Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài tập cuối chương VI

A- Trắc nghiệm

Câu 6.41. Cho a là số dương. Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt{a}.\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt[6]{a}}$, ta được kết quả là 

A. a

B. $a^{2}$

C. $a^{\frac{1}{3}}$

D. $a^{\frac{1}{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: A

Câu 6.42. Cho a là số dương khác 1. Giá trị của $log_{a^{3}}a^{2}$ là

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $-\frac{2}{3}$

D. $-\frac{3}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: A

Câu 6.43. Giá trị của biểu thức $4^{log_{\sqrt{2}}3}$ là

A. $\frac{1}{3}$

B. 3

C. 81

D. 9

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: C

Câu 6.44. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến

A. $\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{x}$

B. $\left ( \frac{e}{2} \right )^{x}$

C. $\left ( \frac{\pi }{2} \right )^{x}$

D. $\left ( \frac{3}{\pi } \right )^{x}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: C

Câu 6.45. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến

A.$ log_{\sqrt{2}}x$

B. logx

C. lnx

D. $log_{\frac{e}{3}}x$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: D

Câu 6.46. Với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y=$\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}$ nằm phía trên đường thẳng y=1

A. x>0

B. x<0

C. x>1

D. x<1

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: B

Câu 6.47. Với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y=$log_{0,5}x$ nằm phía trên trục hoành

A. x>0,5

B. x<0,5

C. x>1

D. x<1

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: D

Câu 6.48. Tập nghiệm của phương trình $8^{2x-1}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}$

A. $\left \{ \frac{3}{8} \right \}$

B. $\left \{ \frac{2}{5} \right \}$

C. $\left \{ \frac{3}{4} \right \}$

D. $\left \{ \frac{2}{3} \right \}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: A

Câu 6.49. Tập nghiệm của phương trình $log_{2}[x(x-1)]=1$ là

A. $\left \{ -1\right \}$

B. $\left \{ -2 \right \}$

C. $\left \{ -1;2 \right \}$

D. $\left \{ \frac{-1-\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right \}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: C

Câu 6.50. Nghiệm của bất phương trình$\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\geq \left ( \frac{1}{4} \right )^{2}$ là

A. $x\geq 2$

B. $x\leq 2$

C. $x\geq 4$

D. $x\leq 4$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: D

Câu 6.51.  Nghiệm của bất phương trình log2(x+1)> 1 là

A. x>4

B. -1<x<4

C. $x>-\frac{1}{2}$

D. $x>\frac{e}{2}-1$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: A

Câu 6.52. Hàm số  $ln(x^{2}-2mx+1) $có tập xác định là  $\mathbb{R}$ khi

A. m=1

B. m>1 hoặc m=<-1

C. m<1

D. -1<m<1

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng: D

B - Tự luận

Câu 6.53. Tính giá trị của biểu thức

A=$2log_{4}8-3log_{\frac{1}{8}}16+4^{log_{2}3}$

Hướng dẫn trả lời:

$log_{4}8=\frac{log_{2}8}{log_{2}4}=\frac{3}{2}$

$log_{\frac{1}{8}}16=\frac{log_{2}16}{log_{2}\frac{1}{8}}=\frac{4}{log_{2}2^{-3}}=\frac{-4}{3}$

$4^{log_{2}3}=(2^{log_{2}3})^{2}=3^{2}=9$

Thay kết quả vào A ta được A=16

Câu 6.54. Giải các phương trình sau

a)$32^{\frac{x+5}{x-7}}=0,25.128^{\frac{x+17}{x-3}}$

b)$log_{2}x+log_{2}(x-1)=1$

 Hướng dẫn trả lời:

a, Điều kiện: $ \left\{\begin{matrix} x-7 \neq 0 \\ x-3 \neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\neq 7 \\x\neq 3 \end{matrix}\right.$

Ta có:

