Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 18 Lũy thừa với số mũ thực

1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN

Hoạt động 1 trang 5 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhân biết lũy thừa với số mũ nguyên

Tính $(1,5)^{2}; (-\frac{2}{3})^{2}; (\sqrt{2})^{4}$

Hướng dẫn giải

- $(1,5)^{2} = 1,5.1,5=2,25$

- $(-\frac{2}{3})^{2}= -\frac{2}{3}\cdot -\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$

- $(\sqrt{2})^{4} =\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}=4$

Luyện tập 1 trang 5 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu $x=a.10^{m}$ ở đó $1\leq a\leq 10$ và m là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg;

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67262 kg.

 Hướng dẫn giải

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng $5.98x10^{24}$ kg

b) Khối lượng của hạt proton khoảng $1.67262x10^{-27}$ kg

2. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ

Hoạt động 2 trang 6 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết khái niệm căn bậc n

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho $x^{2}=4$

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho $x^{3}=-8$

 Hướng dẫn giải

a) $x=\sqrt{4}$= ±2

b) $x=\sqrt[3]{-8}=-2$

Luyện tập 2 trang 6 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính 

a) $\sqrt[3]{-125}$

b) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$

 Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{-125}=\sqrt[3]{(-5)^{3}}=-5$

b) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\sqrt[4]{(\frac{1}{3})^{4}}=\frac{1}{3}$

Hoạt động 3 trang 6 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết tính chất của căn bậc n 

a) Tính và so sánh $\sqrt[3]{-8}.\sqrt[3]{27}$ và $\sqrt[3]{(-8).27}$

b) Tính và so sánh $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}$ và $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}$

 Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{-8}.\sqrt[3]{27}=-2.3=6$

$\sqrt[3]{(-8).27}=\sqrt[3]{-216}=-6$

=> $\sqrt[3]{-8}.\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{(-8).27}$

b) $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{-2}{3}$

$\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}=\frac{-2}{3}$

=> $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}=\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}$

Luyện tập 3 trang 7 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{1}{n}}$ sao cho $(a^{\frac{1}{n}})^{n}=a$(a1n)n=a

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{m}{n}}$ với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho $(a^{\frac{1}{n}})^{m}$

 Hướng dẫn giải

a) $(\sqrt[n]{a})^{n}=a$

b) $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^{m}$

Luyện tập 4 trang 7 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Rút gọn biểu thức: 

$A=\frac{X^{\frac{3}{2}}Y+XY^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{X}+\sqrt{Y}}$ (x, y>0)

Hướng dẫn giải

$A=\frac{X^{\frac{3}{2}}Y+XY^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{X}+\sqrt{Y}}$

$A=(X+Y)\cdot \frac{\sqrt{X}-\sqrt{Y}}{\sqrt{X}+\sqrt{Y}}$

3. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

a) Khái niệm lũy thừa với số mũ thực

Hoạt động 5 trang 7 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết lũy thừa với số mũ thực

Ta biết rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ và $\sqrt{2}=1,4142135624...$

Gọi $r_{n}$ là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số $\sqrt{2}$ với $r_{1}=1$; $r_{2}=1,4$; $r_{3}=1,41$ ;$r=14142;...$

a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: $3^{r_{1}}; 3^{r_{2}}; 3^{r_{3}}; 3^{r_{4}}$ và $3^{\sqrt{2}}$

b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$, tức là $\left | 3^{\sqrt{2}} 3^{r_{n}} \right |$ khi n càng lớn

 Hướng dẫn giải

a) $3^{r_{1}}=3; $

$3^{r_{2}}=3^{1,4}\approx 4.8688; $

$3^{r_{3}}=3^{1,41}\approx 4.9151; $

$3^{r_{4}}=3^{1,4142}\approx 4.9208$

$3^{\sqrt{2}}\approx 4.9210$

b) Sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$ là

$\left | 3^{\sqrt{2}} - 3^{r_{n}}\right |$=$\left | 3^{\sqrt{2}} \right |.\left | 1-3^{r_{n}-\sqrt{2}} \right |$

