Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài: Bài tập cuối chương V

A - Trắc nghiệm

Bài tập 5.18: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n}$. Mệnh đề đúng là:

A. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=-\infty $

B. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=1$

C. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty $

D. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=0$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n})$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{n^{2}(1+\frac{1}{n^{n}})}-\sqrt{n})$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(n\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\sqrt{n})=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}[n(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{n}})]$

Vì $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}n=+\infty$ và $ \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{n}})=1>0$

Do đó $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}[n(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{n}})]=+\infty $

Vạy $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty $

Đáp án: C

Bài tập 5.19: Cho $u_{n}=\frac{2+2^{2}+...+2^{n}}{2^{n}}$. Giới hạn của dãy số $(u_{n})$ bằng 

A. 1

B. 2

C. -1

D. 0

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $2+2^{2}+...+2^{n}$, đây là tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là $u_{1}=2$ và công bội q = 2. Do đó, $2+2^{2}+...+2^{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{2(1-2^{n})}{1-2}=-2(1-2^{n})$

Khi đó, $u_{n}=\frac{2+2^{2}+...+2^{n}}{2^{n}}=\frac{-2(1-2^{n})}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$

Vậy $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(2-\frac{1}{2^{n-1}})=2$

Đáp án: B

Bài tập 5.20: Cho cấp số nhân lùi vô hạn ($u_{n}$) với $u_{n}=\frac{2}{3^{n}}$. Tổng của cấp số nhân này bằng

A. 3

B. 2

C. 1

D. 6

Hướng dẫn trả lời: 

$u_{n}=\frac{2}{3^{n}}$ có $u_{1}=\frac{2}{3}, q=\frac{1}{3}$

$S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}=1$

Đáp án: C

Bài tập 5.21: Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}$. Mệnh đề đúng là:

A. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-\infty $

B. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=0$

C. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-1$

D. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-\frac{1}{2}$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}=\frac{(\sqrt{x+1})^{2}-(\sqrt{x+2})^{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}$

$=\frac{(x+1)-(x+2)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=\frac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}$

Do đó $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=0$

Đáp án: B

Bài tập 5.22: Cho hàm số $f(x)=\frac{x-x^{2}}{|x|}$. Khi đó $\underset{x\rightarrow 0^{+} }{lim}f(x)$ bằng

A. 0

B. 1

C. $+\infty $

D. -1

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $f(x)=\frac{x-x^{2}}{|x|}=\left\{\begin{matrix}\frac{x-x^{2}}{x}khi x>0\\ \frac{x-x^{2}}{-x}khi x<0\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}1-x khi x>0\\ x-1 khi x<0\end{matrix}\right.$

Do đó, $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}(1-x)=1-0=1$

Đáp án: B

Bài tập 5.23: Cho hàm số $f(x)=\frac{x+1}{|x+1|}$. Hàm số f(x) liên tục trên

A. $(-\infty ;+\infty )$

B. $(-\infty ;1]$

C. $(-\infty ;-1)\cup (-1;+\infty )$

D. $[-1;+\infty )$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $f(x)=\frac{x+1}{|x+1|}=\left\{\begin{matrix}\frac{x+1}{x+1}khi x+1>0\\ \frac{x+1}{-(x+1)}khi x+1<0\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}1 khi x>-1\\ -1 khi x<-1\end{matrix}\right.$

Tập xác định của hàm số là D = (–∞; – 1) ∪ (– 1; +∞).

Từ đó suy ra hàm số đã cho liên tục trên (–∞; – 1) ∪ (– 1; +∞).

Đáp án: C

Bài tập 5.24: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+x-2}{x-1} nếu x\neq 1\\ a nếu x = 1 \end{matrix}\right.$. Hàm số f(x) liên tục tại x = 1 khi 

A. a = 0

B. a = 3

C. a = -1

D. a = 1

Hướng dẫn trả lời: 

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{2}+x-2}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}(x+2)=3$

Để f(x) liên tục tại x = 1 thì $\underset{x\rightarrow 1}{lim}=f(1)$ suy ra a = 3

Đáp án: B

B - Tự luận

Bài tập 5.25: Cho dãy số $(u_{n})$ có tính chất $|u_{n}-1|<\frac{2}{n}$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Hướng dẫn trả lời: 

$|u_{n}-1<\frac{2}{n}\Leftrightarrow \frac{-2}{n}<u_{n}-1<\frac{2}{n}\Leftrightarrow \frac{-2}{n}+1<u_{n}<\frac{2}{n}+1$

