Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới Bài tập cuối chương VI

A - TRẮC NGHIỆM

Bài tập 6.27 trang 25 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai số thưc dương x,y và hai số thực $\alpha ,\beta $ tùy ý. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $x^{\alpha} .x^{\beta }=x^{\alpha+\beta }$

B. $x^{\alpha} .y^{\beta }=xy^{\alpha+\beta }$

C.$(x^{\alpha})^{\beta} =x^{\alpha.\beta }$

D.$xy^{\alpha} =x^{\alpha} y^{\beta}$

Hướng dẫn giải

B. $x^{\alpha} .y^{\beta }=xy^{\alpha+\beta }$

Bài tập 6.28 trang 25 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Rút gọn biểu thức $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}: x^{\frac{5}{8}} (x> 0)$ ta được

A.$\sqrt[4]{x}$

B.$\sqrt{x}$

C.$\sqrt[3]{x}$

D.$\sqrt[5]{x}$

 Hướng dẫn giải

A.$\sqrt[4]{x}$

$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}=\sqrt{x.x^\frac{1}{2}.x^{\frac{1}{4}}}  =\sqrt{\frac{7}{4}} =x^{\frac{7}{8}}$

chia biểu thức trên cho $x^{\frac{5}{8}}$, ta có:

$x^{\frac{7}{8}}-x^{\frac{5}{8}}=x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x}$

Bài tập 6.29 trang 25 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai số thực dương a,b với $a\neq 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\log_{a}(a^{3}b^{2})=3+\log_{a}b$

B.$\log_{a}(a^{3}b^{2})=3+2\log_{a}b$

C.$\log_{a}(a^{3}b^{2})=\frac{3}{2}+\log_{a}b$

D.$\log_{a}(a^{3}b^{2})=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\log_{a}b$ 

 Hướng dẫn giải

B.$\log_{a}(a^{3}b^{2})=3+2\log_{a}b$

$\log_a(a^3b^2) = \log_a(a^3) + \log_a(b^2)$

$= 3\log_a(a) + 2\log_a(b) = 3+2\log_a(b)$

Bài tập 6.30 trang 25 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho bốn số thực dương a,b,x,y,b, với $a,b\neq 1$ Khẳng định nào sau đây là sai?

A.$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_b(y)$

B.$\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x)-\log_a(y)$

C.$\log_{a}\frac{1}{x}=\frac{1}{\log_{a}x}$

D.$\log_{a}b.\log_{b}x=log_{a}x$

 Hướng dẫn giải

D.$\log_{a}b.\log_{b}x=log_{a}x$

Vì

$\log_{a}b.\log_{b}x= \frac{\log_{b}b}{\log_{b}a}\cdot\log_{b}x = \frac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$

Bài tập 6.31 trang 25 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Đặt $\log_2(5) = a  \log_3(5)=b   $. Khi đó $\log_6(5)$ tính theo a và b bằng

A.$\frac{ab}{a+b} $

B.$\frac{1}{a+b}$

C.$a^{2}+b^{2}$

D.$a+b$

 Hướng dẫn giải

A.$\frac{ab}{a+b} $

Bài tập 6.32 trang 25 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số $y=2^{x}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tập xác định của hàm số là R

B. Tập giá trị của hàm số là $(0;+\infty)$

C. Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại đúng một điểm

D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó 

Hướng dẫn giải

C. Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại đúng một điểm

Bài tập 6.33 trang 25 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó ?

A. $y=\log_{0,5} $

B. $y=e^{-x}$

C. $y=(\frac{1}{3})^{x}$

D. $y=ln x$

 Hướng dẫn giải

D. $y=ln x$

$y=\ln x$ đồng biến trên tập xác định $(0,+\infty)$ của nó vì đạo hàm của nó là $\frac{1}{x}$, là một hàm dương trên tập xác định $(0,+\infty)$ của nó.

Bài tập 6.34 trang 25 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho đồ thị ba hàm số $y=\log_{a}x, y=\log_{b}x$ và $y=\log_{c}x$ như hình trên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a>b>c

B. b>a>c

C. a>c>b

D. b>c>a

 Hướng dẫn giải

B. b>a>c

Hàm số $y=\log_{c}x$ nghịch biến ⇒ 0 < c < 1 , các hàm $y=\log_{a}x$, $y=\log_{b}x$ đồng biến nên a ; b > 1  Chọn $x = 100 ⇒ \log_{a}100 > \log_{b} 100$ ⇒ a < b ⇒ b>a>c .

