Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 2: Công thức lượng giác

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f$_{1}$(t) = 5sin t và phát lại được nốt thuần f$_{2}$(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f$_{1}$(t) + f$_{2}$(t), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), tức là âm kết  hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.

Hướng dẫn trả lời: 

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta có: f(t) = = f$_{1}$(t) + f$_{2}$(t) = 5sin t + 5 cos t = 5(sin t + cos t)

Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được

$sint+cost=\sqrt{2}sin(t+\frac{\pi }{4})$

Do đó, $f(t)=5\sqrt{2}sin(t+\frac{\pi }{4})$

Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ âm $k=5\sqrt{2}$ và pha ban đầu của sóng âm là $\varphi =\frac{\pi }{4}$

1. Công thức cộng

Hoạt động 1: Nhận biết công thức cộng

a) Cho $a=\frac{\pi }{4}$ và $b=\frac{\pi }{6}$, hãy chứng tỏ cos(a - b) = cosacosb + sinasinb

b) Bằng cách viết a + b = a - (-b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b)

c) Bằng cách viết $sin(a-b)=cos[\frac{\pi }{2}-(a-b)]=cos[(\frac{\pi }{2}-a)+b]$ và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a - b)

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: a – b = $\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}$ nên cos(a – b) =$cos\frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$cos a cos b + sin a sin b =cos\frac{\pi }{4}cos\frac{\pi }{6}+sin\frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Vậy cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

b) Ta có: cos(a + b) = cos[a – (– b)] = cos a cos(– b) + sin a sin(– b)

Mà cos(– b) = cos b, sin(– b) = – sin b.

Do đó, cos(a + b) = cos a cos b + sin a  (– sin b)

= cos a cos b – sin a sin b.

c) sin(a – b) = $cos[\frac{\pi }{2}-(a-b)]=cos[(\frac{\pi }{2} -a)+b]$

$=cos(\frac{\pi }{2}-a)cosb-sin(\frac{\pi }{2}-a)sinb=sinacosb-cosasinb$

(do $cos(\frac{\pi }{2}-a)=sina,sin(\frac{\pi }{2}-a)=cosa$.

Vậy sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Luyện tập 1: Chứng minh rằng:

a) $sinx -cosx=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi }{4})$

b) $tan(\frac{\pi }{4}-x)=\frac{1-tanx}{1+tanx}(x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ,x\neq \frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in Z$)

Hướng dẫn trả lời: 

a) $VP=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}(sinxcos\frac{\pi }{4}-cosxsin\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}sinx\times \frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}cosx\times \frac{\sqrt{2}}{2}=sinx-cosx=VT$

b) $VT=tan(\frac{\pi }{4}-x)=\frac{tan\frac{\pi }{4}-tanx}{1+tan\frac{\pi }{4}tanx}=\frac{1-tanx}{1+tanx}=VP$ (do $tan\frac{\pi }{4}=1$)

Vận dụng 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: f(t) = = f$_{1}$(t) + f$_{2}$(t) = 5sin t + 5 cos t = 5(sin t + cos t)

Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được

$sint+cost=\sqrt{2}sin(t+\frac{\pi }{4})$

Do đó, $f(t)=5\sqrt{2}sin(t+\frac{\pi }{4})$

Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ âm $k=5\sqrt{2}$ và pha ban đầu của sóng âm là $\varphi =\frac{\pi }{4}$

2. Công thức nhân đôi

Hoạt động 2: Xây dựng công thức nhân đôi

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: sin 2a; cos 2a; tan 2a.

Hướng dẫn trả lời: 

$sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa$

$cos2a=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=cos^{2}a-sin^{2}a=2cos^{2}a-1=1-2sin^{2}a$

$tan2a=tan(a+a)=\frac{tana+tana}{1-tanatana}=\frac{2tana}{1-tan^{2}a}$

Luyện tập 2: Không dùng máy tính, tính $cos\frac{\pi }{8}$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $cos2a=2cos^{2}a-1$ suy ra $cosa=\sqrt{\frac{1+cos2a}{2}}$

Do đó: $cos\frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

Hoạt động 3: Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng

a) Từ các công thức cộng cos(a+b) và cos(a-b), hãy tìm cosacosb; sinasinb

b) Từ các công thức cộng sin(a+b) và sin(a-b), hãy tìm: sinacosb

Hướng dẫn trả lời: 

a) $cos(a-b)-cos(a+b)=cosacosb+sinasinb-(cosacosb-sinasinb)$

=> $2sinasinb=cos(a-b)-cos(a+b)$

=> $sinasinb=\frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a+b)]$

$cos(a-b)+cos(a+b)=cosacosb+sinasinb+(cosacosb-sinasinb)$

=> $2cosacosb=cos(a-b)+cos(a+b)$

=> $cosacosb=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a+b)]$

b) $sin(a-b)+sin(a+b)=sinacosb-cosasinb+sinacosb+cosasinb=2sinacosb$

=>$sinacosb=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]$

Luyện tập 3: Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thúc:

