Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 28 Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Giải bài 28 Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập, sách Toán 11 kết nối tri thức. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài
1. BIẾN CỐ HỢP
Hoạt động 1 trang 67 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một tổ trong lớp 11A có 10 học sinh. Điểm kiểm tra học kì I của 10 bạn này ở hai môn Toán và Ngữ văn được cho như sau:
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:
A: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn";
B: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Toán";
C: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn hoặc điểm giỏi môn Toán".
a) Mô tả không gian mẫu và các tập con A, B, C của không gian mẫu.
b) Tìm A ∪ B.
a) Không gian mẫu Ω=(8,7),(5,5),(9,6),(7,9),(4,6),(6,5),(8,8),(5,7),(7,6),(6,7)
Trong đó cặp (a,b) tương ứng với điểm số của học sinh ở môn Toán và Ngữ văn.
A: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn"
A=(8,7),(7,9),(8,8),(5,7),(6,7)
B: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Toán"
B=(8,7),(9,6),(7,9),(8,8)
C: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn hoặc điểm giỏi môn Toán"
C=(8,7),(9,6),(7,9),(8,8),(5,7),(6,7)
b) Tập hợp A∪B là tập hợp các điểm số mà môn Ngữ văn hoặc Toán đạt giỏi:
A∪B=(8,7),(9,6),(7,9),(8,8),(5,7),(6,7)=C
Vì vậy A∪B=C
Luyện tập 1 trang 68 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một tổ trong lớp 11B có 4 học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung, Phương và 5 học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải. Trong giờ học, giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó lên bảng để kiểm tra bài. Xét các biến cố sau:
H: “Học sinh đó là một bạn nữ";
K: “Học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái H".
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Nêu nội dung của biến cố hợp M=H∪K. Mỗi biến cố H, K, M là tập con nào của không gian mẫu?
a) Không gian mẫu của bài toán này là tập hợp các học sinh trong tổ lớp, nó có 9 phần tử và được ký hiệu là Ω = {Hương, Hồng, Dung, Phương, Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải}.
b) Biến cố H xảy ra khi học sinh được chọn là một bạn nữ, nó là tập hợp các học sinh nữ và được ký hiệu là
H={Hương, Hồng, Dung, Phương}.
Biến cố K xảy ra khi học sinh được chọn có tên bắt đầu là chữ cái H, được ký hiệu là
K={Hương, Hồng,Hoàng}.
Biến cố hợp M xảy ra khi học sinh được chọn là một bạn nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ H, nó là tập hợp các học sinh trong tập H hoặc K (bao gồm cả những học sinh trùng nhau của hai tập này) và được ký hiệu là
M=H∪K={Hương, Hồng, Dung, Phương,Hoàng}.
2. BIẾN CỐ GIAO
Hoạt động 2 trang 68 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trở lại tình huống trong HĐ1. Xét biến cố D: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn và điểm giỏi môn Toán".
a) Hỏi D là tập con nào của không gian mẫu?
b) Tìm A∩B.
a) Biến cố D là tập hợp các điểm số mà học sinh đạt giỏi cả 2 môn Toán và Ngữ văn. Do đó, biến cố D là tập con của không gian mẫu:
D={(8,7)}
b) Tập A∩B là tập hợp các điểm số mà học sinh đạt giỏi cả môn Ngữ văn và môn Toán. Ta có:
A∩B={(8,8),(8,7),(7,9)}
Luyện tập 2 trang 69 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một hộp đựng 25 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 25. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Xét các biến cố P: “Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 4"; Q: “Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 6".
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Nội dung của biến cố giao S = PQ là gì? Mỗi biến cố P, Q, S là tập con nào của không gian mẫu?
a) Không gian mẫu là tập hợp các số từ 1 đến 25, được ký hiệu là Ω=1,2,3,…,25.
b) Biến cố P là tập hợp các số chia hết cho 4, được ký hiệu là P=4,8,12,16,20,24.
Biến cố Q là tập hợp các số chia hết cho 6, được ký hiệu là Q=6,12,18,24.
Biến cố S là giao của hai biến cố P và Q, nghĩa là các số vừa chia hết cho 4 và vừa chia hết cho 6, được ký hiệu là S=P∩Q=12,24.
Vậy P, Q và S lần lượt là các tập con của không gian mẫu Ω.
Vận dụng trang 69 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trở lại tình huống mở đầu. Sử dụng khái niệm biến cố hợp, biến cố giao, biến cố đối, ta biểu diễn biến cố G, H theo các biến cố M và N như sau:
Biến cố G xảy ra khi và chỉ khi hoặc gia đình đó có ti vi và không có máy vi tính hoặc gia đình đó không có ti vi và có máy vi tính. Vậy $G=M\overline{N}\cup \overline{M}N$
Biến cố H xảy ra khi và chỉ khi gia đình đó không có cả ti vi và máy vi tính. Vậy $H=\overline{M}\overline{N}$ Hãy biểu diễn mỗi biến cố E, F theo các biến cố M và N.
Biến cố E xảy ra khi và chỉ khi gia đình đó có cả ti vi và máy vi tính. Vậy E=MN.
