Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 7: Cấp số nhân

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).

Hướng dẫn trả lời: 

Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân, với số hạng đầu $u_{1}$ = 240 và công bội q = 1,05. Tổng số lương của chuyên gia đó sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân này và bằng

$S_{10}=\frac{u_{1}(1-q^{10})}{1-q}=\frac{240(1-(1,05)^{10})}{1-1,05}\approx 3019$

Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau 10 năm là 3 019 triệu đồng hay 3,019 tỉ đồng.

1. Định nghĩa

Hoạt động 1: Nhận biết cấp số nhân

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=3\times n^{2}$.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này

b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa $u_{n}$ và $u_{n-1}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $u_{1}=6;u_{2}=12;u_{3}=24;u_{4}=48;u_{5}=96$

b) $u_{n}=u_{n-1}\times q$ với n ≥ 2.

Câu hỏi: Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số nhân không?

Hướng dẫn trả lời: 

Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số nhân với công bội q = 1

Luyện tập 1: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=2\times 5^{n}$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{2\times 5^{n}}{2\times 5^{n-1}}=5^{1}=5\forall x\geq 2$ tức là $u_{n}=5u_{n-1}$

Vậy $(u_{n})$ là một cấp số nhân với $u_{1}=10$ và công bội q = 5

2. Số hạng tổng quát

Hoạt động 2: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với số hạng đầu $u_{1}$ và công bội q

a) Tính các số hạng $u_{2},u_{3},u_{4},u_{5}$ theo $u_{1}$ và q

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo $u_{1}$ và q

Hướng dẫn trả lời: 

a) $u_{2}=u_{1}q;u_{3}=u_{2}q;u_{4}=u_{3}q;u_{5}=u_{4}q$

b) $u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$

Luyện tập 2: Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời: 

Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với sống hạng đầu u1 = 5 000 và công bội q = 1,08 và u6 là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.

Ta có: $u_{6} = u_{1} . q^{6} – 1 = 5 000 . 1,085 ≈ 7 347.$

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Hoạt động 3: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với số hạng đầu $u_{1}=a$ và công bội $q\neq 1$

Để tính tổng của n số hạng đầu 

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}+u_{n}$

thực hiện lần lượt các yêu cầu sau

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo $u_{1}$ và q để biểu thức tính tổng $S_{n}$ chỉ chứa $u_{1}$ và q

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích $q\times S_{n}$ chỉ chứa $u_{1}$ và q

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính $(1-q)S_{n}$ theo $u_{1}$ và q. Từ đó suy ra công thức $S_{n}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{2}=u_{1}.q;...;u_{n-1}=u_{1}.q^{(n-1)-1}=u_{1}.q^{n-2};u_{1}.qu_{n-1}$

Do đó, $S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}+u_{n}$

$=u_{1}+u_{1}.q+...+u_{1}.q^{n-2}+u_{1}.q^{n-1}$ (1)

b) Ta có: $q.S_{n}=q(u_{1}+u_{1}.q+...+u_{1}.q^{n-2}+u_{1}.q^{n-1}) $

$= qu_{1}+u_{1}q^{2}+...+u_{1}q^{n-1}+u_{1}q^{n}$ (2)

c) $S_{n}-qS_{n}=(u_{1}+u_{1}q+...+u_{1}q^{n-2}+u_{1}q^{n-1})-(qu_{1}+u_{1}q^{2}+...+u_{1}q^{n-1}+u_{1}q^{n})$

$\Rightarrow (1-q)S_{n}=u_{1}-u_{1}q^{n}$

$\Rightarrow S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

Câu hỏi: Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu $S_{n}$ của nó bằng bao nhiêu

Hướng dẫn trả lời: 

Dãy cấp số nhân có công bội q = 1 chính là dãy số không đổi. Gọi số hạng của dãy là a

Tổng n số hạng đầu $S_{n}=an$

Vận dụng: Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng tăng thêm 5%

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người nông dân sẽ lớn hơn?

Hướng dẫn trả lời: 

Theo phương án 1, tiền lương mỗi quý sẽ tạo thành cấp số nhân với $u_{1}=5\times 3=15$, công sai d = 0.5 x 3 = 1.5

Công thức tổng quát là: $u_{n}=15+1.5(n-1)$

Sau 3 năm làm việc (tương ứng với 12 quý) lương của người nông dân là: $\frac{12}{2}[2\times 15+(12-1)\times 1.5]=279$ (triệu đồng)

Theo phương án 2, tiền lương mỗi quý sẽ tạo thành cấp số nhân với $u_{1}$ = 5 x 3 = 15, công bội q = 1.05

Công thức tổng quát là: $u_{n}=15\times 1.05^{n-1}$

Sau 3 năm làm việc lương của người nông dân là: $\frac{15(1-1.05^{12})}{1-1.05}=238.757$ (triệu đồng)

