Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 25 Hai mặt phẳng vuông góc

1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 1 trang 44 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a,b) và (a', b').

Hướng dẫn giải

Vì a, a' đều vuông góc với (P), b, b' đều vuông góc với (Q) nên ta có thể suy ra

Góc giữa a và b bằng góc giữa a' và b' (vì hai góc này đều là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với nhau).

Góc giữa a và a' bằng góc giữa b và b' (vì hai góc này đều là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với hai mặt phẳng khác nhau).

Hai góc (a,b) và (a',b') đều bằng góc giữa đường thẳng a (a') và đường thẳng b (b').

Từ đó suy ra, góc (a,b) bằng góc (a',b') (do cùng bằng góc giữa a và b, và giữa a' và b' đều có mối quan hệ tương tự). Vậy mối quan hệ giữa hai góc (a,b) và (a',b') là bằng nhau.

Luyện tập 1 trang 45 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO⊥(ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.

Hướng dẫn giải

Vì SO⊥(ABCD), ta có SO song song với đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD. Do đó, để chứng minh AC⊥SO và BD⊥SO.Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AC vuông góc với BD. Do đó, ta có AC⊥SO và BD⊥SO.

Vì ABCD là hình chữ nhật có tâm O, nên OA=OC và OB=OD. Từ đó, ta có SA=SB và góc ASO= góc BSO. Do đó, tam giác ASO và BSO đồng dạng, từ đó suy ra SA⊥SO và SB⊥SO.

Vì ABCD là hình vuông, nên AC vuông góc với BD. Khi đó, góc giữa (SAC) và (SBD) là góc giữa đường thẳng AC và BD, mà đó chính là góc vuông. Do đó, (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau.

2. ĐIỀU KIỆN HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 2 trang 45 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P) (H.7.47).

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tính góc giữa (P) và (Q).

Hướng dẫn giải

a) Chọn một điểm A trên đường thẳng a và kết nối A với bằng một đường thẳng tạo thành một mặt phẳng (S) vuông góc với cả a và b. Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng b, ta có thể xây được một mặt phẳng chứa a và b là mặt phẳng (T) qua A và H.

Khi đó, góc giữa a và b bằng góc giữa hai mặt phẳng (S) và (T).

b) Chọn một điểm B trên đường thẳng b và kết nối B với một điểm C trên (Q) bằng một đường thẳng tạo thành một mặt phẳng (U) vuông góc với cả b và (Q). Gọi K là hình chiếu của B trên (P), ta có thể xây được đường thẳng c là đường thẳng (KL) đi qua K và vuông góc với (P).

Khi đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa đường thẳng b và c.

Luyện tập 2 trang 46 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bán lề của của phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

Hướng dẫn giải

Trong một phòng vuông góc, mặt sàn và các mặt tường đều vuông góc với nhau. Khi cánh cửa được đóng lại, thì mặt cửa cũng vuông góc với cả mặt sàn và mặt tường, nên đường thẳng nối bán lề của cánh cửa và cạnh của phòng sẽ là đường thẳng vuông góc với sàn nhà.

Trong quá trình đóng - mở cánh cửa, bán lề của cánh cửa vẫn cố định với mặt tường, nên đường thẳng nối bán lề của cánh cửa và cạnh của phòng vẫn là đường thẳng vuông góc với sàn nhà. Từ đó suy ra, trong quá trình đóng - mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

3. TÍNH CHẤT HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 3 trang 46 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến Δ của (P)và (Q). Gọi O là giao điểm của a và Δ. Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với Δ tại D.

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tìm mỗi quan hệ giữa a và (Q)

Hướng dẫn giải

a) Vì a là đường thẳng vuông góc với giao tuyến Δ của (P) và (Q), nên khi kéo a sang mặt phẳng (Q), đường a sẽ song song với đường b (vì b là đường vuông góc với Δ).

Do đó, góc giữa a và b là 0 độ.

b) Mỗi quan hệ giữa a và (Q):

Đường a và đường b là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Điểm O là giao điểm của đường a và Δ. Khi kéo đường a sang mặt phẳng (Q), ta thu được đường a' song song với a. Do đó, đường a' cũng vuông góc với đường b.

