Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 32 Các quy tắc tinh đạo hàm

1. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 

a, Đạo hàm của hàm số $y=n^{n}(n\in \mathbb{N})$

Hoạt động 1 trang 88 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết đạo hàm của hàm số $y=x^{n}$

a) Tính đạo hàm của hàm số $y=x^{3}$ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số $y=n^{n}(n\in \mathbb{N})$

Hướng dẫn giải

a) $y′=3x^{2}$

b) ) $y′=nx^{n−1}$

b, Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$

Hoạt động 2 trang 88 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm x>0.

 Hướng dẫn giải

$y′=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG

Hoạt động 3 trang 89 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=x^{3}+x^{2}$ tại điểm x bất kì.

b) So sánh: $(x^{3}+x^{2})'$ và $(x^{3})'+(x^{2})'.$

Hướng dẫn giải

a) $y'=3x^{2}+2x$

b) $(x^{3}+x^{2})' = (x^{3})'+(x^{2})'.$

Luyện tập 1 trang 90 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$

b) $y=(\sqrt{x}+1).(x^{2}+2)$

 Hướng dẫn giải

a) $y'=\frac{(\sqrt{x})'(x+1)-\sqrt{x}(x+1)}{(x+1)^{2}}$

$y'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^{2}}$

$y'=\frac{(x+1)-2x\sqrt{x}}{2(x+1)^{2}\sqrt{x}}$

b) $y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^{2}+2)+2x(\sqrt{x}+1)$

$y'=\frac{x+4\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}+2x(\sqrt{x}+1)$

$y'=\frac{5x+8\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}+2x$

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

b) Đạo hàm của hàm số hợp

Hoạt động 4 trang 90 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số y=u^{2} và u=x^{2}+1

a) Viết công thức của hàm số hợp $y = (u(x))^{2} $ theo biến x.

b) Tính và so sánh: y′(x)và y′(u).u′(x).

Hướng dẫn giải

a) Ta có $y=u^{2}$ và $u=x^{2}+1$, suy ra $y=(x^{2}+1)^{2}.$

b) Ta có y=(u(x))^{2}, suy ra theo quy tắc chuỗi ta có:

$y′(x)=2u(x)⋅2x=4x(x^{2}+1)$

Và $y′(u)=2u, u′(x)=2x$, suy ra $y′(u).u′(x)=2u⋅2x=4x(x^{2}+1).$

Luyện tập 2 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=(2x-3)^{10}$

b) $y=\sqrt{1-x^{2}}$

Hướng dẫn giải

a) $y'(x)=\frac{d}{dx}(2x-3)^{10}$

$=10(2x-3)^{9}\cdot \frac{d}{dx}(2x-3)$

$=10(2x-3)^{9}.2=20(2x-3)^{9}$

b) $y'(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^{2}}$

$=\frac{d}{dx}(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

a) Đạo hàm của hàm số y = sin x

Hoạt động 5 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h≠0, biến đổi hiệu $sin(x+h)−sinx$ thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinh}{h}=1$ và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số $y=sinx$ tại điểm x bằng định nghĩa

Hướng dẫn giải

a) $sin(x+h)−sin(x)=2cos(\frac{x+h+x}{2}) sin(\frac{x+h-x}{2})=2cos(x+\frac{h}{2})sin(\frac{h}{2})$

b) Áp dụng định nghĩa, ta có:

$y′(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2cos(x+\frac{h}{2})}{h}$

Chia tử và mẫu cho $2sin(\frac{h}{2})$, ta có:

$y'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cos(x+\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\cdot \frac{1}{sin(\frac{h}{2})}\cdot sin(\frac{h}{2})=\lim_{h\rightarrow 0}cos(x+\frac{h}{2})\cdot \frac{1}{\frac{h}{2}}\cdot \frac{sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}$

Áp dụng kết quả của đẳng thức giới hạn, ta có:

$y′(x)=cos(x)⋅1=cos(x)$

Luyện tập 3 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y=sin\left ( \frac{\pi }{3} -3x\right )$

Hướng dẫn giải

$y'=\frac{d}{dx}\left ( \frac{\pi }{3} -3x\right )$

$y'=(-3)cos\left ( \frac{\pi }{3} -3x\right )$

b) Đạo hàm của hàm số y=cosx

Hoạt động 6 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm số y=cosx

 Bằng cách viết $y=cosx=sin(\frac{\pi }{2}−x)$ tính đạo hàm của hàm số y=cosx.