Vậy theo phương án 1 thì tổng lương nhận được của người nông dân là cao hơn

Bài tập

Bài tập 2.15: Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:

a) 1, 4, 16, ...;

b) $2, -\frac{1}{2},\frac{1}{8},..$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: 4 : 1 = 4, 16 : 4 = 4

Do đó công bội q = 4

Số hạng tổng quát: $u_{n}=4^{n-1}$

Số hạng thứ 5: $u_{5}=4^{5-1}=256$

Số hạng thứ 100: $u_{100}=4^{100-1}=4.017\times 10^{59}$

b) Ta có: $(-\frac{1}{2}):2=-\frac{1}{4};\frac{1}{8}:(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$

Do đó công bội $q = -\frac{1}{4}$

Số hạng tổng quát: $u_{n}=2\times (-\frac{1}{4})^{n-1}$

Số hạng thứ 5: $u_{5}=2\times (-\frac{1}{4})^{5-1}=\frac{1}{128}$

Số hạng thứ 100: $u_{100}=2\times (-\frac{1}{4})^{100-1}=-4.978\times 10^{-60}$

Bài tập 2.16: Viết năm số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số hân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng $u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$

a) $u_{n}=5n$

b) $u_{n}=5^{n}$

c) $u_{1}=1;u_{n}=nu_{n-1}$

d) $u_{1}=1,u_{n}=5u_{n-1}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Năm số hạng đầu của dãy: 5; 10; 15; 20; 25

Ta có: $10:5=2 \neq 15:10=\frac{3}{2}$ suy ra ($u_{n}$) không phải cấp số nhân

b) Năm số hạng đầu của dãy: 5; 25; 125; 625; 3125

Ta có $u_{n}=5^{n}$ nên $u_{n+1}=5^{n+1}\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5^{n+1}}{5^{n}}=5(\forall n\geq 2)$

Do đó ($u_{n}$) là cấp số nhân có công bội q = 5

Số hạng tổng quát: $u_{n}=5\times 5^{n-1}=5^{n}$

c) Năm số hạng đầu của dãy: 1; 2; 6; 24; 120

Ta có: $2:1=2\neq 6:2=3$ nên $(u_{n})$ không phải là cấp số nhân

d) Năm số hạng đầu của dãy: 1; 5; 25; 125; 625

Ta có: $u_{n}=5u_{n-1}$ nên $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=5(\forall n\geq 2)$

Do đó $(u_{n})$ là cấp số nhân với cong sai q = 5

Số hạng tổng quát: $u_{n}=5^{n-1}$

Bài tập 2.17: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này

Hướng dẫn trả lời: 

Gọi số hạng tổng quát của cấp số nhân là: $u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$

Ta có: $u_{6}=u_{1}\times q^{5}=96;u_{3}=u_{1}\times q^{2}=12$

Nên $\frac{u_{1}q^{5}}{u_{1}q^{2}}=\frac{96}{12}\Rightarrow q^{3}=8\Rightarrow q=2$

Do đó: $u_{1}=3$

Suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy là: $u_{n}=3\times 2^{n-1}$

Vậy $u_{50}=3\times 2^{50-1}=1.689\times 10^{15}$

Bài tập 2.18: Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115?

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có số hạng tổng quát của dãy là $u_{n}=5\times 2^{n-1}$ 

Gọi n là số các số hạng cần lấy tổng:

$5115=S_{n}=\frac{5(1-2^{n})}{1-2}=-5+5\times 2^{n}\Rightarrow 2^{n}=1024\Rightarrow n=10$

Vậy số các số hạng cần lấy tổng là 10

Bài tập 2.19: Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng

Hướng dẫn trả lời: 

Giá trị của chiếc máy ủi sau 1 năm sử dụng là 3 . 0,8 = 2,4 (tỉ đồng).

Giá trị của chiếc máy ủi sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = 2,4$ và công bội q = 0,8.

Vậy giá trị còn lại của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là

$u_{5}=u_{1} . q^{5-1} = 2,4 . 0,8^{4} = 0,98304$ (tỉ đồng) = 983 040 000 (đồng).

Bài tập 2.20: Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0.91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030

Hướng dẫn trả lời: 

Dân số hằng năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 97 và công bội q= 1.0091

Dân số của quốc gia đó năm 2030 (tức n = 11) là $u_{11}=97\times 1.0091^{11-1}=106.197$ (triệu người)

Bài tập 2.21: Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp

Hướng dẫn trả lời: 

Lượng thuốc trong máu mỗi ngày cảu bệnh nhân lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 50 và công bội q = 0.5

Tổng lượng thuốc trong máu 10 ngày liên tiếp chính là tổng 10 số hạng đầu cảu cấp số nhân này và bằng: $S_{n}=\frac{50[1-(0.5)^{10}]}{1-0.5}=99.902$ (mg)