Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 15: Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Hoạt động 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

Cho dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0.01?

Hướng dẫn trả lời: 

a) $u_{1}=-1;u_{2}=\frac{1}{2};u_{3}=-\frac{1}{3};u_{4}=\frac{1}{4};u_{5}=-\frac{1}{5}$

b) Ta có $u_{100}=0.01$ suy ra bắt đầu từ số hạng thứ 101 khoảng cách từ số hạng đến 0 nhỏ hơn 0.01

Luyện tập 1: Chứng minh rằng $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n}}=0$

Hướng dẫn trả lời: 

Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì $|u_{n}|=\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n}}$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn

Chẳng hạn, để $|u_{n}|<1.69\times 10^{-5}$ ta cần n > 10. Như vậy, các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 11 đều có giá trị nhỏ  hơn $1.69\times 10^{-5}$

Hoạt động 2: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n+(-1)^{n}}{n}$. Xét dãy số $(v_{n})$ xác định bởi $v_{n}=u_{n}-1$. Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}$

Hướng dẫn trả lời: 

$v_{n}=u_{n}-1=\frac{n+(-1)^{n}}{n}-1=\frac{n+(-1)^{n}-n}{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}\rightarrow 0$ khi $n\rightarrow +\infty $

Do vậy $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=0$

Luyện tập 2: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{3\times 2^{2}-1}{2^{n}}$. Chứng minh rằng $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=3$

Hướng dẫn trả lời: 

$u_{n}-3=\frac{3\times 2^{2}-1}{2^{n}}-3=\frac{3\times 2^{n}-1-3\times 2^{n}}{2^{n}}=\frac{-1}{2^{n}}\rightarrow 0$ khi $n\rightarrow +\infty $

Do vậy $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=3$

Vận dụng 1: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử $u_{n}$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là 0.

Hướng dẫn trả lời: 

Độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn tạo thành cấp số nhân có số hạng tổng quát là: $u_{n}=5\times (\frac{2}{3})^{n}$

Ta có: $(\frac{2}{3})^{n}\rightarrow 0$ khi $n\rightarrow +\infty $ suy ra $5(\frac{2}{3})^{n}\rightarrow 0$ khi $n\rightarrow +\infty $

Do vậy $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=0$

2. Định lí về giới hạn của dãy số

Hoạt động 3: Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ với $u_{n}=2+\frac{1}{n},v_{n}=3-\frac{2}{n}$

Tính và so sánh: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(u_{n}+v_{n})$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}+\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{n}+v_{n}=2+\frac{1}{n}+3-\frac{2}{n}=5-\frac{1}{n}$

Do đó $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(u_{n}+v_{n})=5$

$\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=2, \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=3$

Vậy $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(u_{n}+v_{n})=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}+\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}$

Luyện tập 3: Tìm $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{2n^{2}+1}}{n+1}$

Hướng dẫn trả lời: 

$\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{2n^{2}+1}}{n+1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}})}{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1+\frac{1}{n})}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Hoạt động 4: Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi $u_{1},u_{2},...,u_{n},...$ lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng $S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n}$

b) Tìm $S=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}S_{n}$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có : $u_{n}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^{n-1}}$

a) $S_{n}=\frac{\frac{1}{2}\times (\frac{1}{2^{n}}-1)}{\frac{1}{2}-1}=1-\frac{1}{2^{n}}$

b) $S=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}S_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1-\frac{1}{2^{n}})=1$

Luyện tập 4: Tính tổng $S=2+\frac{2}{7}+\frac{2}{49}+...+\frac{2}{7^{n-1}}+...$

Hướng dẫn trả lời:Ta có: $S=2+\frac{2}{7}+\frac{2}{49}+...+\frac{2}{7^{n-1}}+...= 2\times (1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+...+\frac{1}{7^{n-1}}+...)=2\times \frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{3}$

Vận dụng 2: (Giải thích nghịch lí Zeno)

Để đơn giản, ta giả sử Achiles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100 (km)

a) Tính thời gian $t_{1},t_{2},...,t_{n},...$ tương ứng để Achiles đi từ $A_{1}$ đến $A_{2}$, từ $A_{2}$ đến $A_{3}$, ..., từ $A_{n}$ đến $A_{n+1},...$

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achiles chạy hết các quãng đường $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},...,A_{n}A_{n+1},...,$ tức là thời gian cần thiết để Achiles đuổi kip rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno ở đâu

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

a) Để chạy hết quãng đường từ $A_{1}$ đến $A_{2}$ với $A_{1}A_{2} = a = 100$ (km), Achilles phải mất thời gian $t_{1}=\frac{100}{100}=1$ (h). Với thời gian $t_{1}$ này, rùa đã chạy được quãng đường $A_{2}A_{3} = 1$ (km).

Để chạy hết quãng đường từ $A_{2}$ đến $A_{3}$ với $A_{2}A_{3} = 1$ (km), Achilles phải mất thời gian $t_{2}=\frac{1}{100}$ (h). Với thời gian $t_{2}$ này, rùa đã chạy được quãng đường $A_{3}A_{4}=\frac{1}{100}$ (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ $A_{n}$ đến $A_{n+1}$ với $A_{n}A_{n+1}=\frac{1}{100^{n-2}}$ (km), Achilles phải mất thời gian $t_{n}=\frac{1}{100^{n-1}}$(h). ...

