Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 30 Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

1. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

Hoạt động 1 trang 76 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Có hai hộp đựng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Hộp I có 6 quả màu trắng và 4 quả màu đen. Hộp II có 1 quả màu trắng và 7 quả màu đen. Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I, bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Xét các biến cố sau:

A: “Bạn Long lấy được quả bóng màu trắng";

B: “Bạn Hải lấy được quả bóng màu đen".

a) Tính P(A), P(B) và P(AB).

b) So sánh P(AB) vàP(A).P(B).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

P(A): Xác suất để bạn Long lấy được quả bóng màu trắng từ hộp I là $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

P(B): Xác suất để bạn Hải lấy được quả bóng màu đen từ hộp II là $\frac{7}{8}$

P(AB): Xác suất để cả hai bạn đều lấy được quả bóng như mô tả là xác suất để bạn Long lấy được quả bóng màu trắng và bạn Hải lấy được quả bóng màu đen là

$\frac{6}{10}×\frac{7}{8}=\frac{21}{40}.$

b) $P(A).P(B)=\frac{3}{5}×\frac{7}{8}=\frac{21}{40}$

Vậy ta thấy P(AB)=P(A).P(B).

Do đó, việc lấy hai quả bóng từ hai hộp là độc lập.

Luyện tập 1 trang 77 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Các học sinh lớp 11D làm thí nghiệm gieo hai loại hạt giống A và B. Xác suất để hai loại hạt giống A và B nảy mầm tương ứng là 0,92 và 0,88. Giả sử việc nảy mầm của hạt A và hạt B là độc lập với nhau. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:

a) Hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm; G

b) Hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm;

c) Ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm.

Hướng dẫn giải

a) Xác suất để hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm là $P(A∩\overline{B})=P(A)⋅P(\overline{B})=0.92⋅0.12=0.1104.$

b) Xác suất để hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm là $P(\overline{A}∩B)=P(\overline{A})⋅P(B)=0.08⋅0.88=0.0704.$

c) Xác suất để ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm là bù của xác suất để cả hai loại hạt giống đều không nảy mầm, tức là $1−P(\overline{A}∩\overline{B})=1−P(\overline{A})⋅P(\overline{B})=1−0.08⋅0.12=0.9904$.

2. VẬN DỤNG

Luyện tập 2 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm 5 000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:

Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm 5 000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:

Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.

Hướng dẫn giải

Tỷ lệ mắc bệnh ở nhóm nghiện thuốc lá là:

Tỷ lệ mắc bệnh ở nhóm nghiện thuốc lá = 752/(752+1236)≈0,378

Tỷ lệ mắc bệnh ở nhóm không nghiện thuốc lá là:

Tỷ lệ mắc bệnh ở nhóm  không nghiện thuốc lá≈0,191

Vậy, tỷ lệ tương đối là

Tỷ lệ tương đối=0.378/0.191≈1,98

Kết quả này cho thấy tỷ lệ mắc bệnh viêm phổi của nhóm người nghiện thuốc lá gần gấp đôi so với nhóm không nghiện thuốc lá. Tức là, người có thói quen hút thuốc lá có xu hướng cao hơn để mắc bệnh viêm phổi hơn so với người không có thói quen này

BÀI TẬP

Bài tập 8.11 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với P(A) > 0,P(B) > 0. Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Hướng dẫn giải

Giả sử rằng hai biến cố A và B là độc lập. Điều này có nghĩa là xác suất của A xảy ra không bị ảnh hưởng bởi việc B xảy ra và ngược lại. Khi đó, xác suất của biến cố A và B xảy ra cùng lúc là tích của xác suất của A và xác suất của B, tức là:

P(A∩B)=P(A).P(B)

Tuy nhiên, nếu A và B là hai biến cố xung khắc, tức là không thể xảy ra cùng một lúc, thì xác suất của biến cố A và B xảy ra cùng lúc phải bằng 0, tức là:

P(A∩B)=0

Ta có 

P(A).P(B)=0

Do đó, ít nhất một trong hai xác suất P(A) hoặc P(B) phải bằng 0. Tuy nhiên, giả thiết ban đầu đã chỉ ra rằng cả hai xác suất này đều lớn hơn 0, vì vậy giả định ban đầu là sai. Do đó, hai biến cố A và B không độc lập.

Bài tập 8.12 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

A: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60" và B: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48".

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố không độc lập.

Hướng dẫn giải

Tổng số các số ước của 60 là 12.

Tổng số các số ước của 48 là 8.

Tổng số ước của cả 60 và 48 là 5

Xác suất để một số được rút ra từ thùng là ước của 60 là 5/60=1/12

Xác suất để một số được rút ra từ thùng là ước của 48 là 5/48.

Xác suất để số được rút ra là một số ước của 60 và 48 và là ước của 12 là 1/12.

Xác suất để số được rút ra từ thùng là ước của 48, biết rằng số đó cũng là ước của 12 là 2/12=1/6.

Vì vậy, xác suất của biến cố B phụ thuộc vào việc số đó có phải là một số ước của 60 hay không.

Do đó, hai biến cố A và B không độc lập.

Bài tập 8.13 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Có hai túi đựng các viên bị có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bị màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bị. Tính xác suất để xanh

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

Hướng dẫn giải

a) Xác suất để lấy được hai viên bi màu xanh từ hai túi là tích của hai xác suất đó:

P( Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh)=P( bi xanh từ túi I) . P( bi xanh túi II)

=3/10.5/8=3/16

b) Xác suất Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ:

P(Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ) =P( bi đỏ từ túi I) . P( bi đỏ túi II) =710.38=2180

c) Xác suất Hai viên bi được lấy có cùng màu

P(Hai viên bi được lấy có cùng màu) =P( bi đỏ từ túi I) + P( bi đỏ túi II) =3/16+21/80=33/80

d) Xác suất Hai viên bi được lấy không cùng màu.

P(Hai viên bi được lấy không cùng màu) =P( bi xanh từ túi I) + P( bi đỏ túi II).P( bi đỏ từ túi I) + P( bi đỏ túi II)

=3/10.3/8+7/10.5/8=3/5

Bài tập 8.14 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Có hai túi mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5.

Hướng dẫn giải

Ta có 

Xác suất lấy ra quả cầu không có số 1 hoặc số 5 từ túi đầu tiên: 6/10

Xác suất lấy được quả cầu không có số 1 hoặc số 5 từ túi thứ hai là: 6/9

Vậy xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5 là:

P=6/10x6/9=4/15

Bài tập 8.15 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong

Hướng dẫn giải

a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là:

P=0,93−0,87=0,8091

b)Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là:

P=(1−0,93)x(1−0.87)=0,0198

c) Xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

P=(0.93.(1−0,87)+(1−0,93).0,87=0,1716

d) Xác suất để ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

P=1−0,0198=0.9802