Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 21 Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1.PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Hoạt động 1 trang 20 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết phương trình mũ 

Xét phương trình: $2^{x+1}=\frac{1}{4}$

a) Khi viết $\frac{1}{4}$ thành luỹ thừa của 2 thì phương trình trên trở thành phương trình nào?

b) So sánh số mũ của 2 ở hai vế của phương trình nhận được ở câu a để tìm x.

Hướng dẫn giải

a) PT có dạng $2^{x+1}=2^{-2}$

b) So sánh số mũ của 2 ở hai vế của phương trình ta được:

$x+1=−2⇒x=−3$

Luyện tập 1 trang 21 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giải các phương trình sau: 

a) $2^{3x-1}=\frac{1}{2^{x+1}}$

b) $2e^{2x}=5$

 Hướng dẫn giải

a) $2^{3x-1}=\frac{1}{2^{x+1}}$

$<=> 2^{3x-1}=2^{-(x+1)}$

$<=>3x-1=-(x+1)$

$<=>x=\frac{1}{2}$

b) $2e^{2x}=5$

$<=>ln2e^{2x}=ln5$

$<=>ln2+2x=ln5$

$<=>2x=ln5-ln2=ln\frac{5}{2}$

$<=>x=\frac{1}{2}ln\frac{5}{2}$

2.PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Hoạt động 2 trang 21 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xét phương trình: 2log_{2}x=−3 

a) Từ phương trình trên, hãy tính log_{2}x

b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa lôgarit, hãy tìm x.

 Hướng dẫn giải

a)Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta được:

$log_{2}x=−\frac{3}{2}$

b) Áp dụng định nghĩa của logarit, ta có:

$log_{2}x=−\frac{3}{2}$ ⇔$2^{−\frac{3}{2}}=x$

Vậy $x=\frac{\sqrt{2}}{4}$

Luyện tập 2 trang 22 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giải các phương trình sau:

a) $4-log(3-x)=3$

b) $log2(x+2)+log2(x−1)=1$

 Hướng dẫn giải

a) $4-log(3-x)=3$

Điều kiện $3-x>0$ hay $x<3$

$=> log(3-x)=log10$

$<=> 3-x=10 <=> x=-7$ (thỏa mãn)

b) $log2(x+2)+log2(x−1)=1$

Điều kiện $x+2>0$ và $x-1>0 $tức là $x>1 $

=> $(x+2)(x−1)=2$

<=> $x^{2}+x-4=0$

Vậy phương trình có nghiệm là $\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$

3. BẬT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 

Hoạt động 3 trang 22 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết nghiệm của bất phương trình mũ 

Cho đồ thị của các hàm số y=2^{x} và y = 4 như Hình 6.7. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y=2^{x} nằm phía trên đường thẳng y = 4 và từ đó suy ra tậpnghiệm của bất phương trình 2^{x} >4.

 Hướng dẫn giải

Để tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y=2^{x}$ nằm phía trên đường thẳng $y=4$, ta cần giải phương trình $2^{x}=4$ để tìm giá trị của x tại điểm cắt giữa đường thẳng $y=4$ và đồ thị hàm số $y=2^{x}$ trên trục tọa độ.

$2^{x}=4$ có nghiệm x=2.

Do đồ thị của hàm số $y=2^{x}$ là một đường cong liên tục và tăng không giới hạn khi x tiến đến vô cùng, nên để đồ thị nằm phía trên đường thẳng y=4 thì ta cần xác định các giá trị của x lớn hơn 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2^{x}>4 là (2,+\infty ).$

Luyện tập 3 trang 23 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giải các bất phương trình sau:

a) $0,1^{2x-1}\leq 0,1^{2-x}$

b) $3.2^{x+1}\leq 1$

 Hướng dẫn giải

a) $0,1^{2x-1}\leq 0,1^{2-x}$

$<=> 2x-1\leq 2-x$

$<=> 3x \leq 3$

$<=> x\leq 1$

b) $3.2^{x+1}\leq 1$

$<=> 2^{x+1}\leq \frac{1}{3}$

$<=> x+1\leq log_{2}\frac{1}{3}$

$<=>x\approx -2,584$

4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Hoạt động 4 trang 23 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết nghiệm của bất phương trình 

Cho đồ thị của các hàm số y=log_{2}x và y = 2 như Hình 6.8. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y=log_{2}x nằm phía trên đường thẳng y = 2 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình y=log_{2}x

Để hàm số $y=log_{2}x$ nằm phía trên đường thẳng $y=2$, ta cần giải phương trình $log_{2}x>2.$

