Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 24 Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC

Hoạt động 1 trang 38 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân.

a) Dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua phép chiếu song song nào không?

b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, liệu ta có thể quan sát được bóng của cây cột trên sân hay không?

Hướng dẫn giải

a) Bóng của cây cột trên sân phẳng có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua phép chiếu vuông góc với mặt sân. Điều này có nghĩa là nếu ta kéo một tia sáng từ đỉnh cây cột theo hướng vuông góc với mặt sân, thì bóng của cây cột sẽ xuất hiện trên mặt sân tại điểm mà tia sáng đó chạm vào mặt sân.

b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, bóng của cây cột sẽ không xuất hiện trên mặt sân vì không có tia sáng nào có thể chiếu trực tiếp lên bề mặt sân để tạo ra bóng của cây cột. Tuy nhiên, nếu có các nguồn ánh sáng khác chiếu lên sân, chẳng hạn như đèn chiếu sáng ban đêm, thì bóng của cây cột sẽ xuất hiện trên mặt sân như mô tả ở câu a.

Hoạt động 2 trang 39 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Xét b là một đường thẳng nằm trong (P). Trên a, lấy hai điểm M, N tuỳ ý. Gọi M', N tương ứng là hình chiếu của M, N trên mặt phẳng (P) (H.7.34).

a) Hình chiếu của a trên Mặt phẳng (P) là đường thẳng nào?

b) Nếu b vuông góc với M'N' thì b có vuông góc với a hay không?

c) Nếu b vuông góc với a thì b có vuông góc với M'N hay không

 Hướng dẫn giải

a) Hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P) là một đường thẳng cắt (P) tạo thành một góc bằng với góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P). Điều này có nghĩa là ta có thể lấy hai điểm P và Q bất kỳ trên đường thẳng a, rồi vẽ các đường thẳng PM', QN' lần lượt là hình chiếu của P, Q trên (P). Đường thẳng PQ sẽ là hình chiếu của a trên (P).

b) Nếu b⊥M′N′, thì b không nhất thiết phải vuông góc với a. Tuy nhiên, nếu ta vẽ đường thẳng PQ như đã mô tả ở câu a), thì b⊥PQ.

c) Nếu b⊥a, thì b không nhất thiết phải vuông góc với M'N. Tuy nhiên, ta có thể chứng minh rằng b//M′N bằng cách sử dụng tính chất của hình chiếu. Nếu b⊥a, thì b sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mặt phẳng (P) mà song song với a. Do đó, ta có thể vẽ đường thẳng AB trong (P) song song với a, rồi vẽ đường thẳng A′C⊥AB tại C. Ta có M'C // AB, nên theo tính chất của hình chiếu, ta có M'N' // AC. Vì vậy, nếu b⊥a thì b sẽ cắt M'N' tại một điểm D nằm trên AC, và do đó b // M'N'.

Luyện tập 1 trang 32 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) (H.7.36).

a) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Xác định hình chiếu của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC).

c) Chứng minh rằng nếu AO⊥BC thì SA⊥BC.

d) Xác định hình chiếu của các tam giác SBC, SCA, SAB trên mặt phẳng (ABC)

 Hướng dẫn giải

a) Ta có SA = SB = SC (điều kiện của đề bài). Khi đó, OA, OB, OC đều là hình chiếu của S lên đường thẳng (ABC) theo các đỉnh tương ứng A, B, C. Vì SA = SB = SC, ta có thể suy ra rằng OA, OB, OC đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC, CA, AB tương ứng.

Khi đó, ta có OA = OB = OC, và O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC, CA, AB, nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy, ta đã chứng minh được rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Hình chiếu của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC) là đoạn thẳng AB, vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB là một cạnh của tam giác đều ABC.

c)Nếu b⊥a thì b sẽ cắt M'N' tại một điểm D nằm trên AC, và do đó b//M′N′.

d) Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu vuông góc của S lên BC,CA,AB.

Do SA vuông góc với OM và SA song song với đường thẳng d nên d cũng vuông góc với OM. Khi đó, hình chiếu của tam giác SBC lên mặt phẳng (ABC) là tam giác có đỉnh M và đường cao là đường thẳng d.

Tương tự, ta có thể tìm hình chiếu của tam giác SCA lên (ABC) là tam giác có đỉnh N và đường cao là đường thẳng e đi qua N và song song với SB, cũng như tìm hình chiếu của tam giác SAB lên (ABC) là tam giác có đỉnh P và đường cao là đường thẳng f đi qua P và song song với SC.

2. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Hoạt động 3 trang 40 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một máy bay giữ vận tốc không đổi, với độ lớn 240km/h trong suốt 2 phút đầu kể từ khi cất cánh. Hỏi thông tin trên có đủ để ta xác định độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng, tại thời điểm 1 phút kể từ khi máy bay cất cánh không?

 Hướng dẫn giải

Độ cao của máy bay bằng cách sử dụng công thức sau:

độ cao = vận tốc x thời gian bay

Ta có vận tốc của máy bay là 240 km/h = 66,67 m/s 1 phút hoặc 60 giây.

