Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài: Bài tập cuối chương IV

A - Trắc nghiệm

Bài tập 4.35: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a và cắt mặt phẳng (P)theo giao tuyến là đường thẳng b. Vị trí trương đối của hai đường thẳng a và b là

A. chéo nhau.

B. cắt nhau.

C. song song.

D. trùng nhau.

Hướng dẫn trả lời: 

Theo lý thuyết ta có: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Đáp án: C

Bài tập 4.36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Đường thẳng SB song song với mặt phẳng

A. (CDM).

B. (ACM).

C. (ADM).

D. (ACD).

Hướng dẫn trả lời: 

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, khi đó hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét tam giác SBD có M, O lần lượt là trung điểm của SD và BD nên MO là đường trung bình của tam giác SBD, suy ra MO // SB.

Vì O thuộc AC nên O thuộc mặt phẳng (ACM) và M thuộc mặt phẳng (ACM) nên mặt phẳng (ACM) chứa đường thẳng OM.

Khi đó ta có đường thẳng SB song song với đường thẳng OM và đường thẳng OM nằm trong mặt phẳng (ACM), do vậy đường thẳng SB song song với mặt phẳng (ACM).

Đáp án: B

Bài tập 4.37: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (AB'D') song song với mặt phẳng

A. (ABCD).

B. (BCC'B').

C. (BDA').

D. (BDC').

Hướng dẫn trả lời: 

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành và các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song và bằng nhau.

Tứ giác BDD'B' có DD' // BB' và DD' = BB' nên BDD'B' là hình bình hành, suy ra B'D' // BD. Do đó, B'D' song song với mặt phẳng (BDC').

Vì A'B'C'D' là hình bình hành nên A'B' // C'D' và A'B' = C'D'.

Vì ABB'A' là hình bình hành nên A'B' // AB và A'B' = AB.

Do đó, AB // C'D' và AB = C'D', suy ra tứ giác ABC'D' là hình bình hành nên BC' // AD'. Do vậy AD' song song với mặt phẳng (BDC').

Mặt phẳng (AB'D') chứa hai đường thẳng cắt nhau B'D' và AD' cùng song song với mặt phẳng (BDC') nên hai mặt phẳng (AB'D') và (BDC') song song với nhau.

Đáp án: D

Bài tập 4.38: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song với nhau. Đường thẳng a cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C sao cho $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$ và đường thẳng b cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A', B', C'. Tỉ số $\frac{A'B'}{B'C'}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{2}{5}$

Hướng dẫn trả lời: 

Áp dụng định lý Thales cho ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (R) và hai cát tuyến a và b ta có:

$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}=\frac{2}{3}$

Đáp án: A

Bài tập 4.39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,SD; K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC. Tỉ số $\frac{SK}{SC}$

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{2}{3}$

Hướng dẫn trả lời: 

Gọi O là giao điểm AC và BD, gọi P là trung điểm MN

Ta có MN là đường trung bình tam giác SBD suy ra S, P, O thẳng hàng và P là trung điểm của SO 

Do đó P thuộc SO hay P thuộc mp(SAC)

Trong mp(SAC), nối AP kéo dài cắt SC tại K suy ra K là giao điểm của SC và mp(AMN)

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SOC:

$\frac{KS}{KC}\times \frac{CA}{AO}\times \frac{OP}{PS}=1$ suy ra $\frac{KS}{KC}\times \frac{2}{1}\times 1=1$ suy ra $\frac{KS}{KC}=\frac{1}{2}$

Vậy $\frac{SK}{SC}=\frac{1}{3}$

Đáp án: B

Bài tập 4.40: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B'C'. Hình chiếu của ∆B'DM qua phép chiếu song song trên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' là

A. ∆B'A'M'.

B. ∆C'D'M'.

C. ∆DMM'.

D. ∆B'D'M'.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có B' là hình chiếu song song của chính nó lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (1).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt bên của nó là hình bình hành và các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song với nhau.

Vì DD' // AA' nên D' là hình chiếu song song của D lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (2).

Xét hình bình hành BCC'B' có M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B'C' do đó MM' là đường trung bình của hình bình hành nên MM' // CC', suy ra MM' // AA'. Vậy M' là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∆B'D'M' là hình chiếu của ∆B'DM qua phép chiếu song song trên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA'.

Đáp án: D

B - Tự luận

Bài tập 4.41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB // CD và AB < CD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:

a) (SAD) và (SBC);

b) (SAB) và (SCD);

c) (SAC) và (SBD).

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: ABCD là hình thang có hai đáy AB và CD. Trong mặt phẳng (ABCD), gọi F là giao điểm của AD và BC. Khi đó F thuộc AD nên F thuộc mặt phẳng (SAD), F thuộc BC nên F thuộc mặt phẳng (SBC), vậy F là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Lại có S là một điểm chung khác của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Do vây, SF là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) lần lượt chứa hai đường thẳng AB và CD song song với nhau. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung S và song song với AB, CD.