$log_{2}x>2$⇔$x>2^{2}=4$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $log_{2}x>2 là x\in (4,+\infty )$

Luyện tập 4 trang 24 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giải các bất phương trình sau:

a)$\log_{\frac{1}{7}}(x+1) > \log_{7}(2-x)$

b)$2\log(2x+1)> 3$

Hướng dẫn giải

a) $\log_{\frac{1}{7}}(x+1)=\log_{7}\frac{1}{x+1}$

điều kiện x<2 

$\frac{1}{x+1}> 2-x\Rightarrow x> -\frac{1}{2}$

Ta được nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{x+1}> 2-x\Rightarrow  -\frac{1}{2}< x< 2$

Vận dụng trang 24 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Áp suất khí quyển p (tính bằng kilopascal, viết tắt là kPa) ở độ cao h (so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo công thức sau:

$ln(\frac{p}{100})=-\frac{h}{7}$

a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao 4 km.

b) Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?
(Theo britannica.com)

Hướng dẫn giải

a)Áp suất khí quyển ở độ cao 4 km được tính bằng cách đưa giá trị $h=4$ vào công thức:

$ln(\frac{p}{100})=-\frac{h}{7}=-\frac{4}{7}$

Giải phương trình này để tìm giá trị của $p$:

$\frac{p}{100}=e^{-\frac{4}{7}}\Rightarrow p=100e^{-\frac{4}{7}}\approx 50,75 kPa$

b) Để tính áp suất khí quyển ở độ cao 10 km, ta đưa giá trị $h=10$ vào công thức ban đầu:

$ln(\frac{p}{100})=-\frac{h}{7}=-\frac{10}{7}$

Giải phương trình này để tìm giá trị của $p$:

$\frac{p}{100}=e^{-\frac{10}{7}}\Rightarrow p=100e^{-\frac{10}{7}}\approx 25,27 kPa$

BÀI TẬP

Bài tập 6.20 trang 24 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giải phương trình sau:

a)$3^{x-1}=27$

b)$100^{x^{2}-3}=0,1^{2x^{2}-18}$

c)$\sqrt{3} e^{3x}=1$

d)$5^{x}=3^{2x-1}$

Hướng dẫn giải

a)$3^{x-1}=27=3^3$, do đó ta có $x-1=3 \Rightarrow x=4$.

b)$100^{x^{2}-3}=0,1^{2x^{2}-18}$

$\Rightarrow (x^{2}-3)ln100=(2x^{2}-18)ln0,1$

$\Rightarrow (x^{2}-3)ln10^{}=(2x^{2}-18)\Rightarrow (x^{2}-3)=4(18-x^{2})$

$\Rightarrow(x^2-3)=4(18-x^2)\Rightarrow 5x^2=75\Rightarrow  x=\pm\sqrt{15}$

c)$\sqrt{3} e^{3x}=1\Rightarrow \ln(\sqrt{3} e^{3x})=\ln 1$

$\Rightarrow\ln\sqrt{3}+3x\ln e=0\Rightarrow\ \frac{1}{2}\ln 3+3x=0$

$\Rightarrow3x=-\frac{1}{2}\ln 3\Rightarrow\ x=-\frac{1}{6}\ln 3$

d)$5^x=3\cdot(3^2)^{x-1}=3\cdot3^{2x-2}$ và rút gọn để được $5^x=3^{2x}$

$5^x=3^{2x}\Rightarrow\ln 5^x=\ln 3^{2x}$

$\Rightarrow x\ln 5=2x\ln 3 \Rightarrow\ \ln 5=2\ln 3$

$\Rightarrow\ln\frac{5}{3^2}=0$

Bài tập 6.21 trang 24 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giải các phương trình sau: 

a) $log(x+1)=2$

b) $2\log_{4}x+\log_{2}(x-3)=2$

c) $lnx+ln(x-1)=ln4x$

d) $\log_{3}(x^{2}-x+2)=log_{3}(2x-4)$

Hướng dẫn giải

a) $log(x+1)=2 \Rightarrow x+1=10 \Rightarrow x=9$

b) $2\log_{4}x+\log_{2}(x-3)=2 \Rightarrow \log_{4}x^2 + \log_{2}(x-3)=2.$

$\log_{2}x^2 + \log_{2}(x-3)^{\frac{1}{2}}=2 \Rightarrow \log_{2}(x^2\sqrt{x-3})=2.$

$x=4$ 

c) $lnx+ln(x-1)=ln4x \Rightarrow ln(x(x-1))=ln(4x) \Rightarrow x(x-1)=4x \Rightarrow x^2-5x=0.$

$\left\{\begin{matrix} x=5 & (thoa-man) & \\ x=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x=5$

d) $\log_{3}(x^{2}-x+2)=log_{3}(2x-4)=x^2 - x + 2 = 2x - 4 =x^2 - 3x + 6 = 0 $

$= \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}  = \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow x^2 - x + 2 = 2x - 4$ are $x = \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}$ và $x = \frac{3 - i\sqrt{3}}{2}$.