Biến cố F xảy ra khi và chỉ khi gia đình đó không có ti vi hoặc không có máy vi tính. Tức là, nếu không có ti vi thì phải có máy vi tính, hoặc nếu không có máy vi tính thì phải có ti vi. Vậy $F=\overline{M}N \cup M\overline{N}$
3. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
Hoạt động 3 trang 69 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Hai bạn Minh và Sơn, mỗi người gieo đồng thời một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:
A: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số chẵn";
B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho 3".
Việc xảy ra hay không xảy ra biến cố A có ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố
B không? Việc xảy ra hay không xảy ra biến cố B có ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A không?
Việc xảy ra biến cố A không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại, việc xảy ra biến cố B cũng không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A. Trong trường hợp này, hai biến cố là độc lập với nhau.
Luyện tập 3 trang 70 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trở lại tình huống trong HĐ3. Xét hai biến cố sau:
E: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số nguyên tố";
B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho 3”.
Hai biến cố E và B độc lập hay không độc lập?
Hai biến cố E và B không độc lập.
BÀI TẬP
Bài tập 8.1 trang 71 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một hộp đựng 15 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 15. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ và quan sát số ghi trên thẻ. Gọi A là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 7"; B là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố".
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Mỗi biến cố A∪B và AB là tập con nào của không gian mẫu?
a) Ω ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
b) A: số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 7. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B: số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố. B = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
A∪B: số ghi trên tấm thẻ có thể là số nhỏ hơn 7 hoặc là số nguyên tố (có thể không nhỏ hơn 7). A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13}
AB: số ghi trên tấm thẻ vừa là số nhỏ hơn 7 vừa là số nguyên tố. AB = {2, 3, 5}
Bài tập 8.2 trang 71 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:
- E: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn;
- F: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ"
- K: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn".
Chứng minh rằng K là biến cố hợp của E và F.
Để tích của hai số chẵn là số chẵn, thì cả hai số đều phải chẵn. Vì vậy, khi biến cố K xảy ra, biến cố E cũng phải xảy ra. Đồng thời, khi tích của hai số không phải là số chẵn (tức là một số lẻ nhân một số chẵn), thì ít nhất một trong hai số phải là số lẻ. Do đó, khi biến cố K không xảy ra (tức là tích của hai số là số lẻ), biến cố F cũng không xảy ra.
Vậy nếu biến cố K xảy ra, thì biến cố E và biến cố F cũng phải xảy ra. Do đó, ta có thể kết luận rằng biến cố K là biến cố hợp của biến cố E và biến cố F.
Bài tập 8.3 trang 71 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em. Xét hai biến cố sau:
P: “Học sinh đó bị cận thị”;
Q: “Học sinh đó học giỏi môn Toán".
Nêu nội dung của các biến cố P∪Q; PQ và P¯Q¯
Biến cố P∪Q xảy ra khi học sinh đó bị cận thị hoặc học giỏi môn Toán hoặc cả hai đều xảy ra.
Biến cố PQ xảy ra khi học sinh đó vừa bị cận thị vừa học giỏi môn Toán.
Biến cố P¯Q¯ xảy ra khi học sinh đó không bị cận thị và không học giỏi môn Toán cùng lúc.
Bài tập 8.4 trang 71 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 3 con thỏ trắng và 7 con thỏ đen. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Xét hai biến cố sau:
- A: “Bắt được con thỏ trắng từ chuồng "I";
- B: “Bắt được con thỏ đen từ chuồng II".
Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.
Xác suất để bắt được con thỏ trắng từ chuồng I là: $P(A)=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.$
Xác suất để bắt được con thỏ đen từ chuồng II là: P(B)=\frac{7}{10}
Xác suất bắt được cả một con thỏ trắng từ chuồng I và một con thỏ đen từ chuồng II. Do các sự kiện này là độc lập nhau, nên ta có:
P(A∩B)=P(A).P(B)=\frac{2}{3}.\frac{7}{10}=\frac{7}{15}$
Do đó, hai biến cố A và B độc lập.
Bài tập 8.5 trang 71 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có 9 con gà mái và 3 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái và 6 con gà trống. Bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng I để đem bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng II. Xét hai biến cố sau:
- E: “Bắt được con gà trống từ chuồng I";
- F: “Bắt được con gà mái từ chuồng II".
Chứng tỏ rằng hai biến cố E và F không độc lập.
Xác suất bắt được con gà trống từ chuồng I:
$P(E)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
Xác suất bắt được con gà mái từ chuồng II sau khi dồn con gà từ chuồng I vào:
$P(F)=\frac{3}{11}$
Vì số lượng gà mái và gà trống trong chuồng I đã thay đổi sau khi bán một con gà, nên xác suất bắt được con gà từ chuồng II sẽ phụ thuộc vào giới tính của con gà đã bán từ chuồng I. Nếu con gà bán là con gà mái, thì số lượng gà mái trong chuồng I sẽ giảm xuống còn 8 con, do đó xác suất để bắt được con gà mái từ chuồng II sẽ giảm đi. Ngược lại, nếu con gà bán là con gà trống, thì xác suất để bắt được con gà mái từ chuồng II sẽ không bị ảnh hưởng.
Do đó, hai biến cố E và F không độc lập.