Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 16: Giới hạn của hàm số

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức $m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$, trong đó $m_{0}$ là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

Hướng dẫn trả lời: 

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Từ công thức khối lượng $m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

ta thấy m là một hàm số của v, với tập xác định là nửa khoảng [0; c). Rõ ràng khi v tiến gần tới vận tốc ánh sáng, tức là v ⟶ c, ta có $\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$. Do đó $\underset{v\rightarrow c^{-}}{lim}m(v)=+\infty $, nghĩa là khối lượng m của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần tới vận tốc ánh sáng.

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 

Hoạt động 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số $f(x)=\frac{4-x^{2}}{x-2}$

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x)

b) Cho dãy số $x_{n}=\frac{2n+1}{n}$. Rút gọn $f(x_{n})$ và tính giới hạn của dãy $(u_{n})$ với $u_{n}=f(x_{n})$

c) Với dãy số $(x_{n})$ bất kì sao cho $x_{n}\neq 2$ và $x_{n}\rightarrow 2$, tính $f(x_{n})$ và tìm $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})$

Hướng dẫn trả lời: 

a) D = R \ {2}

b) $f(x_{n})=\frac{4-(\frac{2n+1}{n})^{2}}{\frac{2n+1}{n}-2}=\frac{-(\frac{2n+1}{n}-2)(\frac{2n+1}{n}+2)}{\frac{2n+1}{n}-2}=-\frac{2n+1}{n}-2$

$limu_{n}=lim(-\frac{2n+1}{n}-2)=-4 $

c) $f(x_{n})=\frac{4-x_{n}^{2}}{x_{n}-2}$

$\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})=-4$

Luyện tập 1: Tính $\underset{n\rightarrow 1 }{lim}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

Hướng dẫn trả lời: 

$\underset{n\rightarrow 1 }{lim}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\underset{n\rightarrow 1 }{lim}(\sqrt{x}+1)=2$

Hoạt động 2: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Cho hàm số $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$

a) Cho $x_{n}=\frac{n}{n+1}$ và $x'_{n}=\frac{n+1}{n}$. Tính $y_{n}=f(x_{n})$ và $y'_{n}=f(x'_{n})$

b) Tìm giới hạn của các dãy số $(y_{n})$ và $(y'_{n})$

c) Cho các dãy số $(x_{n})$ và $(x'_{n})$ bất kì sao cho $x_{n}<1<x'_{n}$ và $x_{n}\rightarrow 1,x'_{n}\rightarrow 1$, tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x'_{n})$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Với $x_{n}=\frac{n}{n+1}\Rightarrow y_{n}=f(x_{n})=\frac{|\frac{n}{n+1}-1|}{\frac{n}{n+1}-1}$

Do $n < n + 1 \Rightarrow \frac{n}{n+1}<1\Rightarrow \frac{n}{n+1}-1<0$

$\Rightarrow y_{n}=\frac{-(\frac{n}{n+1}-1)}{\frac{n}{n+1}-1}=-1$

Với $x'_{n}=\frac{n+1}{n}\Rightarrow y'_{n}=f(x_{n})=\frac{|\frac{n+1}{n}-1|}{\frac{n+1}{n}-1}$

Do $n +1 > n \Rightarrow \frac{n+1}{n}>1\Rightarrow \frac{n+1}{n}-1>0$

$\Rightarrow y_{n}=\frac{\frac{n+1}{n}-1}{\frac{n+1}{n}-1}=1$

b) $lim(y_{n})=lim(-1)=-1$

$lim(y'_{n})=lim1=1$

c) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})=-1$

$\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x'_{n})=1$

Luyện tập 2: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}-x nếu x<0\\ \sqrt{x}nếu x\geq 0\end{matrix}\right.$

Tính $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$ và $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)$

Hướng dẫn trả lời: 

Với dãy số ($x_{n}$) bất kì sao cho x < 0 ta có $f(x_{n}) = -x_{n}$

Do đó $\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})=+\infty $

Với dãy số ($x_{n}$) bất kì sao cho $x \geq  0$ ta có $f(x_{n}) = \sqrt{x}$

Do đó $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})=+\infty $

Do $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)=+\infty $ suy ra $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=+\infty $

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Hoạt động 3: Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực

Cho hàm số $f(x)=1+\frac{2}{x-1}$ có đồ thị như Hình 5.4

Giả sử $(x_{n})$ là dãy số sao cho $x_{n}>1,x_{n}\rightarrow +\infty $. Tính $f(x_{n})$ và tìm $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})$

Hướng dẫn trả lời: 

$f(x_{n})=1+\frac{2}{x_{n}-1}$

$\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(1+\frac{2}{x_{n}-1})=1$

Luyện tập 3: Tính $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x+1}$

Hướng dẫn trả lời: 

$\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x+1}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{\frac{x(x+1)}{(x+1)^{2}}}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{\frac{x}{x+1}}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=1$

Vận dụng: Cho tam giác vuông OAB với A = (a;0) và B = (0;1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h

a) Tính h theo a

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có $AB =\sqrt{a^{2}+1^{2}},AB \times OH=OB\times OA$