Vì $r_{n}$ là một dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ $\sqrt{2}$, nên khi n tiến đến vô cùng, $r_{n}$ sẽ xấp xỉ $\sqrt{2}và r_{n} - \sqrt{2}$ tiến đến 0. Do đó, ta có:

$\lim_{n\rightarrow \infty }\left | 3^{\sqrt{2}} - 3^{r_{n}}\right |$

$=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | 3^{\sqrt{2}} \right |.\left | 1-3^{r_{n}-\sqrt{2}} \right |$

$=\left | 3^{\sqrt{2}} \right |\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left | 1-3^{r_{n}-\sqrt{2}} \right |$

Vậy khi n tiến đến vô cùng, sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$ tiến đến 0, tức là $3^{r_{n}}$ xấp xỉ $3^{\sqrt{2}}$ với độ chính xác cao hơn khi n càng lớn.

Luyện tập 5 trang 8 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Rút gọn biểu thức

$A=\frac{(a^{\sqrt{2}-1})^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1}.a^{3-\sqrt{5}}}$ (a>0)

 Hướng dẫn giải

$A=\frac{a^{(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}}{a^{4}.a^{-\sqrt{5}}}$

$A=\frac{a^{3\sqrt{2}-2}}{\frac{a^{4}}{a^{\sqrt{5}}}}$

$A=a\sqrt{5}-3\sqrt{2}+2$

Vận dụng trang 8 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền P với lãi suất r mỗi kì thì sau N kì, số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theo công thức lãi kép sau:

$A=P(1+r)^{N}$

Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.

 Hướng dẫn giải

Sau 1 kì hạn 12 tháng, số tiền bác Minh nhận được là: $A=P(1+r)^{N}=100,000,000(1+0.06)^{1}=106,000,000$

Sau 2 kì hạn 12 tháng, số tiền bác Minh nhận được là: $A=P(1+r)^{N}=106,000,000(1+0.06)^{1}=112,360,000$

Sau 3 kì hạn 12 tháng, số tiền bác Minh nhận được là: $A=P(1+r)^{N}=112,360,000(1+0.06)^{1}=119,101,600$

Vậy, số tiền bác Minh thu được sau 3 năm là 119,101,600 đồng.

BÀI TẬP

Bài tập 6.1 trang 9 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính 

a) $\left ( \frac{1}{5} \right )^{-2}$

b) $4^{\frac{3}{2}}$

c) $\left ( \frac{1}{8} \right )^{\frac{-2}{3}}$

d) $\left ( \frac{1}{16} \right )^{-0,75}$

 Hướng dẫn giải

a) $\left ( \frac{1}{5} \right )^{-2}=\frac{1}{\left ( \frac{1}{5} \right )^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{25}}=25$

b) $4^{\frac{3}{2}}=\sqrt{4^{3}}=\sqrt{64}=8$

c) $\left ( \frac{1}{8} \right )^{\frac{-2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^{2}=2^{2}=4$

d) $\left ( \frac{1}{16} \right )^{-0,75}=16^{0,75}=(\sqrt[4]{16})^{3}=2^{3}=8$

Bài tập 6.2 trang 9 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Thực hiện phép tính:

a) $27^{\frac{2}{3}}+81^{-0,75}-25^{0,5}$

b) $4^{2-3\sqrt{7}}.8^{2\sqrt{7}}$

 Hướng dẫn giải

a) $27^{\frac{2}{3}}+81^{-0,75}-25^{0,5}$

$=(\sqrt[3]{27})^{2}+\frac{1}{81^{0,75}}-\sqrt{25}$

$=9+\frac{1}{3}-5=\frac{19}{3}$

b) $4^{2-3\sqrt{7}}.8^{2\sqrt{7}}$

$=4^{2-3\sqrt{7}}.(2^{3})^{2\sqrt{7}}$

$=4^{2-3\sqrt{7}}.2^{6\sqrt{7}}$

$=(2^{2})^{2-3\sqrt{7}}.2^{6\sqrt{7}}$

$=2^{4-6\sqrt{7}+6\sqrt{7}}=16$

 Bài tập 6.3 trang 9 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{X^{5}Y^{-2}}{X^{3}Y} (X,Y\neq 0)$

