Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 14: Phép chiếu song song

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Trong bóng đá, công nghệ Goal-line được sử dụng để xác định xem bóng đã hoàn toàn vượt qua vạch vôi hay chưa, từ đó giúp trọng tài đưa ra quyết định về một bàn thắng có được ghi hay không. Yếu tố hình học nào cho ta biết quả bóng đã vượt qua vạch vôi hay chưa?

Hướng dẫn trả lời: 

Sau bài học này ta sẽ giải quyết bài toán trên như sau:

Khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng có vị trí ở phía sau vạch vôi, tức là hình chiếu này nằm trong khung thành. Do đó, yếu tố hình học liên quan đến phép chiếu song song cho ta biết quả bóng đã vượt qua vạch vôi hay chưa.

1. Phép chiếu song song

Hoạt động 1: Một khung cửa sổ có dạng hình tròn với các chấn song tạo thành hình vuông ABCD, hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tại O. Dưới ánh mặt trời, khung cửa và các chấn song đổ bóng lên sàn nhà (H.4.56a). Quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi sau:

a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A', B', C' có đôi một song song hay không?

b) Làm thế nào để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A', B', C' đôi một song song với nhau.

b) Để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ ta sử dụng phép chiếu song song.

Câu hỏi: Trong HĐ1, làm thế nào để xác định được bóng của toàn bộ song cửa CD trên sàn nhà?

Hướng dẫn trả lời:

 Để xác định được bóng của toàn bộ song cửa CD, ta xác định bóng của từng điểm C và D trên sàn nhà là C' và D'. Khi đó C'D' chính là bóng của song cửa CD.

Luyện tập 1: Cho hình hộp ABCD.EFGH (H.4.58). Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (CDHG) theo phương BC và theo phương BG.

Hướng dẫn trả lời: 

+) Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên AD // BC. Vì D thuộc mặt phẳng (CDHG) nên D là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (CDHG) theo phương BC.

+) Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên các mặt của nó đều là các hình bình hành. Do đó, ABCD và CDHG là các hình bình hành. Từ đó suy ra AB // CD, AB = CD và CD // HG, CD = HG nên AB // HG và AB = HG, suy ra ABGH là hình bình hành nên AH // BG. Vì H thuộc mặt phẳng (CDHG) nên H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (CDHG) theo phương BG.

Vận dụng 1: Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng có vị trí như thế nào với vạch vôi?

Hướng dẫn trả lời: 

Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng nằm phía trong vạch vôi về phía bên trong khung thành.

2. Tính chất của phép chiếu song song

Hoạt động 2: Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:

a) Hình chiếu O' của điểm O có nằm trên đoạn A'C' hay không?

b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD như thế nào với nhau?

c) Hình chiếu O' của điểm O có phải là trung điểm của đoạn A'C' hay không?

Hướng dẫn trả lời: 

Quan sát Hình 4.56a ta thấy:

a) Hình chiếu O' của điểm O nằm trên đoạn A'C'.

b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD lần lượt là A'B' và C'D', chúng song song với nhau.

c) Hình chiếu O' của điểm O là trung điểm của đoạn A'C'.

Câu hỏi: Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có phải là hai đường thẳng cắt nhau hay không?

Hướng dẫn trả lời: 

Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.

Luyện tập 2: Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61).

Hướng dẫn trả lời: 

Hình thang ABCD có AB // CD, A'B'C'D' là hình chiếu song song của ABCD trên mặt phẳng (P) theo phương d (Hình 4.61).

Vì ABCD là hình thang có AB // CD, do đó hình chiếu của AB là A'B' song song với hình chiếu của CD là C'D'.

Tứ giác A'B'C'D' có A'B' // C'D' nên nó là hình thang.

Luyện tập 3: Một phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của tam giác ABC thành đường trung bình của tam giác A'B'C'.

Hướng dẫn trả lời: 

MN là đường trung bình của tam giác ABC

Vì M là trung điểm của BC nên B, M, C thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{BM}{MC}=1$. Do vậy B', M', C' thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{B'M'}{M'C'}=1$, tức M' là trung điểm của B'C'

Tương tự, N' là trung điểm của A'C'

Vậy M'N' là đường trung bình của tam giác A'B'C' 

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

Hoạt động 3: Trong ba hình dưới đây, hình nào thể hiện hình lập phương chính xác hơn?

Hướng dẫn trả lời: 

Trong ba hình đã cho, Hình 4.63a thể hiện hình lập phương chính xác nhất.