Hướng dẫn giải

$y′=cosx=−sinx.$

Luyện tập 4 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y=2cos(\frac{\pi }{4}-2x)$

 Hướng dẫn giải

$y'=[2cos(\frac{\pi }{4}-2x)]$

$=-2sin(\frac{\pi }{4}-2x).(\frac{\pi }{4}-2x)$

$=-2sin(\frac{\pi }{4}-2x).(-2)$

$=4sin(\frac{\pi }{4}-2x)$

c) Đạo hàm của các hàm số $y=tanx$ và $y=cotx$

Hoạt động 7 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số $y=tanx$ và $y=cotx$

a) Bằng cách viết $y=tanx=\frac{sinx}{cosx}(x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi , k\in \mathbb{Z})$, tính đạo hàm của hàm số y=tanx

b) Sử dụng đẳng thức $x=tan(\frac{\pi }{2})−x$ với x ≠ π(k∈Z), tính đạo hàm của hàm số y=cotx.

 Hướng dẫn giải

a)$ (tanx)'=\frac{cosx.sin'x-sinx.cos'x}{cos^{2}x}$

$=\frac{cosx.cosx-sinx.-sinx}{cos^{2}x}$

$=\frac{cos^{2}x+sin^{2}x-}{cos^{2}x}$

$=\frac{1}{cos^{2}x}$

b) $(cotx)'=\frac{sinx(-cosx)-cosx.sinx}{sin^{2}x}$

$=\frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sin^{2}x}=\frac{-1}{sin^{2}x}$

Luyện tập 5 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y=2tan^{2}x+3cot\left ( \frac{\pi }{3}-2x \right )$

 Hướng dẫn giải

$y'=\left ( 2tan^{2}x+3cot\left ( \frac{\pi }{3}-2x \right ) \right )'$

$y'=4sinx+6cos^{2}\left ( \frac{\pi }{3}-2x \right )$

5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT

a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hoạt động 8 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến $t=\frac{1}{x}$, tìm giới hạn $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$

b) Với $y=(1+x)^{\frac{1}{x}}$, tính In y và tìm giới hạn của $\lim_{x\rightarrow 0}lny.$

c) Đặt $t=e^{x}−1$. Tính x theo t và tìm giới hạn $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}−1}{x}$

 Hướng dẫn giải

a) $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

b) $lny=ln[(1+x)^{\frac{1}{x}}]=\frac{ln(1+x)}{x}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+x}=1$

c) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{ln(1+t)-1}}{ln(1+t)}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{t}{1+t}=0$

a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hoạt động 9 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h-1}}{h}=1$ và đẳng thức $e^{x+h}-e^{x}=e^{x}(e^{h}-1)$, tính đạo hàm của hàm số $y=x^e$ tại x bằng định nghĩa

b) Sử dụng đẳng thức $a^{x}=e^{xlna}(0< a\neq 1)$, hãy tính đạo hàm của hàm số $y=a^{x}$

 Hướng dẫn giải

a) $y'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^e-x^e}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln(x+h)}-e^{e\ln x}}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}e^{e\ln(1+\frac{h}{x})}-e^{e\ln x}}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\ln(1+\frac{h}{x})}-1\right)}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\left(\frac{h}{x}+\mathcal{O}(h^2)\right)}-1\right)}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\frac{h}{x}}-1\right)}{h} $

$=e^{e\ln x}\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\frac{h}{x}}-1}{\frac{h}{x}}\cdot\frac{1}{x}$

$=x^e\lim_{h\to 0} \frac{e^{h/x}-1}{h/x}\cdot\frac{1}{x} \quad\text{(đặt $u=h/x$)}$