Qua S, vẽ đường thẳng d song song với AB, CD.

Vậy d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

c) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AC và BD. Vì E thuộc AC nên E thuộc mặt phẳng (SAC), vì E thuộc BD nên E thuộc mặt phẳng (SBD). Do vậy, E là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Lại có S là một điểm chung khác của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Vậy SE là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Bài tập 4.42: Cho hình lăng trụ tam giác ABC⋅A′B′C′. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC và AA′.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B′C.

b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B′C. Tính tỉ số $\frac{KB'}{KC}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có $(MNP)\cap (ABC)={MN},(ABC)\cap (ACC'A')={AC}, AC //MN$ (do MN là đường trung ình của tam giác ABC) suy ra giao tuyến của (MNP) và (ACC'A') song song với MN và AC

Qua P kẻ đường thẳng song song với AC cắt CC' tại H

PH là giao tuyến của (MNP) và (ACC'A')

Nối H với N cắt B'C tại K

Vậy K là giao điểm của (MNP) và B'C

b) Gọi giao điểm BC' và B'C là O

Ta có ACC'A' là hình bình hành P là trung điểm AA', PH //AC suy ra H là trung điểm CC'

Xét tam giác CC'B ta có: HN là đường trung bình suy ra CK = OK

Mà OC = OB' suy ra $\frac{KB'}{KC}=3$

Bài tập 4.43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM=2SM và BN=2AN.

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số $\frac{SK}{SD}$

b) Chứng minh rằng MN//(SAD)

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $(ABM)\cap (ABCD)=AB, (ABCD)\cap (SCD)=CD,AB//CD) suy ra giao tuyến của (ABM) và (SCD) là đường thẳng qua M song song với AB và CD

Qua M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD)

Vậy, K là giao điểm của (AMN) và SD

Xét tam giác SCD ta có: MK //CD suy ra $\frac{SK}{SD}=\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}$

b) Xét tam giác SCD ta có: MK //CD suy ra $\frac{MK}{CD}=\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}$

Lại có $\frac{AN}{AB}=\frac{1}{3},AB = CD$ suy ra AN = MK

Xét tứ giác ANMK ta có: AN = MK, AN // MK suy ra ANMK là hình bình hành do đó MN // AK hay MN // (SAD)

Bài tập 4.44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD.

a) Chứng minh rằng GK // (ABCD).

b) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Xét tam giác HAC ta có: GH = 2GA, HK = 2KC suy ra GK // AC hay GK // (ABCD)

b) (MNEF) // (ABCD) do đó MN // AB, NE // BC, EF // CD, MF // AD

Lại có AB // CD, AD // BC suy ra MN // EF, MF // NE

Suy ra MNEF là hình bình hành

Bài tập 4.45: Cho hình hộp ABCD⋅A′B′C′D′. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AD,A′B′. Chứng minh rằng:

a) BD//B′D′,(A′BD)//(CB′D′) và MN//(BDD′B′);

b) Đường thẳng AC′ đi qua trọng tâm G của tam giác A′BD

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $(A'B'C'D') //(ABCD), (B'D'DB)\cap (A'B'C'D')=B'D', (B'D'DB)\cap (ABCD)=BD$ suy ra B'D' // DB

Xét (A'BD) và (CB'D') có BD // B'D', A'B // CD' suy ra (A'BD) //(CB'D')

Xét tứ giác B'NMO ta có: B'N = MO, B'N // MO suy ra B'NMO là hình bình hành do đó B'O // MN

hay MN // (BDD'B')

b) Xét tứ giác A'C'OA ta có: A'C' // AO, A'C' = 2AO suy ra A'G =2GO mà O là trung điểm BD suy ra G là trọng tâm tam giác A'BD

Như vậy AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD

Bài tập 4.46: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 3AM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (P) với đường thẳng CD

b) Tính tỉ số $\frac{KC}{CD}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Qua M kẻ MH// BC, MI // AD.

mp(P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC suy ra mp(P) chứa MH và MI

Ta có: $(ABC)\cap (P) =MH,(ABC)\cap (BCD)=BC,MH//BC$ suy ra giao tuyến của (P) và (BCD) song song với BC và MH

Qua I kẻ IK // BC (K thuộc CD) 

Vậy giao điểm của (P) và CD là K

b) Ta có: $(P)\cap (ABD)=MI, (ABD)\cap (ACD)=AD,(P)\cap (ACD)=HK,MI//AD$ suy ra HK //MI

Tứ giác MHKI có: MH // KI, MI // HK suy ra MHKI là hình bình hành do đó MH = KI

Xét tam giác ABC có MH // BC, BM = 3AM suy ra BC = 4MH suy ra BC = 4KI

Xét tam giác BCD có IK // BC, BC = 4KI suy ra $\frac{KC}{CD}=\frac{3}{4}$