Câu hỏi: Quan sát hình ảnh khung cửa sổ trong Hình 4.56a và cho biết hình biểu diễn của hình tam giác, hình vuông, hình tròn là hình gì?

Hướng dẫn trả lời: 

Quan sát hình ảnh khung cửa sổ trong Hình 4.56a, ta thấy:

- Hình biểu diễn của hình tam giác là hình tam giác;

- Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành;

- Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

Luyện tập 4: Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn trả lời: 

Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là các hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy ABCD là hình bình hành nên hình biểu diễn của đáy ABCD cũng là một hình bình hành. Từ đó ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD như sau:

Vận dụng 2: Phép chiếu song song có thể được sử dụng để vẽ dạng nổi (hay dạng 3D) của chữ cái như trong hình dưới đây. Theo phương pháp đó hãy vẽ dạng nổi của một số chữ cái quen thuộc như L, N, T, ...

Hướng dẫn trả lời: 

Bài tập

Bài tập 4.29: Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?

a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.

c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.

d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Mệnh đề a) là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề b) là mệnh đề sai vì phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

c) Mệnh đề c) là mệnh đề sai vì phép chiếu song song biến tam giác đều thành một tam giác bất kì.

d) Mệnh đề d) là mệnh đề đúng.

Bài tập 4.30: Nếu tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC qua một phép chiếu song song thì tam giác ABC có phải là hình chiếu của tam giác A'B'C' qua một phép chiếu song song hay không? Giải thích vì sao.

Hướng dẫn trả lời: 

Nếu tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC qua một phép chiếu song song thì tam giác ABC cũng là hình chiếu của tam giác A'B'C' qua một phép chiếu song song.

Giả sử tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) theo phương chiếu d. Khi đó AA', BB', CC' đôi một song song với nhau và đều song song với phương chiếu d. Do vậy, tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A'B'C' trên mặt phẳng (ABC) theo phương d.

Bài tập 4.31: Phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A′B′C′. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác ABC thành trọng tâm của tam giác A′B′C

Hướng dẫn trả lời: 

Vì K là trung điểm BC nên B, K, C thẳng hàng theo thứ tự đó và BK = KC. Do vậy B', K', C' thẳng hàng theo thứ tự đó và B'K' = K'C', tức K' là trung điểm B'C'.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên A, G, K thẳng hàng theo thứ tự đó và AG = 2GK. Do vậy A, G', K' thẳng hàng theo thứ tự đó và A'G' = 2G'K', tức G là trọng tâm tam giác A'B'C' 

Bài tập 4.32: Hình 4.65 có thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều hay không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời: 

+) Xét hình lục giác đều MNPQRS có tâm O.

Ta nhận thấy:

- Tứ giác OSMN là hình thoi;

- Các điểm P, Q, R lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm S, M, N qua tâm O.

Từ đó suy ra các vẽ hình biểu diễn của hình lục giác đều MNPQRS như sau:

- Vẽ hình bình hành O'S'M'N' biểu diễn cho hình thoi OSMN;

- Lấy các điểm P', Q', R' lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm S', M', N' qua O', ta được hình biểu diễn M'N'P'Q'R'S' của hình lục giác đều MNPQRS.

+) Gọi I là giao điểm các đường chéo AD, BE và CF trong hình lục giác ABCDEF ở Hình 4.65.

Khi đó nếu ABCDEF là hình biểu diễn của hình lục giác đều thì phải thỏa mãn hai điều kiện:

- Tứ giác IFAB là hình bình hành (1);

- D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua I (2).

Từ hình vẽ ta thấy điều kiện (2) thỏa mãn nhưng điều kiện (1) không thỏa mãn. Vậy Hình 4.65 không thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

Bài tập 4.33: Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB song song với CD và AB = 2 cm, CD = 6 cm.

Hướng dẫn trả lời: 

Vì AB = 2 cm, CD = 6 cm nên CD = 3AB.

Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy ABCD là hình thang có hai đáy AB, CD (do AB // CD) và CD = 3AB nên hình biểu diễn của ABCD là một hình thang có độ dài một đáy gấp ba lần độ dài của đáy còn lại. Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD như sau:

Bài tập 4.34: Trong hình bên, AB và CD là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời.

Hãy giải thích tại sao AB song song với CD.

Hướng dẫn trả lời: 

AB và CD là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Khi đó AB và CD là hình chiếu song song của hai thanh chắn của một chiếc thang lên tường (do mặt trời chiếu xuống tường các tia sáng song song). Mà hai thanh chắn của một chiếc thang thì song song với nhau, do đó theo tính chất của phép chiếu song song ta suy ra AB song song với CD.