Đường a và đường a' nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau, do đó (Q) và mặt phẳng qua a và a' cũng là hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Hoạt động 4 trang 46 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).

a) Hỏi a có nằm trong các mặt phẳng (P). (Q) hay không?

b) Tim mối quan hệ giữa a và a'.

c) Tim mối quan hệ giữa a và (R).

Hướng dẫn giải

a) Vì a là giao tuyến của (P) và (Q) cùng vuông góc với (R), nên a nằm trong cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

b) Vì a' vuông góc với (R), nên khi kéo a' sang mặt phẳng (P) hoặc (Q), a' sẽ vẫn vuông góc với đường thẳng nối hai điểm bất kỳ trên mỗi mặt phẳng đó. Vì vậy, a' song song với a.

c) Giao tuyến a của (P) và (Q) cắt mặt phẳng (R) tạo thành một góc vuông. Do đó, a vuông góc với mặt phẳng (R).

Luyện tập 3 trang 47 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:

a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC);

b) Giao tuyển của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

Hướng dẫn giải

a) Ta đã chứng minh được AB′⊥(SBC) và AD′⊥(SCD). Vì vậy, AB' và AD' cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng (SBC) và (SCD) khi đi qua A, tức là cùng vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Tương tự, ta có B′C′⊥(SAB) và B′D′⊥(SCD), nên B'C' và B'D' cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng (SAB) và (SCD) khi đi qua A, tức là cùng vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Vậy (AB'C'D') và (ABCD) đều vuông góc với (SAC).

b) Từ câu a, ta biết rằng mặt phẳng (ABCD)⊥(SAC), do đó đường thẳng đi qua A và vuông góc với (SAC) chính là đường thẳng AC.

Do đó, để chứng minh giao tuyến của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD)⊥AC, ta chỉ cần chứng minh rằng đường thẳng AC đi qua các điểm B', C', D'.

Từ đó suy ra đường thẳng AC là đường thẳng giao của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD), và nó nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

4. GÓC NHỊ PHÂN

Hoạt động 5 trang 47 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong Hình 7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyển a của mặt ghế và lưng ghế.

a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ 100° đến 105°?

b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiều đến bao nhiêu độ?

Hướng dẫn giải

a) Theo tài liệu nói trên, góc giữa mặt ghế và lưng ghế xOyˆ cần có số đo từ 100° đến 105°  

b) Góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế là góc giữa hai mặt phẳng đó, và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng. Góc này là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến a của hai mặt phẳng đó. Vì vậy, góc giữa hai mặt phẳng này là góc giữa hai đường thẳng Ox và Oy, và có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ 0 độ đến 90 độ.

Luyện tập 4 trang 48 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$, AB = AC = a,

$\widehat{BAC}=120^{\circ}$ , $SA= \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng SMA là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Tinh số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Hướng dẫn giải

Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$, AB = AC = a,

a) Vì $SA \perp (ABC)$ nên $\widehat{SAB} = \widehat{SAC} = 30^{\circ}$. Do đó, tam giác $ABC$ là tam giác đều với $AB = AC = a$. Khi đó, $BM = CM = \frac{a}{2}$ và $SM \perp (ABC)$ vì $SM$ là đường cao của tam giác $ABC$. Do đó, tam giác $SMB$ và tam giác $SMC$ là hai tam giác cân với $SM$ là đường trung trực của $BC$. Vì vậy, $\widehat{SMB} = \widehat{SMC}$. Từ đó, suy ra $\widehat{SMA} = 180^{\circ} - 2\widehat{SMB} = 180^{\circ} - 2\widehat{SMC}$, tức là $\widehat{SMA}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[S, BC, A]$

b) b) Gọi I là trung điểm của SA. Ta có $\widehat{BAC}=120^{\circ} $ , nên tam giác ABC là tam giác đều. Khi đó, BC=a nên ta có 

$MI = \frac{1}{2}SI=\frac{a}{4\sqrt{3}} $

$MA=\sqrt{MI^{2}+IA^{2}}=\sqrt{(\frac{a}{4\sqrt{3}}})^{2}+(\frac{a}{2\sqrt{3}})^{2}=\frac{a}{2}$

