Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 6: Cấp số cộng

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Một nhà hát có 25 hàng ghế với 16 ghế ở hàng thứ nhất, 18 ghế ở hàng thứ hai, 20 ghế ở hàng thứ 3 và cứ tiếp tục theo quy luật đó, tức là hàng sau nhiều hơn hàng liền trước nó 2 ghế. Tính tổng số ghế của nhà hát đó.

Hướng dẫn trả lời: 

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Số ghế ở mỗi hàng của nhà hát lập thành một cấp số cộng, gồm 25 số hạng, với số hạng đầu u1 = 16 và công sai d = 2. Tổng các số hạng này là

$S_{25}+u_{1}+u_{2}+...+u_{25}=\frac{25}{2}(2u_{1}+(25-1)d)=\frac{25}{2}(2\times 16+24\times 2)=1000$

Vậy nhà hát đó có tổng cộng 1 000 ghế.

1. Định nghĩa

Hoạt động 1: Nhận biết cấp số cộng

Cho dãy số $(u_{n})$ gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng $u_{n}$ theo số hạng $u_{n-1}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Năm số hạng đầu tiên của dãy số: 1; 3; 5; 7; 9

b) Nhận thấy trong dãy số ($u_{n}$), số hạng sau hơn số hạng liền trước 2 đơn vị.

Do đó, ta dự đoán công thức biểu diễn số hạng un theo số hạng $u_{n-1}$ là $u_{n}=u_{n-1}+2$

Câu hỏi : Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số cộng không?

Hướng dẫn trả lời: 

Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số cộng với công sai d = 0

Luyện tập 1: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=-2n+3$. Chứng minh rằng $(u_{n}) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{n}-u_{n-1}=(-2n+3)-[-2(n-1)+3]=-2$, với mọi $n\geq 2$

Do đó $(u_{n})$ là cấp số cộng có số hạng đầu là $u_{1}=1$ và công sai bằng d = -2

2. Số hạng tổng quát

Hoạt động 2: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d

a) Tính các số hạng $u_{2},u_{3},u_{4},u_{5}$ theo $u_{1}$ và d

b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát $u_{n}$ theo $u_{1}$ và d

Hướng dẫn trả lời: 

a) $u_{2}=u_{1}+d$

$u_{3}=u_{2}+d=u_{1}+2d$

$u_{4}=u_{3}+d=u_{1}+3d$

$u_{5}=u_{4}+d=u_{1}+4d$

b) Công thức tính số hạng tổng quát: $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$

Luyện tập 2: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=4n-3$. Chứng minh rằng $(u_{n})$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát $u_{n}$ dưới dạng $u_{n}=u_{1}+(n+1)d$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{n}-u_{n-1}=(4n-3)-[4(n-1)-3]=4$, với mọi $n\geq 2$

Do đó $(u_{n})$ là cấp số cộng có số hạng đầu là $u_{1}=1$ và công sai bằng d = 4

Số hạng tổng quát: $u_{n}=1+4(n-1)$

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Hoạt động 3: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d

Để tính tổng của n số hạng đầu 

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}+u_{n}$ 

hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng $S_{n}$ theo số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d

b) Viết $S_{n}$ theo thứ tự ngược lại: $S_{n}=u_{n}+u_{n-1}+...+u_{2}+u_{1}$ và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo $u_{1}$ và d

c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b), để tính $S_{n}$ theo $u_{1}$ và d

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{2}+u_{1}+d;...;u_{n-1}=u_{1}+(n-1-1)d=u_{1}+(n-2)d;u_{n}=u_{1}+(n-1)d$

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}+u_{n}$

$=u_{1}+(u_{1}+d)+...+[u_{1}+(n-1)d]+[u_{1}+(n-1)d]$

b) $S_{n}=u_{n}+u_{n-1}+...+u_{2}+u_{1}$

$=[u_{1}+(n-1)d]+[u_{1}+(n-2)d]+...+(u_{1}+d)+u_{1}$

c) Ta có: $S_{n}+S_{n}$ = {$u_{1}+(u_{1}+d)+[u_{1}+(n-2)d]+[u_{1}+(n-1)d]$}+{$[u_{1}+(n-1)d]+[u_{1}+(n-2)d]+...+(u_{1}+d)+u_{1}$}

<=> $2S_{n}$ = {$u_{1}+[u_{1}+(n-1)d]$}+{$(u_{1}+d)+[u_{1}+(n-2)d]$}+...+{[$u_{1}+(n-2)d]+(u_{1}+d)$}+{$[u_{1}+(n-1)d]+u_{1}$}

<=> $2S_{n}=[2u_{1}+(n-1)d]+[2u_{1}+(n-1)d]+...+[2u_{1}+(n-1)d]+[2u_{1}+(n-1)d]$

<=> $2S_{n}=n.[2u_{1}+(n-1)d]$

<=> $S_{n}=[2u_{1}+(n-1)d]$

Vận dụng: Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 100 triệu đồng một nam. Công ty sẽ tăng lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó.