Do đó, ta có thể tính được độ cao của máy bay như sau:

độ cao = 66.67 m/s x 60 giây = 4000 mét

Tại thời điểm 1 phút kể từ khi máy bay cất cánh là 4000 mét.

Vận dụng trang 41 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tâm Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Trong quá trình chuyển động, Trái Đất lại quay quanh trục Bắc Nam. Trục này có phương không đổi và luôn tạo với mặt phẳng chứa quỹ đạo một góc khoảng 66,5°. (Theo nationalgeographic.org).

a) Giải thích vì sao hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo (P) cũng có phương không đổi.

b) Giải thích vì sao có hai thời điểm trong năm mà tại đó hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng (P) thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất.

 Hướng dẫn giải

a) Vì trục quay của Trái Đất luôn cố định hướng về một phương cố định trong không gian, và mặt phẳng quỹ đạo cũng không thay đổi trong quá trình quay quanh Mặt Trời.

b) Trong quá trình chuyển động quanh Mặt Trời, hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo sẽ thay đổi theo thời gian và tạo thành một đường tròn có bán kính bằng góc nghiêng của trục quay so với mặt phẳng quỹ đạo. Khi Trái Đất ở vị trí xa nhất (khoảng 4/7 quỹ đạo) và gần nhất (khoảng 3/7 quỹ đạo) so với Mặt Trời, thì hình chiếu của trục quay của Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo sẽ nằm trên đường thẳng nối tâm Trái Đất và Mặt Trời

Khám phá trang 42 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó, với một đường thẳng a bất kì, góc giữa a và (P) có mối quan hệ gì với góc giữa a và Δ ?

 Hướng dẫn giải

- Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), thì góc giữa a và (P) là góc 0 độ và góc giữa a và Δ cũng là góc 0 độ.

- Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng (P), thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa đường thẳng a và một đường thẳng nằm trên (P) và song song với Δ. Vì Δ vuông góc với (P), nên góc giữa đường thẳng này và Δ cũng là góc vuông. Do đó, góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và Δ.

- Nếu đường thẳng a song song với Δ, thì góc giữa a và (P) là góc vuông và góc giữa a và Δ cũng là góc vuông

Trải nghiệm trang 42 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Đo góc giữa một sợi dây kéo căng và  mặt bàn hoặc sàn lớp học. (Có thể cho một đầu sợi dây huộc mặt bàn, mặt sàn để thuận tiện hơn cho việc đo.) 

Hướng dẫn giải

Để đo góc giữa một sợi dây kéo căng và mặt bàn hoặc sàn lớp học, ta có thể sử dụng thước góc và thực hiện các bước sau:

Đặt một đầu sợi dây lên mặt bàn hoặc sàn và giữ cho sợi dây căng thẳng.

Sử dụng thước góc, đặt một cạnh song song với mặt bàn hoặc sàn và đưa cạnh kia của thước góc đến gần sợi dây.

Đọc giá trị góc trên thước góc mà cạnh song song với mặt bàn hoặc sàn tạo với cạnh thứ hai của thước góc.

Giữ nguyên sợi dây và thước góc, di chuyển cạnh thứ hai của thước góc cho đến khi nó trùng với sợi dây.

Đọc lại giá trị góc trên thước góc.

Góc giữa sợi dây và mặt bàn hoặc sàn lớp học là hiệu của hai giá trị góc trên thước góc được đọc ở bước 3 và bước 5.

BÀI TẬP

Bài tập 7.10 trang 42 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC cóSA⊥(ABC), tam giác ABC vuông tại B.

a) Xác định hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC).

b) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC).

c) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (SAB).

Hướng dẫn giải

a) Ta vẽ đường thẳng vuông góc từ S xuống (ABC), gọi M là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng (ABC). Khi đó, hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC) chính là điểm M.

b) Lần lượt vẽ đường thẳng vuông góc từ S đến SB, SC và BC, gọi I, J và K lần lượt là các giao điểm của các đường thẳng đó với mặt phẳng (ABC). Khi đó, tam giác SBC được chiếu lên mặt phẳng (ABC) thành tam giác IJK.

c) Ta vẽ đường thẳng vuông góc từ B đến SC, gọi L là giao điểm của đường thẳng đó với đoạn thẳng SC. Tiếp theo, ta vẽ đường thẳng qua L và vuông góc với SA, gọi N là giao điểm của đường thẳng đó với đoạn thẳng SA. Khi đó, tam giác SBC được chiếu lên mặt phẳng (SAB) thành tam giác S'BN, trong đó S' là hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (SAB)

Bài tập 7.11 trang 42 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, $SA \perp  (ABCD)$ và $SA= a\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính góc giữa BD và mặt phẳng (SAC).

c) Tìm hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAC).

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{SC} = \vec{SA}+\vec{AC}$. Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, nên $AC=BD=a\sqrt{2}$. Áp dụng định lí cosin trong tam giác $SAC$, ta có:

$cos ( SC,(ABCD))= \frac{\vec{SC}.\vec{SA}}{SC.SA}=\frac{a\sqrt{2}}{2a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$

Do đó, góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $\arccos\frac{1}{2} = 60^\circ$.