Suy ra, tam giác SMA cũng là tam giác đều. Do đó, góc SMA có số đo là $60^{\circ}$

$\widehat{SMB} +\widehat{BMA}+\widehat{AMS}=180^{\circ}$ Vì BM là đường trung trực của AC, nên $\widehat{BMA}=$\widehat{CMA}=30^{\circ}$

Suy ra: $\widehat{SMB} = 180^{\circ} - \widehat{BMA} - \widehat{AMS} = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}.$ Vậy, góc nhị diện [S, BC, A] có số đo là $90^{\circ}$90∘

 Vận dụng 1 trang 48 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng dị khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.

Hướng dẫn giải

Gọi X là giao điểm của đường thẳng qua M song song với AB và đường thẳng qua O vuông góc với AB. Ta có XM = d = 40 cm và XO = AB / 2 = 40 cm.

Do tam giác OXM vuông tại O nên ta có:

$cos(\widehat{OXM})=\frac{OM}{OX}=\frac{40}{40}=1$

Từ đó, ta suy ra $\widehat{OXM}=0^{\circ}$

$cos \widehat{XOM}= \frac{XM}{OX}=\frac{40}{40}=1$

Từ đó, ta suy ra$ \widehat{XOM}=0^{\circ}$ ta có 

$\widehat{AOM}=\widehat{AOX} +\widehat{XOM}  = \widehat{AOX}= cos^{-1}(0,5)\approx 60^\circ$

Vậy số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm là $60^\circ$

5. MỘT SỐ HÌNH LĂNG TRỤ ĐẶC BIỆT 

a) Hình lăng trụ đứng 

Hoạt động 6 trang 49 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật, vì chúng được tạo thành bởi cặp đối xứng của các hình chữ nhật đồng dạng và song song với mặt đáy. Các cạnh của các hình chữ nhật này bằng nhau và vuông góc với mặt đáy.

Các mặt bên của lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy, vì chúng được tạo thành bởi việc kéo các cạnh của hình đáy theo hướng vuông góc so với mặt đáy. Do đó, các mặt bên là các hình chữ nhật có hai cạnh đối diện vuông góc với mặt đáy.

b) Hình lăng trụ đều

Hoạt động 7 trang 49 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Các mặt bên của một hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật có cùng kích thước, khi đường cong của đáy và đỉnh của lăng trụ nằm trên cùng một đường thẳng song song với mặt đáy, thì các hình chữ nhật bên của lăng trụ có cùng kích thước, vì chúng đều có chiều cao bằng độ dài của cạnh đáy và chiều dài bằng chu vi của đáy.

c) Hình hộp đứng

Hoạt động 8 trang 49 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Trong 6 mặt của hình hộp đứng, ít nhất 4 mặt là hình chữ nhật. Đó là vì hình hộp được tạo thành từ hai hình vuông kề nhau và các đường thẳng nối các cạnh của hai hình vuông này đều là các đoạn thẳng và song song với các mặt hình vuông. Do đó, các mặt đối diện của hình hộp đó là các hình chữ nhật, tức là ít nhất có 4 mặt của hình hộp là hình chữ nhật.

d) Hình hộp chữ nhật

Hoạt động 9 trang 50 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: 

a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vi sao?

Hướng dẫn giải

a) Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, trong đó 2 mặt đối diện là hình chữ nhật và các mặt bên là hình chữ nhật nữa. Vì vậy, hình hộp chữ nhật có tổng cộng 4 mặt là hình chữ nhật.

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Điều này bởi vì hình hộp chữ nhật có đối xứng giữa các đường chéo dài. Một đường chéo là đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của hình chữ nhật. Vì hình chữ nhật có hai cặp đỉnh đối diện, nên hình hộp chữ nhật sẽ có 2 đường chéo dài, mỗi đường chéo nối hai đỉnh đối diện của hình hộp. Do đó, do hình hộp chữ nhật có đối xứng giữa các đường chéo dài, nên các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.

e) Hình lập phương

Hoạt động 10 trang 50 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Mặt của một hình lập phương là các hình vuông.