$\Rightarrow h\times \sqrt{a^{2}+1}=a\Rightarrow h=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}$

b) $\underset{a\rightarrow 0 }{lim}\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}=\underset{a\rightarrow 0 }{lim}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}}=0$

Vì vậy khi A dịch chuyển về O thì điểm H dịch chuyển về gần A hơn, và h dần về 0

c) $\underset{a\rightarrow +\infty  }{lim}\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}=\underset{a\rightarrow +\infty  }{lim}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}}=1$

Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H dịch chuyển về phía điểm B, và h dần về 1

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Hoạt động 4: Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực

Xét hàm số $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ có đồ thị như Hình 5.6

Cho $x_{n}=\frac{1}{n}$, chứng tỏ rằng $f(x_{n})\rightarrow +\infty $

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: D = R \{0}

$\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1}{(\frac{1}{n})^{2}}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}n^{2}=+\infty $

Vậy $f(x_{n})\rightarrow +\infty $

Hoạt động 5: Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$. Với các dãy số $(x_{n})$ và $(x'_{n})$ cho bởi $x_{n}=1+\frac{1}{n},x'_{n}=1-\frac{1}{n}$, tính $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})$ và $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x'_{n})$

Hướng dẫn trả lời: 

$\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1}{1+\frac{1}{n}-1}=+\infty $

$\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x'_{n})=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1}{1-\frac{1}{n}-1}=-\infty $

Luyện tập 4: Tính các giới hạn

a) $\underset{x\rightarrow  0}{lim}\frac{2}{|x|}$

b) $\underset{x\rightarrow 2^{-} }{lim}\frac{1}{\sqrt{2-x}}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{x\rightarrow  0}{lim}\frac{2}{|x|}=+\infty $

b) $\underset{x\rightarrow 2^{-} }{lim}\frac{1}{\sqrt{2-x}}=+\infty $

Luyện tập 5: Tính $\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{2x-1}{x-2}$ và $\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{2x-1}{x-2}$

Hướng dẫn trả lời: 

$x\rightarrow 2^{+}\Rightarrow x-2>0$

$\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{2x-1}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{2\times 2-1}{x-2}=+\infty $

$x\rightarrow 2^{-}\Rightarrow x-2<0$

$\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{2x-1}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{2\times 2-1}{x-2}=-\infty $

Bài tập

Bài tập 5.7: Cho hai hàm số $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}$ và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x)

b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có:

- tập xác định của f(x): D = R \{1}

- tập xác định của g(x): R

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=2$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=2$

Vậy khẳng định b đúng

Bài tập 5.8: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{(x+2)^{2}-4}{x}$

b) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{(x+2)^{2}-4}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{x^{2}+4x}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}(x+4)=4$

b) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}+3}=\frac{1}{6}$

Bài tập 5.9: Cho hàm số $H(t)=\left\{\begin{matrix}0 nếu t<0\\ 1 nếu t\geq 0\end{matrix}\right.$ (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/ mở của dòng điện tại thời điểm t = 0)

Tính $\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)$ và $\underset{t\rightarrow 0^{-}}{lim}H(t)$

Hướng dẫn trả lời: 

$\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)=1$

$\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)=0$

Bài tập 5.10: Tính các giới hạn một bên:

a) $\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}\frac{x-2}{x-1}$

b) $\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}\frac{x^{2}-x+1}{4-x}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}(x-2)=-1<0$

$\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}(x-1)>0$

$\Rightarrow \underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}\frac{x-2}{x-1}=-\infty $

b) $\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}(x^{2}-x+1)=13>0$

$\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}(4-x)>0$

$\Rightarrow \underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}\frac{x^{2}-x+1}{4-x}=+\infty $

Bài tập 5.11: Cho hàm số $g(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}$ 

Tìm $\underset{t\rightarrow 2^{+}}{lim}g(x)$ và $\underset{t\rightarrow 2^{-}}{lim}g(x)$

Hướng dẫn trả lời: 

Khi $x\rightarrow 2^{-}\Rightarrow |x-2|=2-x$

Ta có: $\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{2-x}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{(x-2)(x-3)}{-(x-2)}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}[-(x-3)]=3-2=1$

Khi $x\rightarrow 2^{+}\Rightarrow |x-2|=x-2$

Ta có: $\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}[x-3]=2-3=-1$

Bài tập 5.12: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

b) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{x^{2}+x+2}-x)$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=-2$

b) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{x^{2}+x+2}-x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+x+2}+x}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}+1}=\frac{1}{2}$

Bài tập 5.13: Cho hàm số $f(x)=\frac{2}{(x-1)(x-2)}$

Tìm $\underset{x\rightarrow 2^{+} }{lim}f(x)$ và $\underset{x\rightarrow 2^{-} }{lim}f(x)$

Hướng dẫn trả lời: 

Khi $x\rightarrow 2^{+}\Rightarrow (x-1)(x-2)>0$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{2}{(x-1)(x-2)}=+\infty $

Khi $x\rightarrow 2^{-}\Rightarrow (x-1)(x-2)<0$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{2}{(x-1)(x-2)}=-\infty $