Hướng dẫn trả lời: 

Số tiền lương trong 10 năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, với số hạng đầu là $u_{1}=100$ và công sai d = 20. Tổng các số hạng này là:

$S_{10}=u_{1}+u_{2}+...+u_{10}=\frac{10}{2}[2u_{1}+(10-1)20]=\frac{10}{2}(2\times 100+9\times 20)=1900$ (triệu đồng)

Vậy tổng số tiền lương anh Nam nhận sau 10 năm là 1900 triệu đồng

Bài tập

Bài tập 2.8: Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:

a) 4, 9, 14, 19, ...;

b) 1, -1, -3, -5, ...

Hướng dẫn trả lời: 

a) 9 - 4 = 5; 14 - 9 = 5

Suy ra cấp số cộng có $u_{1}=4$, công sai d = 5

Số hạng tổng quát của dãy số là: $u_{n}=4+5(n-1)$

Số hạng thứ 5: $u_{5}=4+5(5-1)=24$

Số hạng thứ 100: $u_{100}=4+5(100-1)=499$

b) -1 - 1= -2; -3 - (-1) = -2

Suy ra cấp số cộng có $u_{1}=1$, công sai d = -2

Số hạng tổng quát của dãy số là: $u_{n}=1+(-2)(n-1)$

Số hạng thứ 5: $u_{5}=1+(-2)(5-1)=-7$

Số hạng thứ 100: $u_{100}=1+(-2)(100-1)=-197$

Bài tập 2.9: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $(u_{n})$ sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$

a) $u_{n}=3+5n$

b) $u_{n}=6n-4$

c) $u_{1}=2,u_{n}=u_{n-1}+n$

d) $u_{1}=2,u_{n}=u_{n-1}+3$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $u_{1}=8;u_{2}=13;u_{3}=18;u_{4}=23;u_{5}=28$

Ta có: $u_{n}-u_{n-1}=3+5n-[3+5(n-1)]=5 \forall x\geq 2$

Suy ra dãy số là cấp số cộng có $u_{1}=8$ và công sai d = 5

Số hạng tổng quát: $u_{n}=8+5(n-1)$

b) $u_{1}=2;u_{2}=8;u_{3}=14;u_{4}=20;u_{5}=26$

Ta có: $u_{n}-u_{n-1}=6n-4-[6(n-1)-4]=6\forall x\geq 2$

Suy ra dãy số là cấp số cộng có $u_{1}=2$ công sai d = 6

Số hạng tổng quát: $u_{n}=2+6(n-1)$

c) $u_{1}=2;u_{2}=4;u_{3}=7;u_{4}=11;u_{5}=16$

Ta có: $u_{2}-u_{1}=2\neq  u_{3}-u_{2}=3$

Suy ra đây không phải cấp số cộng

d) $u_{1}=2;u_{2}=5;u_{3}=8;u_{4}=11;u_{5}=14$

Ta có: $u_{n}-u_{n-1}=3$

Suy ra đây là dãy cấp số công có $u_{1}=2$ và công sai d = 3

Số hạng tổng quát: $u_{n}=2+3(n-1)$

Bài tập 2.10: Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này

Hướng dẫn trả lời: 

Gọi số hạng tổng quát của dãy là: $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$

Ta có: $u_{5}=u_{1}+4d=18;u_{12}=u_{1}+11d=32$

Suy ra $u_{1}=10, d = 2$

Số hạng tổng quát: $u_{n}=10+2(n-1)$

Số hạng thứ 50 là: $u_{50}=108$

Bài tập 2.11: Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2700?

Hướng dẫn trả lời: 

Gọi n là số các số hạng đầu cần lấy tổng, ta có:

$2700=S_{n}=\frac{n}{2}[2\times 5+(n-1)\times 2]=\frac{n}{2}(8+2n)$

Do đó $4n+n^{2}-2700=0$. Giải phương trình bậc hai này ta được n = -54 (loại) hoặc n = 50

Vậy phải lấy 50 số hạng đầu.

Bài tập 2.12: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.

Hướng dẫn trả lời: 

Giá của chiếc xe ô tô sau một năm sử dụng là 680 – 55 = 625 (triệu đồng)

Giá của chiếc xe ô tô sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là $u_{1}$ = 625 và công sai d = – 55 (do giá xe giảm).

Do đó, giá của chiếc ô tô sau 5 năm sử dụng là

$u_{5} = u_{1} + (5 – 1)d = 625 + 4 . (– 55) = 405 (triệu đồng).

Bài tập 2.13: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở đằng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiếu bao nhiêu hàng ghế?

Hướng dẫn trả lời: 

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=15$ và công sai d = 3. Gọi n là số các số hạng đầu cua cấp số cộng cần lấy tổng, ta có:

$870=S_{n}=\frac{n}{2}[2\times 15+(n-1)\times 3]=\frac{n}{2}(27+3n)$

Do đó $27n+3n^{2}-1740=0$, suy ra n = 20, n = -29 (loại)

Vậy cần phải thiết kế 20 hàng ghế

Bài tập 2.14: Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1.2 triệu người. Giả sử mõi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố vào năm 2030

Hướng dẫn trả lời: 

Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có $u_{1}=1200$, công sai d = 30

Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: $u_{n}=1200+30(n-1)$

Dân số của năm 2030 tức n = 11 $u_{11}=1200+30(11-1)=1500$ (nghìn người)