Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 5: Dãy số

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân $P_{n}$ (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức $P_{n} = 500(1 + 0,02)^{n}$. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

Hướng dẫn trả lời: 

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta có: n = 2030 – 2020 = 10.

Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là

$P_{10} = 500 . (1 + 0,02)^{10}$ ≈ 609 (nghìn người).

1. Định nghĩa dãy số

Hoạt động 1: Nhận biết dãy số vô hạn

Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n

Hướng dẫn trả lời: 

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

Số chính phương thứ nhất là $u_{1} =0^{2}= 0$

Số chính phương thứ hai là $u_{2}=1^{2}= 1$

Số chính phương thứ ba là $u_{3}=2^{2} = 4$

Số chính phương thứ tư là $u_{4} =3^{2}= 9$

Số chính phương thứ năm là $u_{5} = 4^{2}=16$

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là $u_{n} = (n – 1)^{2}$ với n ∈ ℕ*.

Hoạt động 2: Nhận biết dãy số hữu hạn

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng $u_{n}$ của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n

Hướng dẫn trả lời: 

a) các số chính phương nhỏ hơn 50: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49

b) $u_{n}=(n-1)^{2}$ với $n\in N$* và n ≤ 8.

Luyện tập 1: 

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q + 1.

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là$u_{n}=5n+1(n\in N$*)

b) dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu:  6; 11; 16; 21; 26

Số hạng đầu của dãy số này là 6, số hạng cuối là 26

2. Các cách cho một dãy số

Hoạt động 3: Nhận biết các cách cho một dãy số

Xét dãy số ($u_{n}$) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5: 5; 10; 15; 20; 25; 30; ...

a) Viết công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy số

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n - 1 của dãy số

Hướng dẫn trả lời: 

a) $u_{n}=5n$ (n$\in $N*)

b) Số hạng đầu : 5

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là $u_{n} = u­_{n-1} + 5$ (n ∈ ℕ*, n > 1).

Luyện tập 2: 

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số $(u_{n})$ với số hạng tổng quát $u_{n}=n!$

b) Viết năm số hạng đầu của dãy Fibonacci ($F_{n}$) cho bởi hệ thức truy hồi $ \left\{\begin{matrix}F_{1}=1,F_{2}=1\\ F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}(n\geq 3)\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn trả lời: 

a) năm số hạng đầu của dãy: 1, 2, 6, 24, 120

b) $F_{1}=1,F_{2}=1, F_{3}=1+1=2,F_{4}=2+1=3,F_{5}=3+2=5$

3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

Hoạt động 4: Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm

a) Xét dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}=3n-1$. Tính $u_{n+1}$ và so sánh với $u_{n}$

b) Xét dãy số $(v_{n})$ với $v_{n}=\frac{1}{n^{2}}$. Tính $v_{n+1}$ và so sánh với $v_{n}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $u_{n+1}=3(n+1)-1=3n+2$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n}$ ta có:

$u_{n+1}-u_{n}=(3n+2)-(3n-1)=3>0$ suy ra $u_{n+1}>u_{n}$∀ n ∈ ℕ*.

Vậy $u_{n+1}>u_{n}$ ∀ n ∈ ℕ*.

b) $v_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}}$

Xét hiệu $v_{n+1}-v_{n}$ ta có:

$v_{n+1}-v_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}=\frac{n^{2}-(n+1)^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{n^{2}-(n^{2}+2n+1)}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{-(2n+1)}{n^{2}(n+1)^{2}}<0$ ∀ n ∈ ℕ*.

Tức là $v_{n+1}<v_{n}$  ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy $v_{n+1}<v_{n}$  ∀ n ∈ ℕ*.

Luyện tập 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_{n})$, với $u_{n}=\frac{1}{n+1}$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{n+1+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}<0,\forall n\in N$*

Tức là $u_{n+1}<u_{n},\forall n\in N$*

Vậy $(u_{n})$ là dãy số giảm

Hoạt động 5: Nhận biết dãy số bị chặn

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n+1}{n},\forall n\in N$*

a) So sánh $u_{n}$ và 1

b) So sánh $u_{n}$ và 2

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{n}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}>1,\forall n\in N$*

b) Ta có $\frac{1}{n}\leq 1,\forall n\in N$*, suy ra $1+\frac{1}{n} \leq 1+1=2,\forall n\in N$*

Do đó $u_{n}=\frac{n+1}{n}= 1+\frac{1}{n}<2,\forall n\in N$*

Luyện tập 4: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_{n})$, với $u_{n}=2n-1$

Hướng dẫn trả lời: 

Dãy số bị chặn dưới vì $u_{n}=2n-1>-1,\forall n\in N$*

Dãy số ($u_{n}$) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

$u_{n} = 2n – 1 ≤ M$ với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số ($u_{n}$) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vận dụng: Anh Thanh vừa được tuyển vào một công ty công nghệ, được cm kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi $s_{n}$ (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có: $s_{1}=200,s_{n}=s_{n-1}+25$ với $n\geq 2$

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh $(s_{n})$ là dãy số tăng. Giải thích ý nghãi thực tế của kết quả này.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Số hạng tổng quát của dãy số là: $s_{n}=200+25(n-1)=175+25n$

Lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty: 175 +25 x 5 = 300 (triệu đồng)

b) Ta có: $s_{n+1}=175+25(n+1)=200+25n>s_{n}$ với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*. suy ra $(s_{n})$ là dãy số tăng

Ý nghĩa: Tiền lương của anh Thành sẽ được tăng dần hàng năm  theo thời gian làm việc.

