Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 24: Phép chiếu vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Câu 7.13. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Hướng dẫn trả lời:

Kẻ $AH\perp (BCD)$ tại H

=> BH là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (BCD) 

=> Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AB và BH

mà (AB,BH) = $\widehat{ABH}$

VÌ AB = AC = AD 

=> HD = HB = HC

=> H là tâm của tam giác BCD, 

=> BH=$\frac{a\sqrt{3}}{3}$

=> $cos\widehat{ABH}=\frac{BH}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Câu 7.14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, $SA\perp  (ABCD), SA =a\sqrt{2}.$

a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $SA\perp (ABCD) $

=> AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD),

=> $\widehat{(SC,(ABCD)) }=\widehat{(SC,AC)}$

mà $\widehat{(SC,AC)} = \widehat{SCA} $

Vì tam giác SAC vuông cân tại A nên$\widehat{SCA}= 45^{\circ}. $

=> $\widehat{(SC,(ABCD)) }=45^{\circ}.$

b) Ta có: BC$\perp AB, BC\perp SA nên BC\perp (SAB),$

=> SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB)

=> góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và SB.

Ta có: (SB,SC) =$\widehat{ BSC}$

Xét tam giác SBC vuông tại B, có

SB=$\sqrt{SA^{2}+AB^{2}}=a\sqrt{3}, BC=a$

=>$ tan\widehat{BSC}=\frac{BC}{SB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Câu 7.15. Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp$ (ABC), đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, biết AB = a, $SA = a\sqrt{6}.$

a) Tính tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

b) Tính sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn trả lời:

a) Kẻ $BH\perp AC$ tại H, mà $SA\perp (ABC)$

=>$ SA\perp BH$

=> $BH\perp (SAC)$

=> SH là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAC)

=> Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SH

Mà $\widehat{(SB,SH)} = \widehat{BSH}.$

Có BH =$\frac{a\sqrt{2}}{2}, SH =\frac{a\sqrt{26}}{2}$

=> $tan \widehat{BSH}=\frac{BH}{SH}=\frac{\sqrt{13}}{13}$

b) Kẻ $AK\perp SB$ tại K, mà $BC\perp (SAB) $ 

=> $BC\perp AK$

=> $AK\perp (SBC)$

=> CK là hình chiếu vuông góc của AC trên (SBC)

=> Góc giữa đường thẳng AC và (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và CK

Mà $\widehat{(AC,CK)}=\widehat{ACK}$

Ta có: AK =$\frac{SA.AB}{SB}=a\sqrt{\frac{6}{7}}$

=>$ sin\widehat{ACK}=\frac{AK}{AC}=\sqrt{\frac{3}{7}}$

Câu  7.16. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và AA' = $a\sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A′B′C′D’) trùng với trung điểm của B'D'. Tính góc giữa đường thẳng AA′ và mặt phẳng (A′B′C′D).

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là giao điểm của A’C và BD

Ta có: A’O là hình chiếu vuông góc của AA' trên mặt phẳng (A’BCD)

Góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng góc giữa

AA' và A’O. 

Mà $\widehat{(AA',A’O)} = \widehat{AA'O}$

Có A'O=$\frac{a\sqrt{2}}{2}$

=>$ cos\widehat{AA'O}=\frac{OA'}{AA'}=\frac{1}{2}$

=> $\widehat{AA'O}=60^{\circ}$

=>$\widehat{AA',(A'B'C'D')}=60^{\circ}$

Câu 7.17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a.

a) Chứng minh rằng $SO\perp (ABCD).$

b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh SC và a là góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC). Tính $sin \alpha .$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $SO\perp AC; SO\perp BD $

=> $SO\perp (ABCD).$

b) Vì $AO\perp (SBD) $

=> SO là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBD),

=> Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO. 

Mà $\widehat{(SA,SO)} = \widehat{ASO}$

=> $\widehat{SA,(SBD)}=\widehat{ASO}. $

Xét tam giác SAC có

$SA^{2} + SC^{2}$ =$ AC^{2}$ và SA = SC 

=> Tam giác SAC vuông cân tại S

=> $\widehat{ASO} = 45^{\circ}. $

=>$\widehat{SA,(SBD)}=45^{\circ}.$ 

c) Kẻ $OK\perp BC$ tại K, $OH\perp SK$ tại H

=> $OH\perp (SBC)$

=> HM là hình chiếu vuông góc của OM trên mặt phẳng (SBC)

=> $\widehat{OM,(SBC)}=\widehat{(OM,MH)}$

mà $\widehat{(OM,MH)}=\widehat{OMH}$

=>$\widehat{OM,(SBC)}=\widehat{OMH}=\alpha $

Có OM=$\frac{a}{2}$

OK=$\frac{a}{2}$

SO=$\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Có Tam giác SOK vuông tại O, đường cao OH

=> OH=$\frac{SO.OK}{SK}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

Vì tam giác OMH vuông tại H nên $sin\alpha =sin\widehat{OMH}=\frac{OH}{OM}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Câu 7.18. Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc $60^{\circ}$. Đoạn dây diều (từ đầu ở mặt đất đến đầu ở con diều) dài 10 m. Hỏi hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất bao nhiêu centimét (lấy giá trị nguyên gần đúng)?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A là vị trí con diều, B là vị trí đầu dây diều trên mặt đất, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt đất.

Tam giác ABH vuông tại H, góc ABH bằng $60^{\circ} $và

AB=10m = 1 000 cm.

Ta có: AH = $AB - sin 60^{\circ}\approx 866$ (cm).