Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài: Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

1. Số tiền của một niên kim

Hoạt động 1: Số tiền của một niên kim

Bác Lan gửi đều đặn 10 triệu đồng vào ngày đầu mỗi tháng trong vòng 5 năm vào một tài khoản tích lũy hưởng lãi suất 6% mỗi năm, theo hình thức tính lãi kép hằng tháng

a) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất, cuối kì thứ hai

b) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ n

c) Tính số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: 5 năm = 60 tháng.

Lãi suất theo tháng là 0,5%.

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất là

$A_{1}$ = 10 + 10. 0,5% = 10.(1 + 0,5%) = 10,05 (triệu đồng).

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ hai là

$A_{2}$ = [10.(1 + 0,5%) + 10] + [10.(1 + 0,5%) + 10].0,5%

= [10.(1 + 0,5%) + 10](1 + 0,5%) = 10.(1 + 0,5%)2 + 10.(1 + 0,5%)

= 20,15025 (triệu đồng).

b) Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ n: $10\times \frac{1.005^{n}-1}{0.005}$

c) Số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng: $10\times \frac{1.005^{60}-1}{0.005}=697.7$ (triệu đồng)

Vận dụng 1: Anh Bình cần đầu tư bao nhiêu tiền hằng tháng với lãi suất 6% mỗi năm, theo hình thức lãi kép hằng tháng, để có 200 triệu đồng sau hai năm?

Hướng dẫn trả lời: 

Lãi suất mỗi tháng là: i = 6% : 12 = 0.5%

Ta có: $R\times \frac{1.005^{24}-1}{0.005}=200\Rightarrow R=7.864 $ (triệu đồng)

Vậy để có 200 triệu đồng sau hai năm, anh Bình cần đầu tư 7.864 triệu đồng mỗi tháng

2. Giá trị hiện tại của một niên kim

Hoạt động 2: Nhận biết giá trị hiện tại của một số tiền

Giả sử một người gửi tiết kiệm với lãi suất không đổi 6% một năm, theo hình thức tính lãi kép hằng quý

a) Tính lãi suất i trong mỗi quý và số khoảng thời gian tính lãi trong vòng 5 năm

b) Giả sử sau 5 năm người đó nhận được số tiền 100 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Tính giá trị hiện tại của số tiền 100 triệu đồng đó.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Lãi suất mỗi quý : i = 6% : 4 =1.5%

Số khoảng thời gian tính lãi: 5 x 4 = 20

b) Giá trị hiện tại của số tiền 100 triệu đồng: $A_{p}=A_{f}(1+i)^{-n}=100\times (1+0.015)^{-20}=74.247$ (triệu đồng)

Vận dụng 2: Một người trúng xổ số giải đặc biệt với trị giá 5 tỉ đồng và số tiền trúng thưởng sẽ được trả dần vào hằng năm, mỗi năm 500 triệu đồng trong vòng 10 năm. Giá trị hiện tại của giải đặc biệt này là bao nhiêu? Giả sử rằng người đó có thể tìm được hình thức đầu tư với lãi suất 8% mỗi năm, tính lãi kép hằng năm.

Hướng dẫn trả lời: 

Mỗi năm thanh toán 500 triệu đồng trong vòng 10 năm, tức là khoản thanh toán đều đặn bằng nhau và bằng 500 triệu đồng hay R = 500 (triệu đồng) và số khoản thanh toán là n = 10 (năm).

Lãi suất 8% mỗi năm hay i = 8%.

Giá trị hiện tại của giải đặc biệt trên là

$A_{p}=R.\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}=500.\frac{1-(1+0,08)^{-10}}{0,08}\approx 3355,0407$ (triệu đồng).

Lãi kép là: 5 000 – 3 355,0407 = 1 644,9593 (triệu đồng).

3. Mua trả góp

Hoạt động 3: Anh Hưng muốn mua một chiếc xe ô tô theo hình thức trả góp để xe chạy xe dịch vụ. Anh ấy có thể trả dần 10 triệu đồng mỗi tháng nhưng không có tiền trả trước. Nếu anh Hưng có thể thực hiện các khoản thanh toán này trong vòng 5 năm và lãi suất là 10% một năm, thì hiện tại anh ấy có thể mua được chiếc xe ô tô với mức giá nào?

Hướng dẫn trả lời: 

Lãi suất mỗi tháng là: 10% : 12 = 0.83%

Mức giá ô tô anh Hưng có thể mua là: $A_{p}=\frac{R(1-(1+i)^{-n})}{i}=\frac{10\times (1-(1+0.0083)^{-5\times 12})}{0.0083}=471.09$ (triệu đồng)

Vận dụng 3: Một cặp vợ chồng trẻ vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 9% một năm để mua nhà. Họ dự định sẽ trả góp hằng tháng trong vòng 10 năm để hoàn trả khoản vay này. Hỏi mỗi tháng họ sẽ trả cho ngân hàng bao nhiêu tiền?

Hướng dẫn trả lời: 

Lãi suất hàng tháng là: 9% : 12 = 0.75%

Mỗi tháng họ sẽ trả cho ngân hàng số tiền là: $R = \frac{iA_{p}}{1-(1+i)^{-n}}=\frac{1000\times 0.0075}{1-(1+0.0075)^{-10\times 12}}=12.668$ (triệu đồng)