$=x^e\lim_{u\to 0} \frac{e^u-1}{u}\cdot\frac{1}{x}$

$=\frac{x^e}{x}$

b) $y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\frac{e^{(x+h)\ln a}-e^{x\ln a}}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x\ln a}\left(e^{h\ln a}-1\right)}{h}$

$=a^x\lim_{h\to 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h}$

$=a^x\lim_{h\to 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h\ln a}\cdot\ln a$

$=a^x\cdot\ln a$

Luyện tập 6 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = e^{x^{2}-x}$

b) $y=3^{sinx}$

 Hướng dẫn giải

a) $y' = (f(g(x)))' $

$= f'(g(x))\cdot g'(x) $

$= e^{g(x)}\cdot (2x-1) $

$= e^{x^2-x}\cdot (2x-1)$

b) $y' = \frac{d}{dx}\left(3^{\sin x}\right) $

$= \frac{d}{dx}\left(e^{\ln 3 \cdot \sin x}\right) $

$= \frac{d}{dx}\left(\ln 3 \cdot \sin x\right)\cdot e^{\ln 3 \cdot \sin x} $

$= \ln 3 \cdot \cos x \cdot 3^{\sin x}$

c) Đạo hàm của hàm số lôgarit

Hoạt động 10 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) sử dụng giới hạn $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}=1$ và đẳng thức $ln(x+h)-ln{x}=ln(\frac{x+h}{x})=ln(1+\frac{h}{x})$ tính đạo hàm của hàm số $y =Inx$ tại điểm $x > 0$ bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức $\log_{a}x=\frac{lnx}{lna}(0< a\neq 1)$, hãy tính đạo hàm của $y=\log_{a}x$

 Hướng dẫn giải

a) $y = Inx$

$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{In(x+h)-Inx}{h}$

Sử dụng đẳng thức $ln(1+t)=t+o(t)$ khi $t\rightarrow 0$, ta có:

$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{h}{x})}{h}$

Áp dụng giới hạn $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}=1$, ta có:

$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}\cdot\frac{1}{x}$

$y' = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}\cdot\frac{1}{x}$ (với $t = \frac{h}{x}$)

$y' = \frac{1}{x}$

b) $y=\log_{a}x=\frac{lnx}{lna}$

$y' = \frac{d}{dx}(\frac{lnx}{lna})$

$y' = \frac{1}{lna}\cdot\frac{d}{dx}(lnx)$

Sử dụng kết quả đã tính ở câu a), ta có:

$y' = \frac{1}{lna}\cdot\frac{1}{x}$

$y' = \frac{1}{x\cdot lnax}$

Luyện tập 7 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $\log_{2}(2x-1)$

 Hướng dẫn giải

$y' =(\log_{2}(2x-1))' = \frac{2}{(2x-1)\ln 2}$

Vận dụng 2 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Ta đã biết, độ $pH$ của một dung dịch được xác định bởi $pH=-log[H^{+}]$, ở đó $[H^{+}]$ là nồng độ (mol/l) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đỏi của $pH$ đối với nồng độ $[H^{+}]$

 Hướng dẫn giải

Với $pH=-log[H^{+}]$, ta có:

$\frac{dpH}{d[H^{+}]} = \frac{d}{d[H^{+}]}(-log[H^{+}])$

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

$\frac{dpH}{d[H^{+}]} = \frac{d}{d[H^{+}]}(-1\cdot log[H^{+}])$

$\frac{dpH}{d[H^{+}]} = -1\cdot \frac{d}{d[H^{+}]}(log[H^{+}])$

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số logarit tổng quát, ta có:

$\frac{dpH}{d[H^{+}]} = -1\cdot \frac{1}{[H^{+}]\ln 10}$

Vậy tốc độ thay đổi của $pH$ đối với nồng độ $[H^{+}]$ là:

$\frac{dpH}{d[H^{+}]} = -\frac{1}{[H^{+}]\ln 10}$

BÀI TẬP

Bài tập 9.6 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x^{3}-3x^{2}+2x+1$

b) $y=x^{2}-4\sqrt{x}+3$

 Hướng dẫn giải

a) $y' = \frac{d}{dx}(x^{3}) - \frac{d}{dx}(3x^{2}) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1)$