B - TỰ LUẬN

Bài tập 6.35 trang 26 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho 0 < $a\neq 1$. Tính giá trị của biểu thức $B= \log_{a}(\frac{a^{2}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{a^{4}}\sqrt[5]{a^{4}}}{\sqrt[4]{5}})+a^{2\log_{a}\frac{\sqrt{105}}{30}}$

 Hướng dẫn giải

$B= \log_{a}\left(\frac{a^{2}\sqrt[3]{a}\sqrt[5]{a^{4}}\sqrt[5]{a^{4}}}{\sqrt[4]{5}}\right) + a^{2\log_{a}\frac{\sqrt{105}}{30}} $

$= \log_{a}(a^{2}) + \log_{a}(\sqrt[3]{a}) + \log_{a}(\sqrt[5]{a^{4}}) + \log_{a}(\sqrt[5]{a^{4}}) - \log_{a}(\sqrt[4]{5}) + a^{2\log_{a}\frac{\sqrt{105}}{30}}$

$= 2 + \frac{1}{3}\log_{a}a + \frac{4}{5}\log_{a}a - \frac{1}{4}\log_{a}5 + a^{2\log_{a}\frac{\sqrt{105}}{30}}$

$ = 2 + \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{1}{4}\log_{a}5 + a^{2\log_{a}\frac{\sqrt{105}}{30}} $

$=\frac{31}{15} - \frac{1}{4}\log_{a}5 + a^{2\log_{a}\frac{\sqrt{105}}{30}}$

Tính giá trị của $a^{2\log_{a}\frac{\sqrt{105}}{30}}$:

$a^{2\log_{a}\frac{\sqrt{105}}{30}}=a^{\log_{a}\left(\left(\frac{\sqrt{105}}{30}\right)^{2}\right)}$

$= \left(\frac{\sqrt{105}}{30}\right)^{2}= \frac{105}{900} = \frac{7}{60}$

Vậy ta có:

$B = \frac{31}{15} - \frac{1}{4}\log_{a}5 + a^{2\log_{a}\frac{\sqrt{105}}{30}}$ 

$= \frac{31}{15} - \frac{1}{4}\log_{a}5 + \frac{7}{60} = \frac{205 - 3\log_{a}5}{60}$

Bài tập 6.36 trang 26 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giải các phương trình sau: 

a) $3^{1-2}=4^{x }$

b) $\log_{3}(x+1)+\log{3}(x+4)=2$

 Hướng dẫn giải

a) Ta có $3^{1-2} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$ và $4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2x}$.

Vậy phương trình trở thành $\frac{1}{3} = 2^{2x}$, hay $\log_{2}\frac{1}{3} = 2x$.

Từ đó, $x = \frac{1}{2}\log_{2}\frac{1}{3} = \log_{2}\sqrt{\frac{1}{3}} = \log_{2}\frac{1}{\sqrt{3}} = \log_{2}\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) Áp dụng tính chất $\log_{a}(mn) = \log_{a}m + \log_{a}n$, phương trình trở thành:

$\log_{3}[(x+1)(x+4)] = 2$

$\iff (x+1)(x+4) = 3^{2}$

$\iff x^{2} + 5x + 4 = 9  \iff x^{2} + 5x - 5 = 0 \iff (x+5)(x-1) = 0$

Nghiệm $x=1$ thỏa mãn đề bài

Bài tập 6.37 trang 26 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tìm tập xác định của các hàm số sau: 

a)$y=\sqrt{4^{x}-2^{x+1}}$

b)$y=ln(1-lnx)$

 Hướng dẫn giải

a) Để $y$ có giá trị thực, cần thỏa mãn điều kiện $4^{x}-2^{x+1}\geq0$. Ta có $4^{x}-2^{x+1}=2^{2x}-2\cdot2^{x}=2^{x}(2^{x}-2)\geq0$ khi và chỉ khi $x\in(-\infty,0]\cup[1,+\infty)$.

Do đó, tập xác định của hàm số $y=\sqrt{4^{x}-2^{x+1}}$ là $x\in(-\infty,0]\cup[1,+\infty)$.

b) Để $y$ có giá trị thực, cần thỏa mãn điều kiện $1-\ln{x}>0$, hay $\ln{x}<1$, tức $x>e$. Vậy, tập xác định của hàm số $y=\ln(1-\ln{x})$ là $x\in(e,+\infty)$.

Bài tập 6.38 trang 26 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là 5% một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất 5% của 1 triệu đồng, tức là 50 000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là r% một năm thì tổng số tiền P ban đầu, sau n năm số tiền đó chỉ còn giá trị là

$A=P.(1-\frac{r}{100})^{n}$

a) Nếu tỉ lệ lạm phát là 8% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại bao nhiêu?

b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ
lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?

c) Nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa?