Vì hình lập phương có 6 mặt, mỗi mặt đều là một hình vuông có cạnh bằng nhau và góc giữa các cạnh là vuông góc. Do đó, các mặt của hình lập phương đều là các hình vuông.

Vận dụng 2 trang 50 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cũng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đó, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cũng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. 

Do các hình vuông được cắt ra từ tấm tôn góc ban đầu có kích thước giống nhau, do đó khi ghép các mép lại với nhau, ta sẽ có được đường biên của chiếc hộp chữ nhật. Các cạnh của hình vuông trùng với các cạnh của hộp chữ nhật, do đó khi các mặt được ghép lại với nhau, chúng sẽ tạo thành các mặt của hộp chữ nhật. Vì vậy, bằng cách này, bác Hùng đã tạo ra một chiếc thùng hình hộp chữ nhật từ một tấm tôn hình chữ nhật ban đầu.

6. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

Hoạt động 11 trang 51 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kinh và kim loại) có dạng hình chóp với đây là hình vuông có cạnh bằng 34 m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ 32,3 m (theo Wikipedia.org).

Giải thích vì sao hình chiếu của đỉnh trên đây là tâm của đáy tháp.

Hướng dẫn giải

Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kinh và kim loại) có dạng hình chóp với đây là hình vuông có cạnh bằng 34 m

Vì tháp tại Bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp với đây là hình vuông có cạnh bằng 34m và các cạnh bên bằng nhau, do đó, khi ta ném một tia sáng từ đỉnh của tháp xuống đáy, tia sáng này sẽ đi thẳng theo phương vuông góc với mặt phẳng đáy (hình chiếu vuông góc). Vì hình chóp là một hình thể có tính chất đồng nhất, nên đường phân giác của tất cả các góc của đáy là một đường chung, chính là đường vuông góc với mặt phẳng đáy. Do đó, hình chiếu của đỉnh trên đáy tháp sẽ nằm ở trung tâm của hình vuông đáy.

Vì vậy, hình chiếu của đỉnh trên đây là tâm của đáy tháp.

Hoạt động 12 trang 51 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.A1A2...An. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A1A2...An).

a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O có gì đặc biệt đối với tam giác đều A1A2...An?

b) Nếu đa giác A1A2...An là đều và O là tâm của đa giác đó thì hình chóp đã cho có gì đặc biệt?

 Cho hình chóp S.A1A2...An. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A1A2...An).

a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O  sẽ trùng với tâm của đường tròn này, tức là tâm của đa giác đều A1A2...An.

b) Nếu đa giác A1A2...An là đều và O là tâm của đa giác đó, thì hình chóp đã cho sẽ là một hình chóp đều.

Hoạt động 13 trang 52 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp đều S.A1A2...An. Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2,.... SAn, tương ứng tai B1B2,....,Bn

a) Giải thích vì sao S.B1,B2,....,Bn, là một hình chóp đều.

b) Gọi H là tâm của đa giác A1A2...An. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B1,B2,....,Bn, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A1A2...An). (B1B2,....,Bn

 Hướng dẫn giải

a) Vì mặt phẳng cắt các cạnh SA1, SA2,.... SAn, tương ứng tại B1B2,....,Bn là một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy nên các tam giác SA1B1, SA2B2,...., SAnBn đều và có cùng diện tích. Do đó, ta có thể kết luận rằng S.B1B2...Bn là một hình chóp đều.

b) Từ câu a) ta suy ra rằng các đoạn thẳng S.B1, SB2, ..., SAn đều có cùng độ dài, và K là trung điểm của đoạn thẳng B1B2,....,Bn.

ta sử dụng tính chất của hình chóp đều và đa diện đều: H nằm trên đường thẳng SA1, do đó HK song song với SA1 và vuông góc với mặt phẳng đáy A1A2...An.

HK vuông góc với các mặt phẳng A2A3...AnA1, A3A4...A1A2, ..., AnA1...A(n-1).

