Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 29 Công thức cộng xác suất

1. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ XUNG KHẮC

a) Biến cố xung khắc

Hoạt động 1 trang 72 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 3";

B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 4".

Hai biến cố A và B có đồng thời xảy ra hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Do các số chia hết cho 3 và chia hết cho 4 không có số nào chung, vì vậy hai biến cố A và B không đồng thời xảy ra. Nếu một số có chia hết cho cả 3 và 4 thì nó phải là số chia hết cho bội số của 3 và 4, tức là số chia hết cho 12. Tuy nhiên, không có số nào chia hết cho cả 3 và 4 trên con xúc xắc đồng chất. Do đó, ta có thể kết luận rằng hai biến cố A và B không đồng thời xảy ra.

Luyện tập 1 trang 73 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một tổ học sinh có 8 bạn, trong đó có 6 bạn thích môn Bóng đá, 4 bạn thích môn Cầu lông và 2 bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

E: “Học sinh được chọn thích môn Bóng đá";

F: “Học sinh được chọn thích môn Cầu lông".

Hai biến cố E và F có xung khắc không?

 Hướng dẫn giải

$P(E)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

$P(F)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

 $P(E∩F)=P(E)×P(F)=\frac{6}{8} ×\frac{4}{8}=\frac{3}{8}=0,375$

 Trong trường hợp này, xác suất của biến cố E và F là khác không, nên hai biến cố E và F được gọi là có xung khắc (hay không độc lập) với nhau

b) Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

Hoạt động 2 trang 73 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trở lại tình huống trong HĐ1. Hãy tính P(A) , P(B)  P(A∪B).

 Hướng dẫn giải

$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$P(B)=\frac{1}{6}$

 $P(A∪B)=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}−\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$

Luyện tập 2 trang 74 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một hộp đựng 5 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu trong hộp. Tính xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu.

 Hướng dẫn giải

Số cách chọn 2 quả cầu từ hộp mà không xếp theo thứ tự là:

 $C(5,2)=\frac{8!}{2!3!}=28$

 Số cách chọn 2 quả cầu có cùng màu là số cách chọn 2 quả cầu trong số 5 quả cầu màu xanh và số cách chọn 2 quả cầu trong số 3 quả cầu màu đỏ, rồi cộng lại:

 $C(5,2)+C(3,2)=\frac{5!}{2!+3!} +\frac{3!}{2!1!}=10+3=13$

 Vậy xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu là:

 P=C(5,2)+C(3,2)/C(8,2)=1328

2. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT

Hoạt động 3 trang 74 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Ở một trường trung học phổ thông X, có 19% học sinh học khá môn Ngữ văn, 32% học sinh học khá môn Toán, 7% học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X. Xét hai biến cố sau:

A: “Học sinh đó học khá môn Ngữ văn";

B: “Học sinh đó học khá môn Toán".

a) Hoàn thành các mệnh đề sau bằng cách tìm cụm từ thích hợp thay cho dấu “?”.

P(A) là tỉ lệ ...(?)...

P(B) là ...(?)...

P(AB) là ...(?)...

P(A∪B) là ...(?)...

b) Tại sao để tính P(A∪B) ta không áp dụng được công thức P(A∪B)=P(A)+P(B)?

 Hướng dẫn giải

a) P(A) là tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn trong tổng số học sinh của trường X, vậy P(A)=0,19.

 P(B) là tỉ lệ học sinh học khá môn Toán trong tổng số học sinh của trường X, vậy P(B)=0,32.

 P(AB) là tỉ lệ học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán trong tổng số học sinh của trường X, vậy P(AB)=0,07.

 P(A∪B) là tỉ lệ học sinh học khá ít nhất một trong hai môn Ngữ văn và Toán trong tổng số học sinh của trường X. Để tính được P(A∪B) ta có thể áp dụng công thức sau: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0,19+0,32−0,07=0,44

b) Ta không thể áp dụng công thức P(A∪B)=P(A)+P(B) vì hai biến cố A và B không độc lập với nhau, tức là việc xảy ra của một biến cố ảnh hưởng đến xác suất của biến cố còn lại. Cụ thể ở đây, học sinh học khá môn Ngữ văn có thể cũng đang học khá môn Toán, do đó nếu ta tính P(A)+P(B) thì sẽ đếm những học sinh này hai lần, dẫn đến sai sót trong tính toán.

Luyện tập 3 trang 75 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Phỏng vấn 30 học sinh lớp 11A về môn thể thao yêu thích thu được kết quả có 19 bạn thích môn Bóng đá, 17 bạn thích môn Bóng bàn và 15 bạn thích cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A. Tính xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn.