 Hướng dẫn giải

a) Theo công thức $A=P.(1-\frac{r}{100})^{n}$, ta có:

$A=.(1-\frac{8}{100})^{2}\approx73,6$ triệu đồng

Vậy sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm với tỉ lệ lạm phát là 8% một năm chỉ còn lại khoảng 73.6 triệu đồng.

b) Thay $P=100$ triệu đồng, $A=90$ triệu đồng, $n=2$ vào phương trình ta có:

$90=100.(1-\frac{r}{100})^{2}$ 

$\Rightarrow (1-\frac{r}{100})^{2}=0,9\Leftrightarrow 1-\frac{r}{100}\approx 0,95\Leftrightarrow r\approx 5,13%%

Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là khoảng 5.13%.

c)Thay $P=1$ và $A=\frac{1}{2}$ vào phương trình ta có:

$\frac{1}{2}=(r-\frac{r}{100})^{n}$

$ln(\frac{1}{2})nln(1-\frac{r}{100})$

$n=\frac{ln(\frac{1}{2})}{ln(1-\frac{r}{100})}$

$n=\frac{ln(\frac{1}{2})}{ln(1-\frac{5}{100})}\approx 14,21$

Vậy sau khoảng 14 năm và 3 tháng, sức mua của số tiền ban đầu sẽ chỉ còn lại một nửa nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm.

Bài tập 6.39 trang 26 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giả sử quá trình nuôi cấy vi khuẩn tuân theo quy luật tăng trưởng tự do. Khi đó, nếu gọi N0 là số lượng vi khuẩn ban đầu và N(t) là số lượng vi khuẩn sau t giờ thì ta có:

$N(t)=N_{0}e^{rt}$

trong đó r là tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn mỗi giờ.
Giả sử ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con. Hỏi:

a) Sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là khoảng bao nhiêu con?

b) Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?

 Hướng dẫn giải

a) Ta có công thức tính tỉ lệ tăng trưởng r như sau:

$r=\frac{ln\frac{N(t)}{N_{0}}}{t}$

Áp dụng vào giá trị ban đầu ta có:

$r=\frac{ln\frac{800}{500}{1}=0,47$

Sử dụng công thức tính số lượng vi khuẩn sau t giờ ta được:

$N(t)=N_{0}e^{rt}=500e^{0,47t}$

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn khoảng là:

$N(5)=500e^{0,47 \times 5 }\approx 3,643$ con

b) Áp dụng công thức tính số lượng vi khuẩn sau t giờ, ta được:

$N(t)=N_{0}e^{rt}=N_{0}$

$e^{rt}=2=rt=ln2$

Do đó, thời gian cần tìm là:

$t=\frac{ln2}{r}=\frac{ln2}{0,47}\approx 1,47$

Vậy số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi sau khoảng 1.47 giờ.

Bài tập 6.40 trang 26 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Vào năm 1938, nhà vật lí Frank Benford đã đưa ra một phương pháp để xác định xem một bộ số đã được chọn ngẫu nhiên hay đã được chọn theo cách thủ công. Nếu bộ số này không được chọn ngẫu nhiên thì công thức Benford sau sẽ được dùng ước tính xác suất P đề chữ số d là chữ số đầu tiên của bộ số đó:$P=\log\frac{d+1}{d}$ (Theo F.Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938), 551-572).

Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là 9 bằng khoảng 4,6% (thay d = 9 trong công thức Benford để tính P).

a) Viết công thức tìm chữ số d nếu cho trước xác suất P.

b) Tìm chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn.

c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.

 Hướng dẫn giải

a) Ta có công thức tính xác suất P như sau:

$P=log\frac{d+1}{d}$

$P=log\frac{d+1}{d}\Rightarrow \frac{d+1}{d}=e^{P}\Rightarrow d+1=de^{P}\Rightarrow d=\frac{1}{e^{P}-1}$

b) Để tìm chữ số có xác suất bằng 9,7%, ta giải phương trình sau theo d:

$log\frac{d+1}{d}=log\frac{10}{9,7}\Rightarrow \frac{d+1}{d}=\frac{10}{9,7}\Rightarrow d+1=\frac{1}{0,97}=1,03$

Vậy chữ số có xác suất bằng 9,7% là 1.

c) Để tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1, ta thay d = 1 vào công thức tính P:

$P=\log\frac{1+1}{1}=\log2\approx 0,3$