$lim(-\frac{2}{n}+1)=1;lim(\frac{2}{n}+1)=1$

$\Rightarrow limu_{n}=1$

Bài tập 5.26: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) $u_{n}=\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}$

b) $v_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}$

c) $w_{n}=\frac{sin n}{4n}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}}{n^{2}(3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^{2}})}=\frac{1}{3}$

b) $v_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}=\frac{3^{0}+5^{0}}{6^{0}}+\frac{3^{1}+5^{1}}{6^{1}}+\frac{3^{2}+5^{2}}{6^{2}}+...+\frac{3^{n}+5^{n}}{6^{n}}$

$=(\frac{3^{0}}{6^{0}}+\frac{5^{0}}{6^{0}})+(\frac{3^{1}}{6^{1}}+\frac{5^{1}}{6^{1}})+(\frac{3^{2}}{6^{2}}+\frac{5^{2}}{6^{2}})+...+(\frac{3^{n}}{6^{n}}+\frac{5^{n}}{6^{n}})$

$=((\frac{1}{2})^{0}+(\frac{5}{6})^{0})+((\frac{1}{2})^{1}+(\frac{5}{6})^{1})+((\frac{1}{2})^{2}+(\frac{5}{6})^{2})+...+((\frac{1}{2})^{n}+(\frac{5}{6})^{n})$

$=[(\frac{1}{2})^{0}+(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+...+(\frac{1}{2})^{n}]+[(\frac{5}{6})^{0}+(\frac{5}{6})^{1}+(\frac{5}{6})^{2}+...+(\frac{5}{6})^{n}]$

Vì $(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+...+(\frac{1}{2})^{n}$ là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là $(\frac{1}{2})^{1}=\frac{1}{2}$ và công bội là $\frac{1}{2}$ nên

$(\frac{1}{2})^{0}+(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+...+(\frac{1}{2})^{n}=(\frac{1}{2})^{0}+\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^{n})}{1-\frac{1}{2}}$

$=1+(1-(\frac{1}{2})^{n})=2-(\frac{1}{2})^{n}$

Tương tự, ta tính được: 

$(\frac{5}{6})^{0}+(\frac{5}{6})^{1}+(\frac{5}{6})^{2}+...+(\frac{5}{6})^{n}=(\frac{5}{6})^{0}+\frac{\frac{5}{6}(1-(\frac{5}{6})^{n})}{1-\frac{5}{6}}$

$=1+5(1-(\frac{5}{6})^{n})=6-5.(\frac{5}{6})^{n}$

Do đó, $v_{n}=\sum_{k=0}^n{\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}}=[2-(\frac{1}{2})^{n}]+[6-5.(\frac{5}{6})^{n}]=8-(\frac{1}{2})^{n}-5.(\frac{5}{6})^{n}$

Vậy $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}})=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}[8-(\frac{1}{2})^{n}-5.(\frac{5}{6})^{n}]=8$

c) Ta có: $|w_{n}|=|\frac{sinn}{4n}|\leq \frac{1}{4n}<\frac{1}{n}$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1}{n}=0$

Do đó, $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}w_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{sinn}{4n}=0$

Bài tập 5.27: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số

a)1.(01)

b) 5.(132)

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $1.(01)=1+0.01+0.0001+0.000001+...$

$=1+1\times 10^{-2}+1\times 10^{4}+1\times 10^{6}+...$

Đây  là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1,q=10^{-2}$ nên $1.(01)=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-10^{-2}}=\frac{100}{99}$

b) Ta có: $5.(132)=5+0.132+0.000132+0.000000132+...$

$=5+132\times 10^{-3}+132\times 10^{-6}+132\times 10^{-9}+...$

$132\times 10^{-3}+132\times 10^{-6}+132\times 10^{-9}+...$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=132\times 10^{-3}, q=10^{-3}$ nên $5.(132)=5+\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{132\times 10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{1709}{333}$

Bài tập 5.28: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}$

b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}$

c) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2}}$

d) $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{4x^{2}+1}}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}=\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+2}+3}=\frac{1}{6}$

b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=\frac{3}{2}$

c)$\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[(2-x)(\frac{1}{(1-x)^{2}})]$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}(2-x)=1$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}(\frac{1}{(1-x)^{2}})=+\infty $

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2})}=+\infty $

d) $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{4x^{2}+1}}=\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{1+\frac{2}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}=-\frac{1}{2}$

Bài tập 5.29: Tính các giới hạn một bên

a) $\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{|x-3|}$

b) $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1-x}}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $x\rightarrow 3^{+}\Rightarrow x-3>0$

$\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{|x-3|}=\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}(x+3)=6$

b) $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}x=1$

$\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{1}{\sqrt{1-x}}=+\infty $

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1-x}}=+\infty $

Bài tập 5.30: Chứng minh rằng giới hạn $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$ không tồn tại

Hướng dẫn trả lời: 