$y' = 3x^{2} - 6x + 2$

b) $\frac{d}{dx}(x^{n}) = nx^{n-1}$ 

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{d}{dx}(f(x)+g(x)) = f'(x) + g'(x)$

$\frac{d}{dx}(cf(x)) = c f'(x)$ 

$y' = \frac{d}{dx}(x^{2}) - \frac{d}{dx}(4\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(3)$

$y' = 2x - 2\sqrt{x}$

Bài tập 9.7 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)$y=\frac{2x-1}{x+2}$

b) $y=\frac{2x}{x^{2}+1}$

 Hướng dẫn giải

a) $y' = \frac{(2)(x+2) - (2x-1)(1)}{(x+2)^2}$

$y' = \frac{5}{(x+2)^2}$

b) $y' = \frac{(2)(x^{2}+1) - (2x)(2x)}{(x^{2}+1)^2}$

$y' = \frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^2}$

Bài tập 9.8 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=xsin^{2}x$

b) $y=cos^{2}x+sin2x$

c) $sin3x-3sinx$

d) $tanx+cotx$

 Hướng dẫn giải

a) $y' = xsin2x + sin^{2}x$

$y' = sin^{2}x + xsin2x$

b) $y' = -2sin2x + 2cosx$

$y' = 2(cosx-sin2x)$

c) $y=sin3x-3sinx$

$y' = 3cos3x - 3cosx$

d) $y' = \frac{1}{cos^{2}x} - \frac{1}{sin^{2}x}$

$y' = \frac{sin^{2}x - cos^{2}x}{sin^{2}x\cdot cos^{2}x}$

$y' = \frac{sin2x}{sin^{2}$

Bài tập 9.9 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)$y=2^{3x-x^{2}}$

b)$y=log_{3}(4x+1)$

 Hướng dẫn giải

a)$y'=2^{3x-x^{2}}.ln2.(3-2x)$

b) $y'\frac{4}{ln3}.\frac{1}{4x+1}.4=\frac{4}{(4x+1)ln3}$

Bài tập 9.10 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số $f(x)=2sin^{2}(3x-\frac{\pi }{4}) Chứng minh rằng $\left | f'(x)\leq 6 \right |$ với mọi $x$.

 Hướng dẫn giải

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left[2sin^{2}(3x-\frac{\pi }{4})\right] $

$= 4sin(3x-\frac{\pi }{4})\cdot cos(3x-\frac{\pi }{4})\cdot 3 $

$= 6sin(6x-\frac{\pi }{2}) \ = 6cos(6x)$

Vì $-1\leq cos(6x)\leq 1$ với mọi $x$, nên ta có $\left|f'(x)\right|=\left|6cos(6x)\right|\leq 6$ với mọi $x$. Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.

Bài tập 9.11 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình $h(t)= 100 – 4,9t^{2}$, ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm $t = 5$ giây

b) Khi vật chạm đất.

 Hướng dẫn giải

a) Để tính vận tốc của vật tại thời điểm $t$, ta cần tính đạo hàm của hàm số $h(t)$ tại thời điểm đó:

$v(t) = h'(t) = \frac{d}{dt}(100-4.9t^2)  = -9.8t $

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm $t=5$ giây là: $v(5) = -9.8 \cdot 5 = 49$ (m/s).

b) Vật chạm đất khi $h(t) = 0$, tức là:

$100-4.9t^2=0$

$\Rightarrow = \sqrt{\frac{100}{4,9}}$

$v_{f}=\sqrt{2gh_{0}}=\sqrt{2.9,8.100}=\sqrt{1960}=44,3 m/s$

Bài tập 9.12 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi $s(t)=12+0,5 sin(4\pi t)$, trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau $t$ giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?

 Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm $s(t)$ theo thời gian $t$:

$v(t)=\frac{ds}{dt}=2\pi cos(4\pi t)4$

Ta thấy rằng hàm $v(t)$ là một hàm cosin với biên độ bằng $2\pi$, do đó giá trị lớn nhất của hàm này là $2\pi$. Vậy vận tốc cực đại của hạt là $2\pi$ cm/s.