$32^{\frac{x+5}{x-7}} =0,25.128^{\frac{x+17}{x-3}}$

$\Leftrightarrow 2^{5.\frac{x+5}{x-7}} = 2^{-2}.2^{7.\frac{x+17}{x-3}}$

$\Leftrightarrow 2^{\frac{5(x+5)}{x-7}} =2^{-2+\frac{7(x+17)}{x-3}}$

$\Leftrightarrow \frac{5(x+5)(x-3)}{(x-7)(x-3)}=\frac{-2(x-7)(x-3)}{(x-7)(x-3)}+ \frac{7(x+17)(x-7)}{(x-7)(x-3)}$

$\Leftrightarrow 5(x+5)(x-3)=-2(x-7)(x-3)+7(x+17)(x-7)$

$\Leftrightarrow 5(x^{2}+2x-15)=-2(x^{2}-10x+21)+7(x^{2}+10x-119)$

$\Leftrightarrow 5x^{2} +10x-75=5x^{2}+90x-875\Leftrightarrow x=10$ ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x=10

b, Điều kiện: $\left\{\begin{matrix}x>0 \\ x-1>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0 \\ x>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>1$

Ta có: log₂x+log₂(x-1)=1 <=> log₂ [x(x-1)]=log₂2 <=> x(x-1)=2<=> x²-x-2=0 <=> (x+1)(x-2)=0 

<=> x=-1(loại) hoặc x=2 ( thỏa mãn)

Câu 6.55. Giải các bất phương trình sau

a) \left ( \frac{1}{2} \right )^{3x-1}\geq 4.2^{x}

b) 2log(x-1)> log(3-x)+1

Hướng dẫn trả lời: 

a, Ta có: $(\frac{1}{2})^{3x-1}\geq 4.2^{x}\Leftrightarrow 2^{-(3x-1)}\geq 2^{2}.2^{x}\Leftrightarrow -(3x-1)\geq 2+x\Leftrightarrow x\leq \frac{-1}{4}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $(-\infty;-\frac{1}{4}] $

b, Điều kiện: $\left\{\begin{matrix}x-1>0 \\3-x>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 1<x<3$

Ta có: 2log(x-1)²>log(3-x)+1

<=> log(x-1)²> log(3-x) + log10

<=> log(x-1)²>log10(3-x)

<=> (x-1)²>10(3-x)

<=> x²+8x-29>0 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>-4+3\sqrt{5}\\x<-4-3\sqrt{5}\end{matrix}\right. $

Kết  hợp điều kiện ta có: $-4+3\sqrt{5} <x<3 $

Vậy nghiệm của phương trình là: $(-4+3\sqrt{5};3)$

Câu 6.56. a) Vẽ đồ thị của hai hàm số $y = e^{x}$ và y = lnx trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng y = x, tức là nếu điểm M nằm trên một đồ thị thì điểm M đối xứng với M qua đường thẳng y = x sẽ nằm trên đồ thị còn lại.

Hướng dẫn trả lời:

a) Đồ thị của hai hàm số y = $e^{x}$ và y = ln x trên cùng một hệ trục toạ độ như hình sau:

b) Xét điểm $A(x_{0},e^{x_{0}} )$ nằm trên đồ thị hàm số $y = e^{x}.$

Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với đường thẳng y = x:

$d: y = -x+x_{0}+e^{x_{0}}.$

Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng y = x là điểm

$B(\frac{x_{0}+e^{x_{0}}}{2};\frac{x_{0}+e^{x_{0}}}{2} )$

Gọi A là điểm đối xứng của A qua đường thẳng y = x. Ta tìm được$ A'(e^{x_{0}}; x_{0})$

Khi đó A' thuộc đồ thị hàm số y = lnx.

Tương tự, nếu điểm $B(x_{0}; lnx_{0},)$ nằm trên đồ thị hàm số y = lnx thì ta cũng có thể tìm toạ độ của điểm B đối xứng với B qua đường thẳng y = x và chứng minh B' thuộc đồ thị hàm số $y = e^{x}$

Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

Chú ý. Tổng quát, có thể chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số $y =a^{x} và y = log_{a} x (0 < a \neq 1) $đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất (tức là đường thẳng y = x).