Vì các đoạn thẳng SB1, SB2, ..., SAn đều có cùng độ dài nên S.B1B2...Bn là một đa giác đều, và K là tâm của đa giác đều này. Do đó, ta có thể thấy rằng HK là đường cao của tam giác S.B1B2, vì vậy HK vuông góc với mặt phẳng B1B2...Bn.

Vậy ta đã chứng minh được rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B1B2,....,Bn, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A1A2...An) và (B1B2,....,Bn).

BÀI TẬP

Bài tập 7.16 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$. Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng $(SAB) \perp (ABC)$ và $(SAH) \perp (SBC)$.

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC} = 30 ^{\circ}$, $AC = a$, $SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ .Tính số đo nhị diện [S. BC. A]

Hướng dẫn giải

a)  $(SAB) \perp (ABC)$: Vì $SA \perp (ABC)$ nên ta có $SA \perp AB$ và $SA \perp AC$. Do đó, ta có thể kết luận rằng hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là $A$, và hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $SB$ cũng nằm trên mặt phẳng $(ABC)$, do đó $(SAB)$ vuông góc với $(ABC)$.

$(SAH) \perp (SBC)$: Gọi $I$ là trung điểm của $SA$. Ta có $IH \perp BC$ vì $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$, và $SI \perp BC$ vì $SI$ là đường cao của tam giác $SBC$. Do đó, $(SAH)$ vuông góc với $(SBC)$.

b) ta có \widehat{ABC} = 30^\circ do đó $AB=AC\sqrt{3}=a\sqrt{3} $ Diện tích tam giác $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{3a^{2}}{4}$ 

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $BC$. Khi đó, ta có:

$SBC=\frac{1}{2}.BC.SH=\frac{1}{2}.2a.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Do đo số đo nhị diện $[S.BC.A]$ 

$S_{SBC}-S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{3a^{2}}{4}=-\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

 Bài tập 7.17 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng $(ACC'A') \perp (BDD'B')$

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng $\widehat{COC'}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tinh (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C. BD, C]. [A, BD, C'].

Hướng dẫn giải

a) Độ dài đường chéo của hình lập phương có thể tính từ công thức cạnh đường chéo của hình lập phương như sau: $d=\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3}a$

b) Ta có $AC^{2}+CA'^{2}=AA'^{2} $ do tam giác vuông $ACA'$ nên ta có $AC=CA'=\frac{a}{\sqrt{2}}$ tương tự $BD^{2}=DB'^{2}=BC^{2}=CB'^{2}=AD^{2}=DA'^{2}=a^{2}$. Gọi $M$,$N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BD$,$A'C'$ thì $MN//AC//A'C'$ và $MN=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}a^{2}a^{2}$

Do $AMD'$ và $D'BN$ là hai tam giác vuông cân  tại $M$,$N$.

suy ra $(ACC'A') \perp (BDD'B')$

Bài tập 7.18 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng $(BDD'B') \perp (ABCD)$.

b) Xác định hình chiếu của $AC'$ trên mặt phẳng $(ABCD)$.

c) Cho $AB = a$,$BC=b$,$CC' =c$ . Tính $AC'$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $BD // B'D'$ và $BD'=BD$, suy ra $BDD'B'$ là hình bình hành. Hơn nữa, $BD \perp AB$ và $B'D' \perp A'D'$, suy ra $BDD'B' \perp (ABCD)$.

b) Vẽ điểm $P$ trên $(ABCD)$ sao cho $AP \perp AC'$. Khi đó hình chiều $AC'$ trên $(ABCD)$ sẽ chính là đoạn thẳng $PC'$

Gọi $M$ là trung điểm cả $CC'$ ta có 

$\vec{MC'}=\frac{1}{2}\vec{CC'}$

$\vec{MA}=\frac{1}{2}\vec{CA}$

Do đó:

$\vec{MC'}+\vec{MA}=\frac{1}{2}\vec{CC'}+\frac{1}{2}\vec{CA}=\frac{1}{2}(\vec{CC'}+\vec{CA})=\frac{1}{2}\vec{C'A}$