$f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$

Ta lấy hai dãy của biến hội tụ về 0 $x_{n}^{(1)}=\frac{1}{n};x_{n}^{(2)}=\frac{-1}{n}$

Khi đó: $limf(x_{n}^{(1)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1$

$limf(x_{n}^{(2)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}=-1$

$\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(x_{n}^{(1)})\neq \underset{x\rightarrow \infty }{lim}(x_{n}^{(2)})$

Vậy không tồn tại $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$

Bài tập 5.31: Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho

a) $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} nếu x\neq 0\\ 1 nếu x =0\end{matrix}\right.$ tại điểm x = 0

b) $g(x)=\left\{\begin{matrix}1+x nếu x <1\\ 2-x nếu x\geq 1\end{matrix}\right.$ tại điểm x = 1

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{x}=+\infty $

f(0)=1

Vì $f(0)\neq \underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)$ suy ra hàm số gián đoạn tại x = 0

b) $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(1+x)=2$

$\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}(2-x)=1$

$\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}g(x)\neq \underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}$ do đó không tồn tại $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(gx)$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1

Bài tập 5.32: Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là $F(r)=\left\{\begin{matrix}\frac{GMr}{R^{3}} nếu r<R\\ \frac{GM}{r^{2}} nếu r\geq R\end{matrix}\right.$, trong đó M và R là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r)

Hướng dẫn trả lời: 

Vì M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn, do đó M, R, G đều khác 0, r là khoảng cách nên r > 0.

Ta có:  $F(r)=\left\{\begin{matrix}\frac{GMr}{R^{3}} nếu r<R\\ \frac{GM}{r^{2}}nếu r\geq R\end{matrix}\right.$. Tập xác định của hàm số F(r) là (0; +∞).

+) Với r < R thì F(r) = $\frac{GMr}{R^{3}}$ hay F(r) = $\frac{GMr}{R^{3}}.r$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0; R).

+) Với r > R thì F(r) =$\frac{GM}{r^{2}}$ là hàm phân thức nên nó liên tục trên (R; +∞).

+) Tại r = R, ta có F(R) = $\frac{GM}{r^{2}}$

$\underset{r\rightarrow R^{+}}{lim}F(r)=\underset{r\rightarrow R^{+}}{lim}\frac{GM}{r^{2}};\underset{r\rightarrow R^{-}}{lim}f(R)=\underset{r\rightarrow R^{-}}{lim}\frac{GMr}{R^{3}}=\frac{GMR}{R^{3}}=\frac{GM}{R^{2}}$

Do đó $\underset{r\rightarrow R^{+}}{lim}F(r)=\underset{r\rightarrow R^{-}}{lim}F(r)=\frac{GM}{R^{2}} \underset{r\rightarrow R}{lim}F(r)=\frac{GM}{R^{2}}=F(R)$

Suy ra hàm số F(r) liên tục tại r = R.

Vậy hàm số F(r) liên tục trên (0; +∞).

Bài tập 5.33: Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm số này liên tục trên các khoảng xác định của chúng

a) $f(x)=\frac{cosx}{x^{2}+5x+6}$

b) $g(x)=\frac{x-2}{sinx}$

Hướng dẫn trả lời: 

Biểu thức có nghĩa khi x2 + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\neq -2\\ x\neq -3\end{matrix}\right.$

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).

Suy ra hàm số f(x) xác định trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Vậy hàm số $f(x)=\frac{cosx}{x^{2}+5x+6}$ liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

b) Biểu thức $\frac{x-2}{sinx}$ có nghĩa khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Trên các khoảng xác định của hàm số g(x), tử thức x – 2 (hàm đa thức) và mẫu thức sin x (hàm lượng giác) là các hàm số liên tục.

Vậy hàm số $g(x)=\frac{x-2}{sinx}$ liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

Bài tập 5.34: Tìm các giá trị của a để hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1 nếu x\leq a\\ x^{2} nếu x>a\end{matrix}\right.$ liên tục trên R

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1 nếu x\leq a\\ x^{2} nếu x>a\end{matrix}\right.$. Tập xác định của hàm số f(x) là ℝ.

+) Với x < a thì f(x) = x + 1 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; a).

+) Với x > a thì f(x) = $x^{2}$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên (a; +∞).

+) Tại x = a, ta có f(a) = a + 1.

$\underset{x\rightarrow a^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow a^{-}}{lim}(x+1)=a+1; \underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}x^{2}=a^{2}$

Để hàm số f(x) đã cho liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = a, điều này xảy ra khi và chỉ khi $\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow a^{-}}{lim}f(x)=f(a)⇔ a + 1 = a^{2} ⇔ a^{2} – a – 1 = 0$

Suy ra $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ hoặc $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Vậy a $\in $ {$\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}$} thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.