Câu 6.57. Cho hàm số f (x) = $log_{3}(2x + 1) – 2.$

a) Tìm tập xác định của hàm số.

b) Tính f(40). Xác định điểm tương ứng trên đồ thị hàm số.

c) Tìm x sao cho f (x)= 3. Xác định điểm tương ứng trên đồ thị hàm số.

d) Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Hướng dẫn trả lời:

f(x)=$ log_{3}(2x+1)-2.$

a) Tập xác định của hàm số là $(\frac{-1}{2}; +\infty )$

b) f(40) = $log_{3}(2·40+1)-2=2.$

Điểm tương ứng trên đồ thị hàm số là (40; 2).

c) f(x) = 3 = $log_{3}(2x+1)-2=3$

<=> $log_{3}(2x+1)=5$

<=> $2x+1=3^{5}$

<=> x = 121.

Điểm tương ứng trên đồ thị hàm số là (121, 3).

d) Gọi $A(x_{0},;0)$ là giao điểm của đồ thị hàm số f(x) = $log_{3} (2x + 1)− 2$ với trục hoành. Khi đó $log_{3} (2x_{0} + 1) – 2 = 0 $

<=>$2x_{0} + 1=9$

<=> $x_{0}=4$

Vậy giao điểm cần tìm là (4; 0).

Câu 6.58. Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là 4% thì chi phí C cho việc mua một loại hàng hoá hoặc sử dụng một dịch vụ nào đó sẽ được mô hình hoá bằng công thức: $C(t) = P(1+0,04)^{t}$ trong đó t là thời gian (tính bằng năm) kể từ thời điểm hiện tại và P là chi phí hiện tại cho hàng hoá hoặc dịch vụ đó.

Giả sử hiện tại chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô là 800 nghìn đồng. Hãy ước tính chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô sau 5 năm nữa (kết quả tính theo đơn vị nghìn đồng và làm tròn đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn trả lời:

Chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô sau 5 năm nữa là:

C(5) = $800(1+0,04)^{5} \approx  973$ (nghìn đồng).

Câu 6.59. Công thức tính khối lượng còn lại của một chất phóng xạ từ khối lượng ban đầu mẹ được cho bởi công thức.  $m(t) = m_{0}\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{T}} $ trong đó t là thời gian tính từ thời điểm ban đầu và T là chu kì bán rã của chất đó. Biết rằng chất phóng xạ polonium-210 có chu kì bán rã là 138 ngày. Từ khối lượng polonium-210 ban đầu 100 g, sau bao lâu khối lượng còn lại là:

a) 50 g?

b) 10 g?(Kết quả tính theo ngày và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn trả lời:

a) Giải phương trình $100\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{138}}=50, ta được t = 138.$

Vậy sau 138 ngày thì khối lượng polonium-210 còn 50 g.

b) Giải phương trình $100\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{138}}= 10, ta được t\approx 458,43.$

Vậy sau khoảng 458,43 ngày thì khối lượng polonium-210 còn 10 g.

Câu 6.60. Cent âm nhạc là một đơn vị trong thang lôgarit của cao độ hoặc khoảng tương đối. Một quãng tám bằng 1 200 cent. Công thức xác định chênh lệch khoảng thời gian (tính bằng cent) giữa hai nốt nhạc có tần số a và b là $n = 1200 log_{2}\frac{a}{b}$

(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008)

a) Tìm khoảng thời gian tính bằng cent khi tần số thay đổi từ 443 Hz về 415 Hz.

b) Giả sử khoảng thời gian là 55 cent và tần số đầu là 225 Hz, hãy tìm tần số cuối cùng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Khoảng thời gian giữa hai nốt nhạc khi tần số thay đổi từ 443 Hz về 415 Hz là $1 200.log_{2}\frac{443}{415} \approx  113 (cent).$

b) Giải phương trình $55 = 1200.log_{2}\frac{225}{b},ta được b\approx 218.$

Vậy tần số cuối cùng cần tìm là 218 Hz