Kết hợp với $\vec{MA}$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD) $, suy ra $AP \perp (ABCD)$ từ đó ta tìm được điểm $P$ là giao điểm của đường thẳng $AA'$ với $(ABCD)$ 

c)Ta có $ABCD$ là hình chữ nhật, suy ra $AD=BC=b$. Hơn nữa, $AC'^2=\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}= \dfrac{a^2+b^2}{2}+c^2$. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông $ABC$, ta có $AB=\sqrt{a^2+b^2}$, suy ra:

$AC'=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+c^{2}}=\sqrt{(\frac{a^{2}+b^{2}}{2})+c^{2}}$

Bài tập 7.19 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp đều S.ABC, đây có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

Hướng dẫn giải

a) Vì đây là hình chóp đều nên cạnh đáy AB có độ dài bằng a. Đường cao HS được kéo từ đỉnh S xuống mặt phẳng đáy ABC. Theo định lý Pythagoras, ta có: $HS^{2}=SA^{2} -AS^{2}$

$SA=SB=SC=\sqrt{a^{2}+(\frac{b}{2})^{2}}$ và $AS=\frac{b}{2}$

Thay vào công thức ta có :

$HS^{2}=(a^{2}+\frac{b^{2}}{4})-\frac{b^{2}}{4}=a^{2}$

Do $HS=a$ và góc gữa đường cao HS và cạnh đáy AB là góc $\theta$ 

$sin \theta =\frac{HS}{AB}=\frac{a}{a}=1$

b)  Mặt phẳng SBC là một tam giác đều, do đó các cạnh SB và SC là phân giác của góc $\widehat{BSC}=120^\circ$ .Vì vậy, góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng SBC là một nửa của góc $\widehat{BSC} $

Do đó, tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên là:

$tan \theta=tan60^\circ = \sqrt{3}$

Bài tập 7.20 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 4,8m; OA = 2,8 m; OB = 4m.

a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chưa hai mái nhà.

b) Chứng minh rằng mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.

c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm B là 0.5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.

c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm Blá 0.5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.

Hướng dẫn giải

a) Góc nhị diện giữa hai nửa mặt phẳng tương ứng với hai mái nhà là góc giữa hai đường thẳng OA và OB trong mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt đất. Áp dụng định lý cosin: 

$cos \widehat{AOB}=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2.OA.OB}$

$=\frac{2,8^{2}+4^{2}-4,8^{2}}{2\times 2\times 4}\approx -0,848 \Rightarrow 143^\circ$

b) Góc giữa mặt phẳng (OAB) và mặt đất phẳng là góc giữa đường thẳng OA và mặt đất phẳng. Ta có $OA$ là đoạn thẳng nối hai điểm trên mặt đất phẳng nên OA vuông góc với mặt đất phẳng.

c) Ta cần tính góc giữa đường thẳng OB và mặt đất phẳng. Gọi $\alpha$ là góc này. Ta có thể tìm $\alpha$ bằng cách tính $\tan \alpha$ theo định lý tang của tam giác vuông. Đầu tiên, vẽ đường thẳng $BE$ song song với đường nóc, với $E$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và đường thẳng vuông góc với mặt đất phẳng qua $B$. Khi đó, tam giác $OBE$ là tam giác vuông tại $B$. Ta có: $tan \alpha =\frac{BE}{OE}=\frac{AB}{O-AB.\frac{OA}{OB}}$

$=\frac{4,8}{4-4,8.\frac{2,8}{4}}\approx 1,143\Rightarrow 49.68^\circ$

Bài tập 7.21 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá $\frac{1}{12}$ Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Giả sử mái nhà, mặt sân và con đường thẳng có độ dốc lần lượt là $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ và góc tạo bởi mái nhà và mặt sân là $\alpha $ 

Ta có $tan \alpha = m_{1}$

Góc tạo bởi đường thẳng dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang là $\beta $ta có:

$tan \beta  = m_{3}$

Theo đề bài $\frac{m_{3}}{12}\leq \frac{1}{12}\Rightarrow m_{3}\leq 1$

Khi đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá:$ \beta\leq arctan(1)\approx 45^{\circ }$

Vậy góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá $45^{\circ }$