Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài: Bài tập cuối chương I

A - Trắc nghiệm

Bài tập 1.23: Biểu diễn các góc lượng giác $\alpha =-\frac{5\pi }{6},\beta =\frac{\pi }{3},\gamma =\frac{25\pi }{3},\delta =\frac{17\pi }{6} $trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?

A. β và γ.

B. α, β, γ.

C. β, γ, δ.

D. α và β.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $\gamma =\frac{25\pi }{3}=\frac{24\pi }{3}+\frac{\pi }{3}=4\times 2\pi +\frac{\pi }{3}=\beta +4\times 2\pi $

Do đó, hai góc β và γ có điểm biểu diễn trùng nhau.

Đáp án: A

Bài tập 1.24: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. sin(π – α) = sin α.

B. cos(π – α) = cos α.

C. sin(π + α) = – sin α.

D. cos(π + α) = – cos α.

Hướng dẫn trả lời: 

Vì π – α và α là hai góc bù nhau nên sin(π – α) = sin α; cos(π – α) = – cos α. Do đó đáp án A đúng và đáp án B sai.

Ta có góc π + α và α là hai góc hơn kém nhau 1 π nên sin(π + α) = – sin α, cos(π + α) = – cos α. Do đó đáp án C và D đều đúng.

Đáp án: C và D

Bài tập 1.25: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. cos(a – b) = cos a cos b – sin a sin b.

B. sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

C. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b.

D. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có các công thức cộng:

cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b

sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b

cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

Vậy đáp án A sai.

Đáp án: A

Bài tập 1.26: Rút gọn biểu thức M = cos(a + b) cos(a – b) – sin(a + b) sin(a – b), ta được:

A. M = sin 4a.

B. M = 1 – 2 cos$^{2}$ a.

C. M = 1 – 2 sin$^{2}$ a.

D. M = cos 4a.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: M = cos(a + b) cos(a – b) – sin(a + b) sin(a – b)

= cos[(a + b) + (a – b)]            (áp dụng công thức cộng)

= $cos 2a = 2cos^{2} a – 1 = 1 – 2 sin^{2} a $   (áp dụng công thức nhân đôi)

Đáp án: C

Bài tập 1.27: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ.

B. Hàm số y = cos x có tập giá trị là [– 1; 1].

C. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.

D. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.

Hướng dẫn trả lời: 

Hàm số y = cos x:

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [– 1; 1];

- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π.

Đáp án: C

Bài tập 1.28: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?

A. y = tan x + x.

B. y = x$^{2}$ + 1.

C. y = cot x.

D. $y=\frac{sinx}{x}$

Hướng dẫn trả lời: 

Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.

Đáp án: C

Bài tập 1.29: Đồ thị của các hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $[-2\pi ;\frac{5\pi }{2}]$?

A. 5.

B. 6.

C. 4.

D. 7.

Hướng dẫn trả lời: 

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x là nghiệm của phương trình sin x = cos x ⇔ tan x = 1 (do $tanx=\frac{sinx}{cosx})\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi +k\pi ,k\in Z$

Ta có: $-2\pi \leq \frac{\pi }{4}+k\pi \leq \frac{5\pi }{2}\Leftrightarrow -\frac{9\pi }{4}\leq k\pi \leq \frac{9\pi }{4}\Leftrightarrow -2.25\leq k\leq 2.25$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {– 2; – 1; 0; 1; 2}.

Vậy đồ thị của các hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại 5 điểm có hoành độ thuộc đoạn $[-2\pi ;\frac{5\pi }{2}]$

Đáp án: A

Bài tập 1.30: Tập xác định của hàm số $y=\frac{cosx}{sinx-1}$  là

A. ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}.

B. R\{$\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z$}

C. R\{$\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z$}

D. ℝ \ {kπ, k ∈ ℤ}.

Hướng dẫn trả lời: 

Biểu thức $y=\frac{cosx}{sinx-1}$ có nghĩa khi sin x – 1 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ 1 ⇔ $x ≠ \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = R\{$\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z$}

Đáp án: B

B - Tự luận

Bài tập 1.31: Cho góc α thỏa mãn $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi ,cos\alpha =-\frac{1}{\sqrt{3}}$.Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $sin(\alpha +\frac{\pi }{6})$

b) $cos(\alpha +\frac{\pi }{6})$

c) $sin(\alpha -\frac{\pi }{3})$

d) $cos(\alpha -\frac{\pi }{6})$

Hướng dẫn trả lời: 

Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $ nên sin α > 0. Mặt khác từ $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ suy ra $sin\alpha =\sqrt{1-có^{2}\alpha }=\sqrt{1-(-\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

a) $sin(\alpha +\frac{\pi }{6})=sin\alpha cos\frac{\pi }{6}+cos\alpha sin\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+(-\frac{1}{\sqrt{3}})\times \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$

b) $cos(\alpha +\frac{\pi }{6})=cos\alpha cos\frac{\pi }{6}-sin\alpha sin\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{-3-\sqrt{6}}{6}$

c) $sin(\alpha -\frac{\pi }{3})=sin\alpha cos\frac{\pi }{3}-cos\alpha sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}-(-\frac{1}{\sqrt{3}})\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}+3}{6}$

d) $cos(\alpha -\frac{\pi }{6})=cos\alpha cos\frac{\pi }{6}+sin\alpha sin\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{-3+\sqrt{6}}{6}$

Bài tập 1.32: Cho góc bất kì α. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (sin α + cos α)$^{2}$ = 1 + sin 2α;

b) $cos^{4} α – sin^{4} α = cos 2α.$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

và công thức nhân đôi: sin 2α = 2sin α cos α.