Bài tập

Bài tập 2.1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số $(u_{n})$ có số hạng tổng quát cho bởi

a) $u_{n}=3n-2$

b) $u_{n}=3$x$2^{n}$

c) $u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $u_{1}=1,u_{2}=4,u_{3}=7,u_{4}=10,u_{5}=13,u_{100}=298$

b) $u_{1}=6,u_{2}=12,u_{3}=24,u_{4}=48,u_{5}=96,u_{100}=3.803\times 10^{30}$

c) $u_{1}=2,u_{2}=\frac{9}{4},u_{3}=\frac{64}{27},u_{4}=\frac{625}{256},u_{5}=2.48832,u_{100}=2.7148$

Bài tập 2.2: Dãy số $(u_{n})$ cho bởi hệ thức truy hồi $u_{1}=1,u_{n}=nu_{n-1}$ với $n\geq 2$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $u_{1}=1,u_{2}=2,u_{3}=6,u_{4}=24,u_{5}=120$

b) Ta có: $u_{1}=1=1!,u_{2}=2=2!,u_{3}=6=3!,u_{4}=24=4!,u_{5}=120=5!$

Vậy công thức số hạng tổng quát là: $u_{n}=n!$

Bài tập 2.3: Xét tính tăng, giảm của dãy số ($u_{n}$), biết:

a) $u_{n}=2n-1$

b) $u_{n}=-3n+2$

c) $u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}$

Hướng dẫn trả lời: 

a)Ta có: $u_{n+1} = 2(n + 1) – 1 = 2n + 2 – 1 = 2n + 1$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n} = (2n + 1) – (2n – 1) = 2 > 0$, tức là $u_{n+1}>u_{n}$ , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy ($u_{n}$) là dãy số tăng.

b) Ta có: $u_{n+1} = – 3(n + 1) + 2 = – 3n – 3 + 2 = – 3n – 1$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n} = (– 3n – 1) – (– 3n + 2) = – 3 < 0$, tức là $u_{n+1}<u_{n}$­, ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy ($u_{n}$) là dãy số giảm.

c) $u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}$

Nhận xét thấy:

$u_{1}=\frac{(-1)^{1-1}}{2^{1}}=\frac{1}{2}>0$

$u_{2}=\frac{(-1)^{2-1}}{2^{2}}=\frac{-1}{4}<0$

$u_{3}=\frac{(-1)^{3-1}}{2^{3}}=\frac{1}{8}>0$

$u_{4}=\frac{(-1)^{4-1}}{2^{4}}=-\frac{1}{16}<0$

...

Vậy dãy số ($u_{n}$) không tăng, cũng không giảm.

Bài tập 2.4: Trong các dãy số ($u_{n}$) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) $u_{n}=n-1$

b) $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}$

c) $u_{n}=sinn$

d) $u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có $u_{n}=n-1\geq 0 (\forall  n\in N$*) suy ra $u_{n}$ bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ*.

Dãy số ($u_{n}$) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

$u_{n}  = n – 1 ≤ M$ với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số ($u_{n}$) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b) Ta có: $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}<1; u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}\geq 0(\forall  n\in N$*)

Suy ra $u_{n}$ bị chặn

c) $u_{n}=sinn$ do đó $-1\leq u_{n} \leq1(\forall  n\in N$*)

Suy ra $u_{n}$ bị chặn

d) $u_{n}= (– 1)^{n-1}.n^{2}$

Ta có: $(– 1)^{n-1} = 1$ với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.

$(– 1)^{n-1} = – 1$ với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.

$n^{2} ≥ 0$ với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, $– 1 . n^{2} ≤ (– 1)^{n-1}. n^{2} ≤ 1 . n^{2}$ hay $– n^{2} ≤ u_{n} ≤ n^{2}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số ($u_{n}$) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số ($u_{n}$) là dãy số bị chặn.

Bài tập 2.5: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 3

b) Khi chia cho 4 dư 1

Hướng dẫn trả lời: 

a) $u_{n}=3n(\forall  n\in N$*)

b) $u_{n}=4n+1(\forall  n\in N$*)

Bài tập 2.6: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức.

$A_{n}=100(1+\frac{0.06}{12})^{n}$

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm

Hướng dẫn trả lời: 

a) Số tiền ông An nhận được sau 1 tháng: $A_{1}=100(1+\frac{0.06}{12})^{1}=100.5$ (triệu đồng)

Số tiền ông An nhận được sau 2 tháng: $A_{2}=100(1+\frac{0.06}{12})^{2}=101.0025$ (triệu đồng)

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm: $A_{12}=100(1+\frac{0.06}{12})^{12}=106.1678$ (triệu đồng)

Bài tập 2.7: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0.8% số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi $A_{n}(n\in N)$ là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng

a) Tìm lần lượt $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}, A_{5},A_{6}$ để tính ra số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số $(A_{n})$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $A_{0}=100$

$A_{1}=100+100\times 0.008-2=98.8$

$A_{2}=98.8+98.8\times 0.008-2=97.59$

$A_{3}=97.59+97.59\times 0.008-2=96.37$

$A_{4}=96.37+96.37\times 0.008-2=95.14$

$A_{5}=95.14+95.14\times 0.008-2=93.90$

$A_{6}=93.90+93.90\times 0.008-2=92.65$

Vậy sau 6 tháng số tiền chị Hương còn nợ là 92.65 triệu đồng

b) Hệ thức truy hồi: $A_{n}=A_{n-1}+A_{n-1}\times 0.008-2=1.008A_{n-1}-2$ (triệu đồng)