Hướng dẫn giải

Ta có

P(A)=19/30 xác suất để chọn được học sinh thích môn Bóng đá

P(B)=17/30 xác suất để chọn được học sinh thích môn Bóng 

P(A∩B)=15/30 xác suất để chọn được học sinh thích cả hai môn.

Vậy xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn là

P(A∪B)=19/30+17/30−15/30=7/10

Vận dụng trang 75 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giải quyết bài toán trong tình huống mở đầu.

Tại tỉnh X, thống kê cho thấy trong số những người trên 50 tuổi có 8,2% mắc bệnh tim; 12,5% mắc bệnh huyết áp và 5,7% mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp. Từ đó, ta có thể tính được tỉ lệ dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp hay không?

Gợi ý. Chọn ngẫu nhiên một người dân trên 50 tuổi của tỉnh X. Gọi A là biến cố “Người đó mắc bệnh tim"; B là biến cố “Người đó mắc bệnh huyết áp"; E là biến cố “Người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp". Khi đó E¯ là biến cố “Người đó mắc bệnh tim hoặc mắc bệnh huyết áp". Ta có E=A∪B. Áp dụng công thức cộng xác suất và công thức xác suất của biến cố đối để tính P(E).

 Hướng dẫn giải

P(A)=0,082 là xác suất một người trên 50 tuổi của tỉnh X mắc bệnh tim.

P(B)=0,125 là xác suất một người trên 50 tuổi của tỉnh X mắc bệnh huyết áp.

P(A∩B)=0,057 là xác suất một người trên 50 tuổi của tỉnh X mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp.

Áp dụng công thức cộng xác suất, ta có:

P(E¯)=P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

=0,082+0,125−0,057=0,15

Vậy tỉ lệ dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp là 15%.

BÀI TẬP

Bài tập 8.6 trang 75 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp ). Tiếp đó đến lượt bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh.

 Hướng dẫn giải

Ta có số cách chọn một viên bi trong hộp là 8+6=14

P (Sơn lấy được bị màu xanh) =8/14

P (Sơn lấy được bị màu đỏ) =6/14

P (Tùng lấy được bị màu xanh,Sơn lấy được bị màu xanh ) =7/13

P (Tùng lấy được bị màu xanh,Sơn lấy được bị màu đỏ ) =8/13

xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh là

P= 8/14.7/13+6/14.8/13=28/91

Bài tập 8.7 trang 75 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Lớp 11A của một trường có 40 học sinh, trong đó có 14 bạn thích nhạc cổ điển, 13 bạn thích nhạc trẻ và 5 bạn thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để:

a) Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ;

b) Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ.

 Hướng dẫn giải

a)P(A)=14/30 xác suất bạn đó thích nhạc cổ điển.

P(B)=13/40 xác suất bạn đó thích nhạc trẻ.

P(A∩B)=5/40 xác suất bạn đó thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ.

xác suất để bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ là

P(A∪B)=14/30+13/40−5/40=22/40=11/20

b) Xác suất bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ là:

$\bar{P}$=1−P(A∪B)=1−11/20=9/20

Bài tập 8.8 trang 75 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một khu phố có 50 hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo, trong đó có 18 hộ nuôi chó, 16 hộ nuôi mèo và 7 hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ trong khu phố trên. Tính xác suất để:

a) Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo;

b) Hộ đó không nuôi cả chó và mèo.

 Hướng dẫn giải

a) Số hộ nuôi chó hoặc nuôi mèo là 18 + 16 - 7 = 27.

Vậy xác suất để hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo là

P=27/50

b) Số hộ không nuôi cả chó và mèo 50 - 7= 43.

Vậy xác suất để hộ đó không nuôi cả chó và mèo là

P=43/50

Bài tập 8.9 trang 75 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một nhà xuất bản phát hành hai cuốn sách A và B. Thống kê cho thấy có 50% người mua sách A; 70% người mua sách B; 30% người mua cả sách A và sách B. Chọn ngẫu nhiên một người mua. Tính xác suất để:

a) Người mua đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B,

b) Người mua đó không mua cả sách A và sách B.

Hướng dẫn giải

a) Số người mua sách A hoặc sách B là 50% + 70% - 30% = 90%.

Vậy, xác suất để người mua đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B là 90%.

b) Số người mua không mua cả sách A và sách B là 100% - 30% = 70%.

Vậy, xác suất để người mua đó không mua cả sách A và sách B là 70%.

Bài tập 8.10 trang 75 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tại các trường trung học phổ thông của một tỉnh, thống kê cho thấy có 63% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa A, 56% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa B và 28,5% giáo viên môn Toán tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B. Tính tỉ lệ giáo viên môn Toán các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B.

Hướng dẫn giải

Tỉ lệ giáo viên môn Toán các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B là 100% - 28.5% = 71.5%..