$A=cos75^{\circ}cos15^{\circ}$

$B=sin\frac{5\pi }{12}cos\frac{7\pi }{12}$

Hướng dẫn trả lời: 

$A=cos75^{\circ}cos15^{\circ}=\frac{1}{2}[cos(75^{\circ}-15^{\circ})+cos(75^{\circ}+15^{\circ})]$

$=\frac{1}{2}(cos60^{\circ}+cos90^{\circ})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+0)=\frac{1}{4}$

$B=sin\frac{5\pi }{12}cos\frac{7\pi }{12}=\frac{1}{2}[sin(\frac{5\pi }{12}-\frac{7\pi }{12})+sin(\frac{5\pi }{12}+\frac{7\pi }{12})]$

$=\frac{1}{2}[sin(-\frac{\pi }{6})+sin\pi ]=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}+0)=-\frac{1}{4}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

Hoạt động 4: Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a-b, v = a+b và viết các công thức nhận được.

Hướng dẫn trả lời: 

$cosacosb=\frac{1}{2}[(cos(a+b)+cos(s-b)]$

=> $cosu+cosv=2cos\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}$

$sinasinb=\frac{1}{2}[(cos(a+b)-cos(a-b)]$

=> $cosu-cosv=-2sin\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}$

$sinacosb=\frac{1}{2}[(sin(a+b)+sin(s-b)]$

=> $sinu-sinv=2sin\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}$

Luyện tập 4: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức:

$B=cos\frac{\pi }{9}+cos\frac{5\pi }{9}+cos\frac{11\pi }{9}$

Hướng dẫn trả lời: 

$B=cos\frac{\pi }{9}+cos\frac{5\pi }{9}+cos\frac{11\pi }{9}$

$=2cos(\frac{\frac{\pi }{9}+\frac{5\pi }{9}}{2})cos(\frac{\frac{\pi }{9}-\frac{5\pi }{9}}{2})+cos\frac{11\pi }{9}$

$=2cos\frac{\pi }{3}cos(-\frac{2\pi }{9})+cos\frac{11\pi }{9}$

$=2\times \frac{1}{2}cos(-\frac{2\pi }{9})+cos\frac{11\pi }{9}$

$=cos(-\frac{2\pi }{9})+cos\frac{11\pi }{9}$

$=2cos(\frac{\frac{-2\pi }{9}+\frac{11\pi }{9}}{2})cos(\frac{\frac{-2\pi }{9}-\frac{11\pi }{9}}{2})$

$=2cos\frac{\pi }{2}cos(-\frac{13\pi }{18})$

$=2\times 0\times cos(-\frac{13\pi }{18})=0$

Vận dụng 2: Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp f1 và tần số cao f2 liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm $y = sin(2\pi f_{1}t)+sin(2\pi f_{2}t)$, ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây)

a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số cosin

Hướng dẫn trả lời: 

a) $y = sin(2\pi 770t)+sin(2\pi 1209t)=  sin(1540\pi t)+sin(2418\pi t)$

b) $sin(1540\pi t)+sin(2418\pi t)=2sin\frac{1540\pi t+2418\pi t}{2}cos\frac{1540\pi t-2418\pi t}{2}=2sin(1979\pi t)cos(-878\pi t)$

Bài tập

Bài tập 1.7: Sử dụng $15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^{\circ}$

Hướng dẫn trả lời: 

$cos15^{\circ}=cos(45^{\circ}-30^{\circ})=cos45^{\circ}cos30^{\circ}+sin45^{\circ}sin30^{\circ}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$sin15^{\circ}=sin(45^{\circ}-30^{\circ})=sin45^{\circ}cos30^{\circ}-cos45^{\circ}sin30^{\circ}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\times  \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$tan15^{\circ}=tan(45^{\circ}-30^{\circ})=\frac{tan45^{\circ}-tan30^{\circ}}{1+tan45^{\circ}tan30^{\circ}}$

$=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$

$cot15^{\circ}=\frac{1}{tan15^{\circ}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

Bài tập 1.8: Tính:

a) $cos(a+\frac{\pi }{6})$, biết $sina=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\pi $

b) $tan(a-\frac{\pi }{4})$, biết $cosa=-\frac{1}{3}$ và $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi $ suy ra cosa < 0

Ta có: $sin^{2}a+cos^{2}a=1\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$

$cos(a+\frac{\pi }{6})=cosacos\frac{\pi }{6}-sinasin\frac{\pi }{6}$

$=-\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}$

b) Vì $\pi <a<\frac{3\pi }{2} $ suy ra sina < 0

Ta có: $sin^{2}a+cos^{2}a=1\Rightarrow sina=-\sqrt{1-cos^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\Rightarrow tana=\frac{sina}{cosa}=2\sqrt{2}$

$tan(a-\frac{\pi }{4})=\frac{tana-tan\frac{\pi }{4}}{1+tanatan\frac{\pi }{4}}=\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}-1}{1+(-\frac{2\sqrt{2}}{3})}=-17+12\sqrt{2}$

