

=> $SH\perp (ABC),$

suy ra d(S,(ABC)) = SH =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

b) Kẻ HK \perp AC tại K, HQ \perp SK tại Q 

=> d(H,(SAC)) = HQ.

Có AB=$\frac{a}{2}, HK=\frac{a}{4}$ và tam giác SHK vuông tại H, 

=> HQ=$\frac{SH.HK}{SK}=\frac{a\sqrt{39}}{26}$

Có H là trung điểm của BC 

=> d(B, (SAC)) = 2d (H, (SAC))=$\frac{a\sqrt{39}}{13}$

c) Dựng hình bình hành ABMC, chứng minh được ABMC là hình chữ nhật.

=> AB // (SCM) và mặt phẳng (SMC) chứa SC

=> d(AB, SC) = d(AB, (SCM)) = d(B, (SCM)) = 2d (H, (SCM)).

Kẻ HN vuông góc với CM tại N, HE vuông góc với SN tại N 

=> $HE\perp (SCM),$

=> d(H,(SCM)) = HE. 

Ta có: HN =$\frac{BM}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

tam giác SHN vuông tại H, đường cao HE nên HE =$\frac{SH.HN}{SN}=\frac{a\sqrt{15}}{10}$

Vậy d(AB,SC)=$\frac{a\sqrt{15}}{5}$

Câu 7.30. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a, AD=$a\sqrt{2}, AA' = a\sqrt{3}$

Tính theo a khoảng cách

a) Từ điểm A đến mặt phẳng (BDDB).

b) Giữa hai đường thẳng BD và CD'.

Hướng dẫn trả lời:

a) Kẻ AH vuông góc với BD tại H.

=> $AH\perp (BB′D′D)$

=>d(A,(BB'D'D)) = AH =$\frac{AB.AD}{BD}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

b) Ta có: CD' // (A'BD)

=> d(CD',BD) = d(CD', (A'BD)) = d(C,(A'BD)).

Vì AC cắt BD tại trung điểm của AC nên d(C, (A'BD)) = d(A, (A'BD)).

Kẻ AK vuông góc với A'H tại K. 

=> $AK\perp (A′BD)$

=> d(A,(A'BD))=AK=$\frac{AH.AA'}{A'H}=\frac{a\sqrt{66}}{11}$

Vậy d(CD',BD)=$\frac{a\sqrt{66}}{11}$

Câu 7.31. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = AA' = a. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm A đến đường thẳng BC.

b) Giữa hai đường thẳng BC và AB.

Hướng dẫn trả lời:

a) Kẻ AH vuông góc với BC tại H 

=> d(A,B′C′ )= AH.

Ta có: AB' = AC' = B'C' =$ a\sqrt{2}$

=> AH =$\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy d(A, B′C′) =$\frac{a\sqrt{6}}{2}$

b) Vì BC // (AB′C)

=> d(BC, AB') = d(BC, (AB'C')) = d(C, (AB'C')).

Mà CA cắt AC tại trung điểm của CA' nên

d(C,(AB'C')) = d(A', (AB'C')).

Đặt d(A', (AB'C'))=h

=> $\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{A'A^{2}}+\frac{1}{A'B'^{2}}+\frac{1}{A'C'^{2}}=\frac{3}{a^{2}}$

=> $h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Vậy $d(BC,AB')=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Câu 7.32. Trên một mái nhà nghiêng 30° so với mặt phẳng nằm ngang, người ta dựng một chiếc cột vuông góc với mái nhà. Hỏi chiếc cột tạo với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi AB là giao tuyến của mặt phẳng mái nhà và mặt phẳng nằm ngang, AD là đường thẳng nằm trên mái nhà và vuông góc với AB, đường thẳng DE là chiếc cột vuông góc với mái nhà, đường thẳng AE nằm trên mặt phẳng nằm ngang, khi đó tam giác ADE vuông tại D, đường thẳng AE là hình chiếu vuông góc của DE trên mặt phẳng nằm ngang, mà góc DAE bằng 30° nên góc giữa hai đường thẳng DE và AE bằng 60°.

Vậy góc giữa đường thẳng DE (chiếc cột) và mặt phẳng nằm ngang bằng góc giữa hai đường DE và AE bằng $60^{\circ}.$