Bài tập 6.22 trang 24 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giải các bất phương trình sau: 

a) $0,1^{2-x}> 0,1^{4+2x}$

b) $2.5^{2x+1}\leq 3$

c) $log_{3}(x+7)\geq -1$

d) $\log_{0,5}(x+7)\geq \log_{0,5}(2x-1)$

Hướng dẫn giải

a) $2-x> 4+2x\Leftrightarrow  -2> 3x\Leftrightarrow x> \frac{2}{3}$

b) $\frac{2,5^{2x+1}}{2,5}\leq \frac{3}{2,5}\Leftrightarrow 2,5^{2x}\leq \frac{6}{5}$ $ln(2,5^{2x})\leq ln(\frac{6}{5})\Leftrightarrow 2xln(2,5)\leq ln(\frac{6}{5})$

$\Rightarrow x\leq \frac{ln\frac{6}{5}}{2ln2,5}\approx 0,317$

c) $log_{3}(x+7)\geq -1 \Leftrightarrow 3^{-1}\leq x+7\Leftrightarrow \frac{1}{3}\leq x+7\Leftrightarrow x\geq -\frac{20}{5}$

d)$\log_{0,5}(x+7)\geq \log_{0,5}(2x-1)\Leftrightarrow x+7\geq 2x-1\Leftrightarrow x\leq $

 Bài tập 6.23 trang 24 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5% một năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau n năm là:

$A=500 . (1+0,075)^{n }$

Tinh thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

Hướng dẫn giải

Ta có 

$500(1+0,075)^{n}\geq 800$

Chia cả hai vế của bất phương trình cho 500:

$(1+0,075)^{n}\geq \frac{800}{500} =1,6$

Lấy logarit tự nhiên ở cả hai vế của bất phương trình:

$n ln(1+0,075)^{n}\geq ln(1,6)$

Chia cả hai vế của bất phương trình cho $\ln(1+0.075)$:

$n\geq \frac{ln(1,6)}{ln(1+0,075)}\approx 9,25$

Vậy thời gian tối thiểu cần gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng là 10 năm.

Bài tập 6.24 trang 24 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là 40% mỗi giờ. Khi đó số lượng vi khuẩn N(t) sau t giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức sau:

$N(t)=500.e^{0,4t}$

Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con?

Hướng dẫn giải

Giải phương trình:

$80 000= 500e^{0,4t}$

Chia cả hai vế của phương trình cho 500:

$160=e^{0,4t}$

Logarithm tự nhiên của cả hai vế:

$ln160=0,4t \Rightarrow t=\frac{ln 160}{04}\approx 5,43$

Vậy sau khoảng 5.43 giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ vượt mức 80 000 con

Bài tập 6.25 trang 24 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giả sử nhiệt độ $T (^{\circ }C) $ của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức:

$T=25+70e^{0,5t}$ trong đó thời gian t được tính bằng phút.
a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.
b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại $30 ^{\circ }C$?

Hướng dẫn giải

a) Nhiệt độ ban đầu của vật:

$T =25+70e^{0,5t}=25+70e^{0,5\times 0}=25+70=95$

b) Để tìm thời gian $t$ mà nhiệt độ của vật còn lại $30 ^{\circ }C$

$30= 25 + 70e^{0,5t}\Rightarrow ln\frac{30-25}{70}=0,5t$

Giải phương trình trên ta tìm được giá trị của $t$

$t=2ln \frac{1}{7}\approx 6,04$

Vậy sau khoảng $6,04$ phút nhiệt độ của vật sẽ giảm còn $30 ^{\circ }C$

 Bài tập 6.26 trang 24 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8.

Hướng dẫn giải

Độ pH của một dung dịch được tính bằng công thức

$pH=-\log_{10}\left [H^{+} \right ]$

$\Rightarrow \left [H^{+} \right ]=10^{-pH}$

Do đó, nồng độ ion hydrogen của dung dịch có độ pH là 8 là:

$\left [H^{+} \right ]=10^{-pH}=10^{-8} (mol/lít)$

Vậy, nồng độ ion hydrogen của dung dịch là $10^{-8}$ mol/lít.