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},...,A_{n}A_{n+1},...$, tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

$T=1+\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+...+\frac{1}{100^{n-1}}+\frac{1}{100^{n}}+...$ (h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = 1$, công bội , nên ta có

$T=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{100}{99}=1\frac{1}{99}$ (h)

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau $1\frac{1}{99}$ giờ.

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Hoạt động 5: Nhận biết giới hạn vô cực

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn $u_{n}$ sau chu kì thứ n

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10000?

Hướng dẫn trả lời: 

a) $u_{n}=50\times 2^{n}$

b) Giả sử sau chu kì thứ k, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000.

Khi đó ta có $u_{k} = 2^{k} . 50 > 10 000 ⇔ 2^{k} > 200.$

Luyện tập 5: Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(n-\sqrt{n})$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $n-\sqrt{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)$. Hơn nữa $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{n}=+\infty  $ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{n}-1)=+\infty $

Do đó, $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(n-\sqrt{n})=+\infty $

Bài tập

Bài tập 5.1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1}$

b) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{n^{2}+2n}-n)$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(2+\frac{1}{n^{2}})}=\frac{1}{2}$

b) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{2n^{2}+1}-n)=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+2n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{2n}{n(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=1$

Bài tập 5.2: Cho hai dãy số không âm $(u_{n})$ và $(v_{n})$ với $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=2$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=3$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}}$

b) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{u_{n}+2v_{n}}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}}=\frac{(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n})^{2}}{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}-\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}}=\frac{2^{2}}{3-2}=4$

b) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(u_{n}+2v_{n})=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}+2\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=2+2\times 3=8\Rightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{u_{n}+2v_{n}}=\sqrt{8}$

Bài tập 5.3: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) $u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n-1}$

b) $v_{n}=\sqrt{2n^{2}+1}-n$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+1}{2n-1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}}}=\frac{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1+\frac{1}{n^{2}})}{\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}})}$

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1+\frac{1}{n^{2}})=1,\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}})=0$ suy ra $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty $

b) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{2n^{2}+1}-n=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{2n^{2}+1-n^{2}}{\sqrt{2n^{2}+1}+n}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+1}{n^{2}(\sqrt{\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}}+\frac{1}{n})}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}}+\frac{1}{n}}=+\infty $

Bài tập 5.4: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12)=1,121212...

b) 3,(102)=3,102102102...

Hướng dẫn trả lời: 

a) $1,121212...=1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...$

$= 1 +12\times 10^{-2}+12\times 10^{-4}+12\times 10^{-6}+...$

$12\times 10^{-2}+12\times 10^{-4}+12\times 10^{-6}+...$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=12\times 10^{-2},q=10^{-2}$ nên $1,121212...=1+\frac{u_{1}}{1-q}=1+\frac{12\times 10^{-2}}{1-10^{-2}}=\frac{37}{33}$

b) $3,102102102...=3+0,102+0,000102+0,000000102+...$

$=3+102\times 10^{-3}+102\times 10^{-6}+102\times 10^{-9}...$

$102\times 10^{-3}+102\times 10^{-6}+102\times 10^{-9}+...$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=102\times 10^{-3}, q=10^{-3}$ nên $3,(102)=3+\frac{u_{1}}{1-q}=3+\frac{102\times 10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{1033}{333}$

Bài tập 5.5: Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Hướng dẫn trả lời: 

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%.

Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

150 + 150 . 5% = 150(1 + 0,05).

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

$150 + 150(1 + 0,05) . 5% = 150 + 150(0,05 + 0,05^{2}) = 150(1 + 0,05 + 0,05^{2})$

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

$150 + 150(1 + 0,05 + 0,05^{2}) . 5% = 150(1 + 0,05 + 0,05^{2} + 0,05^{3})$

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

$150 + 150(1 + 0,05 + 0,05^{2} + 0,05^{3}) . 5% = 150(1 + 0,05 + 0,05^{2} + 0,05^{3} + 0,05^{4})$

= 157,8946875 (mg).

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

$S = 150(1 + 0,05 + 0,05^{2} + 0,05^{3} + 0,05^{4} + ...)$

Lại có $1 + 0,05 + 0,05^{2} + 0,05^{3} + 0,05^{4} + ...$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 0,05.

Do đó, $1 + 0,05 + 0,05^{2} + 0,05^{3} + 0,05^{4} + ... = \frac{u_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-0,05}=\frac{20}{19}$

Suy ra $S=150.\frac{20}{19}=\frac{400}{361}$

Bài tập 5.6: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng $\alpha $ (H.5.3). Từ A kẻ $AA_{1}\perp BC$, từ $A_{1}$ kẻ $A_{1}A_{2}\perp AC$, sau đó lại kẻ $A_{2}A_{3}\perp BC$. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA_{1}A_{2}A_{3}... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và $\alpha $

Hướng dẫn trả lời: 

Độ dài đường gấp khúc tạo thành cấp số nhân  với số hạng tổng quát là: $u_{n}=sin\alpha \times h\times (sin\alpha )^{^{n-1}}$

Độ dài đường gấp khúc: $AA_{1}+A_{2}A_{3}+....$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=sin\alpha \times h, q=sin\alpha $ nên $AA_{1}+A_{2}A_{3}+....= \frac{sin\alpha \times h}{1-sin\alpha }$