 Bài tập 7.12 trang 42 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình đóp S.ABC có SA. (ABC), Tam giác ABC vuông tại B, SA=AB=BC=a 

a) Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC)

b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

a) Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA=AB=a, nên ta có thể kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua A. Gọi đường thẳng này là d1

Từ B, kẻ đường thẳng vuông góc với SB và đi qua A. Gọi đường thẳng này là d2

Giao d1 và d2 tại điểm M 

Kết nối A với M. Đoạn thẳng này chính là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).

Vậy hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC) là đoạn thẳng AM.

b) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa SC và đường thẳng AB, được tính bằng công thức:

$cos(SC, AB) = \frac{SC \cdot AB}{\left| SC \right| \cdot \left| AB \right|}$

Do SA=AB=BC=a, ta có SC = 2a. Từ đó:

$cos(SC, AB) = \frac{2a \cdot a}{\left| 2a \right| \cdot \left| a \right|} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Suy ra, góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là:

$sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx 63.43^{\circ}$

Bài tập 7.13 trang 43 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P), có hình chiếu H trên (P). Với mỗi điểm M bất kì (không trùng H) trên mặt phẳng (P), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu trên (P) của đường xiên đó. Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên SM và SM' bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu HM và HM' tương ứng của chúng bằng nhau;

b) Đường xiên SM lớn hơn đường xiên SM' nếu hình chiều HM lớn hơn hình chiều HM'.

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là giao điểm của đường thẳng SM và (P), B là giao điểm của đường thẳng SM' và (P). Khi đó, ta có:

AH vuông góc với (P), BM' vuông góc với (P).

AH = SM, BM' = SM'.

AB là hình chiếu của đoạn thẳng SM' lên (P), A'B là hình chiếu của đoạn thẳng SM lên (P).

Do đó, ta có hai tam giác AHM và A'HM' cân tại H và H', tương ứng. Từ đó, ta suy ra được hai hình chiếu HM và HM' tương ứng của đường xiên SM và SM' bằng nhau.

b) Gọi A là giao điểm của đường thẳng SM và (P), B là giao điểm của đường thẳng SM' và (P). Khi đó, ta có:

AB là hình chiếu của đoạn thẳng SM' lên (P), AM là hình chiếu của đoạn thẳng SM lên (P).

Góc giữa AB và (P) lớn hơn góc giữa AM và (P), do đường xiên SM lớn hơn đường xiên SM'.

Từ đó, ta suy ra được HM' > HM'' suy ra  SM > SM'

Bài tập 7.14 trang 43 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cắt cánh, máy bay bay theo một đường thẳng. Góc cất cảnh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng nằm ngang nơi cất cành. Hai máy bay cất cảnh và bay thẳng với cùng độ lớn vận tốc trong 5 phút đầu, với các góc cất cánh lần lượt là 10°, 15°. Hỏi sau 1 phút kể từ khi cất cảnh, máy bay nào ở độ cao so với mất t (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?

Chú ý. Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ máy bay (coi là một điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính độ cao của máy bay so với mặt đất, ta tính được độ cao của hai máy bay 1 và 2 như sau:

Độ cao của máy bay 1: h_A = v * 1 * sin(10°) = 0.17365v

Độ cao của máy bay : h_B = v * 1 * sin(15°) = 0.25882v

Do đó, ta thấy rằng độ cao của máy bay 2 lớn hơn độ cao của máy bay 1. Vì vậy, máy bay 2 ở độ cao so với mặt đất lớn hơn sau 1 phút kể từ khi cất cánh.

Bài tập 7.15 trang 43 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm

Chú ý. Góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời lúc giữa trưa với mặt phẳng nằm ngang tại vị trí đó được gọi là góc Mặt Trời. Giữa trưa là thời điểm ban ngày mà tâm Mặt Trời thuộc mặt phẳng chứa kinh tuyến đi qua điểm đang xét. Góc Mặt Trời ảnh hưởng tới sự hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất.

Hướng dẫn giải

Để đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm cụ thể, ta cần sử dụng một thiết bị đo góc, thường được gọi là gnomon.

Cách thực hiện đo góc Mặt Trời như sau:

Chọn một vị trí cố định trên mặt đất và đặt gnomon vào vị trí đó sao cho nó đứng thẳng đứng và vuông góc với mặt đất.

Đợi cho đến khi đến thời điểm giữa trưa, khi tia sáng Mặt Trời đứng thẳng trên vị trí của bạn. Bạn có thể biết được thời điểm này thông qua các trang web hoặc ứng dụng dựa trên vị trí của bạn.

Xác định bóng của gnomon trên mặt phẳng ngang và vẽ một đường thẳng từ đỉnh của gnomon đến đỉnh của bóng.

 Sử dụng thiết bị đo góc để đo góc giữa đường thẳng này và mặt phẳng ngang. Đó chính là góc Mặt Trời tại vị trí và thời điểm đó.