Bài tập 1.9: Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết:

a) $sina=\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\pi $

b) $sina+cosa=\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\frac{3\pi }{4}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi $ suy ra cosa < 0

Ta có: $sin^{2}a+cos^{2}a=1\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\Rightarrow tana=\frac{sina}{cosa}=2\sqrt{2}$

$sin2a=2sinacosa=2\times \frac{1}{3}\times (-\frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{-4\sqrt{2}}{9}$

$cos2a=cos^{2}a-sin^{2}a=\frac{8}{9}-\frac{1}{9}=\frac{7}{9}$

$tan2a=\frac{2tana}{1-tan{2}a}=\frac{2\times 2\sqrt{2}}{1-(2\sqrt{2})^{2}}=\frac{-4\sqrt{2}}{7}$

b) $sina+cosa=\frac{1}{2}\Rightarrow (sina+cosa)^{2}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow sin^{2}a+cos^{2}a+2sinacosa=\frac{1}{4}\Rightarrow sin2a=\frac{1}{4}-1=\frac{-3}{4}$

Vì $\frac{\pi }{2}<a<\frac{3\pi }{4}\Rightarrow \pi <2a<\frac{3\pi }{2}\Rightarrow cos2a<0$

$cos2a=-\sqrt{1-sin^{2}2a}=-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$

$tan2a=\frac{sin2a}{cos2a}=\frac{\frac{-3}{4}}{\frac{-\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}$

Bài tập 1.10: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\frac{sin\frac{\pi }{15}cos\frac{\pi }{10}+sin\frac{\pi }{10}cos\frac{\pi }{15}}{cos\frac{2\pi }{15}cos\frac{\pi }{5}-sin\frac{2\pi }{15}sin\frac{\pi }{5}}$

b) $B=sin\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $A=\frac{sin\frac{\pi }{15}cos\frac{\pi }{10}+sin\frac{\pi }{10}cos\frac{\pi }{15}}{cos\frac{2\pi }{15}cos\frac{\pi }{5}-sin\frac{2\pi }{15}sin\frac{\pi }{5}}$

$=\frac{\frac{1}{2}(sin\frac{-\pi }{30}+sin\frac{\pi }{6})+\frac{1}{2}(sin\frac{\pi }{30}+sin\frac{\pi }{6})}{\frac{1}{2}(cos\frac{-\pi }{15}+cos\frac{\pi }{3})-\frac{1}{2}(cos\frac{-\pi }{15}-cos\frac{\pi }{3})}$

$=\frac{-sin\frac{\pi }{30}+sin\frac{\pi }{30}+2sin\frac{\pi }{6}}{2cos\frac{\pi }{3}}=\frac{sin\frac{\pi }{6}}{cos\frac{\pi }{3}}=1$

b) $B=sin\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$

$=\frac{1}{2}sin\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$

$=\frac{1}{4}sin\frac{\pi }{8}cos\frac{\pi }{8}=\frac{1}{8}sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{8}$

Bài tập 1.11: Chứng ming đẳng thức sau:

$sin(a+b)sin(a-b)=sin^{2}a-sin^{2}b=cos^{2}b-cos^{2}a$

Hướng dẫn trả lời: 

$sin(a+b)sin(a-b)=(sinacosb+cosasinb)(sinacosb-cosasina)$

$=(sinacosb)^{2}-(cosasinb)^{2}=sin^{2}a(1-sin^{2}b)-(1-sin^{2}a)sin^{2}b$

$=sin^{2}a-sin^{2}b=cos^{2}b(1-cos^{2}a)-cos^{2}a(1-cos^{2}b)=cos^{2}b-cos^{2}a$

Bài tập 1.12: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=75^{\circ};\widehat{C}=45^{\circ}$ và a = BC = 12cm

a) Sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}absinC$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích tam giác ABC cho bởi công thức $S=\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}$

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC

Hướng dẫn trả lời: 

a) Định lí sin: $sin\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$ suy ra $sinA = \frac{asinB}{b}$

$\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}=\frac{a^{2}sinBsinC}{2\frac{asinB}{b}}=\frac{1}{2}\frac{a^{2}bsinBsinC}{asinB}=\frac{1}{2}absinC=S$

b) $S=\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}=\frac{12^{2}\times \frac{1}{2}(cos30^{\circ}-cos120^{\circ})}{2sin(180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ})}=36+12\sqrt{3} (cm^{2})$

Bài tập 1.13: Trong vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức $x(t)=Acos(\omega t+\varphi )$, trog đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A>0) và $\varphi \in [-\pi ;\pi ]$ là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

$x_{1}(t)=2cos(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6})$ (cm)

$x_{2}(t)=2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3})$ (cm)

Tìm dao động tổng hợp $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$ và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Hướng dẫn trả lời: 

$x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)=2coss(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6})+2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3})$

$=2[2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12})cos\frac{\pi }{4}]=2\sqrt{2}cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12})$

Biên độ là $A=2\sqrt{2}$, pha ban đầu là $\varphi =-\frac{\pi }{12}$