b) $B=\frac{X^{2}Y^{-3}}{(X^{-1}Y^{4})^{-3}} (X,Y\neq 0)$

 Hướng dẫn giải

a) $A=\frac{X^{5}}{X^{3}}\cdot \frac{1}{Y^{2-1}}=X^{5-3}Y^{-1}=X^{2}Y^{-1}$

b) $B=\frac{X^{2}Y^{-3}}{X^{3}Y^{-12}}=X^{2-3}Y^{-3-(-12)}=\frac{1}{XY^{9}}$

Bài tập 6.4 trang 9 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho x,y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thưc sau:

a) $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y\frac{1}{3}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$

b) $B=\left ( \frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}} \right ).{\sqrt{3}}+1\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

 Hướng dẫn giải

a) $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y\frac{1}{3}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$

$A=\frac{(x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y\frac{1}{3})(\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y})}{(\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y})(\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y})}$

$A=\frac{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{3}}+y\frac{1}{3}\sqrt[6]{x}-y\frac{1}{3}\sqrt[6]{y}}{1}$

$A=x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}(\sqrt[6]{y}-\sqrt[6]{x})$

b) $B=\left ( \frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}} \right ).{\sqrt{3}}+1\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$B=\left ( \frac{x^{\sqrt{3}}({\sqrt{3}}+1)}{y^{\sqrt{3}-1}({\sqrt{3}}+1)} \right )\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$B=\frac{x^{3}}{y^{\sqrt{3}+1}}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$B=\frac{x^{2-\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}+3}}$

Bài tập 6.5 trang 9 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Chưng minh rằng:

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$

 Hướng dẫn giải

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}.1+1}-\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-2\sqrt{3}.1+1}$

$=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2$

Bài tập 6.6 trang 9 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh: 

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}} $

b) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{-4}{3}}$ và $\sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$\

Hướng dẫn giải

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}} $

Có $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$

=> $5^{6\sqrt{3}} > 5^{3\sqrt{6}} $

b) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{-4}{3}}$ và $\sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$

Có $\sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{7}{6}}$

$2^{\frac{4}{3}}<2^{\frac{7}{6}}$

=> $\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{-4}{3}}$ < $\sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$

Bài tập 6.7 trang 9 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:  Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r ( được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:

$A=P\left ( 1+\frac{r}{n} \right )^{N}$

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo ki hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Với số tiền gốc P = 120 triệu đồng, lãi suất r=0.05 (vì lãi suất được biểu thị dưới dạng số thập phân), và số kỳ gửi trong một năm n=2 (vì một năm có 2 kỳ gửi 6 tháng), số kỳ gửi trong 2 năm là N=4.

Áp dụng công thức tính lãi suất kép:

$A=120(1+\frac{0,05}{2})^{4}\approx 136,047 triệu đồng$

Bài tập 6.8 trang 9 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A=19.2^{\frac{1}{30}}$ . Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Hướng dẫn giải

Sau 30 năm, dân số của quốc gia sẽ tăng gấp đôi, tức là sẽ đạt mức 38 triệu người. Ta có công thức tính tỉ số tăng trưởng dân số là:

$2=2^{\frac{t}{30}}$

Từ đó, ta có thể tìm được số năm tương ứng với tốc độ tăng dân số như vậy là: $\frac{t}{30}=log_{2}2=1$ $=> t=30$

Vậy sau 30 năm kể từ năm 2021, tức là năm 2051, dân số của quốc gia này sẽ đạt mức 38 triệu người.

Để tính dân số sau 20 năm kể từ năm 2021, ta có thể tính tỉ số tăng trưởng dân số trong 20 năm như sau:$2^{\frac{20}{30}}=2^{\frac{2}{3}}$

Vậy dân số của quốc gia này sau 20 năm, tức là năm 2041, sẽ đạt mức:

$19.2^{\frac{2}{3}}\approx 27,076$ triệu người