Ta có: $VT = (sin α + cos α)^{2} = sin^{2} α + cos^{2} α + 2sin α cos α = 1 + sin 2α = VP$ (đpcm).

b) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

và công thức nhân đôi: $cos 2α = cos^{2} α – sin^{2} α.$

Ta có: $VT = cos^{4} α – sin^{4} α = (cos^{2} α)^{2} – (sin^{2} α)^{2}$

=$ (cos^{2} α + sin^{2} α)(cos^{2} α – sin^{2} α) = 1$ x cos 2α = cos 2α = VP (đpcm).

Bài tập 1.33: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y=2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1$

b) y = sinx + cosx 

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $-1\leq cos(2x-\frac{\pi }{3})\leq 1$ với mọi $x\in R$

$\Leftrightarrow -2\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})\leq 2$ với mọi $x\in R$

$\Leftrightarrow -2-1\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1\leq 2-1$ với mọi $x\in R$

$\Leftrightarrow -3\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1\leq 1$ với mọi $x\in R$

$\Leftrightarrow -3\leq y\leq 1$ với mọi $x\in R$

Vậy tập giá trị của hàm số $y=2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1$ là [-3;1]

b) Ta có: $sinx+cosx=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}cosx)$

$=\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}sinx+sin\frac{\pi }{4}cosx)=\sqrt{2}(sinxcos\frac{\pi }{4}+cosxsin\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})$

Khi đó ta có hàm số $y=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})$

Lại có: $-1\leq sin(x+\frac{\pi }{4})\leq 1$ với mọi $x\in R$

$\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})\leq \sqrt{2}$ với mọi $x\in R$

$\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq y\leq \sqrt{2}$ với mọi $x\in R$

Vậy tập giá trị của hàm số y = sinx + cosx là $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$

Bài tập 1.34: Giải các phương trình sau:

a) $cos(3x-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $2sin^{2}x-1+cos3x=0$

c) $tan(2x+\frac{\pi }{5})=tan(x-\frac{\pi }{6})$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $cos(3x-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow cos(3x-\frac{\pi }{4})=cos\frac{3\pi }{4}$

$\Leftrightarrow 3x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi $ hoặc $3x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow 3x=\pi +k2\pi $ hoặc $3x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}$ hoặc $x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các  nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}  (k\in Z)$ và $x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z)$

b) $2sin^{2}x-1+cos3x=0\Leftrightarrow -(1-2sin^{2}x)+cos3x=0$

$\Leftrightarrow -cos2x+cos3x=0\Leftrightarrow cos3x=cos2x$

$\Leftrightarrow 3x=2x+k2\pi $ hoặc $3x=-2x+k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow x=k2\pi $ hoặc $5x=k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow x=k2\pi $ hoặc $x=k\frac{2\pi }{5}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các  nghiệm là $x=k2\pi (k\in Z)$ và $x=k\frac{2\pi }{5}(k\in Z)$

c) $tan(2x+\frac{\pi }{5})=tan(x-\frac{\pi }{6})$

$\Leftrightarrow 2x+\frac{\pi }{5}=x-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z$

$\Leftrightarrow x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in Z$

Vậy phương trình đã cho có các  nghiệm là $x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in Z$

Bài tập 1.35: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số

p(t) = 115 + 25sin(160πt),

trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian t tính theo phút.

a) Tìm chu kì của hàm số p(t).

b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.

c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Chu kì của hàm số p(t) là $T=\frac{2\pi }{160\pi }=\frac{1}{80}$

b) Thời gian giữa hai lần tim đập là $T=\frac{1}{80}$ (phút)

Số nhịp tim mỗi phút là $1:\frac{1}{80}=80$ nhịp.

c) Ta có: – 1 ≤ sin(160πt) ≤ 1 với mọi t ∈ ℝ

⇔ – 25 ≤ 25sin(160πt) ≤ 25 với mọi t ∈ ℝ

⇔ 115 + (– 25) ≤ 115 + 25sin(160πt) ≤ 115 + 25  với mọi t ∈ ℝ

⇔ 90 ≤ p(t) ≤ 140 với mọi t ∈ ℝ

Do đó, chỉ số huyết áp của người này là 140/90 và chỉ số huyết áp của người này cao hơn mức bình thường.

Bài tập 1.36: Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới i liên hệ với góc khúc xạ r bởi Định luật khúc xạ ánh sáng

$\frac{sini}{sinr}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$

Ở đây, n1 và n2 tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới i = 50°, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.

Hướng dẫn trả lời: 

Theo bài ra ta có: i = 50°, n1 = 1, n2 = 1,33, thay vào $\frac{sini}{sinr}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$ ta được:

$\frac{sin50°}{sinr}=\frac{1.33}{1}$ (điều kiện sin r ≠ 0)

⇒ sin r = $\frac{sin50°}{1.33}$

⇔ sin r ≈ 0,57597 (thỏa mãn điều kiện)

⇔ sin r ≈ sin(35°10’)

⇔ r ≈35°10' + k360° hoặc r ≈180°-35°10' + k360° ($k\in Z$)

⇔ r ≈35°10' + k360° hoặc r ≈144°50' + k360° ($k\in Z$)

Mà 0° < r < 90° nên r ≈ 35°10’.

Vậy góc khúc xạ r ≈ 35°10’.