Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit
Giải Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài
1. MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG HOẶC SUY THOÁI CẤP MŨ
Vận dụng 1 trang 99 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Năm 2020, dân số thế giới khoảng 7 795 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 1,05% mỗi năm (theo danso.org). Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số thế giới vào năm 2050 (làm tròn kết quả đến hàng triệu).
Các chất phóng xạ đều có chu kì bán rã riêng, là thời gian cần thiết để một nửa số chất phóng xạ bị phân rã. Trong phương pháp xác định niên đại bằng carbon, người ta sử dụng thực tế là tất cả các sinh vật sống đều chứa hai loại carbon: carbon-12 (một loại carbon ổn định) và carbon-14 (một loại carbon phóng xạ với chu kì bán rã 5 730 năm). Khi một sinh vật đang sống, tỉ lệ giữa carbon-12 và carbon-14 là không đổi. Nhưng khi một sinh vật
chết đi, lượng carbon-12 ban đầu không thay đổi nhưng lượng carbon-14 bắt đầu giảm.
Sự thay đổi lượng carbon-14 này so với lượng carbon-12 hiện tại giúp chúng ta có thể tính được thời điểm sinh vật chết.
Hướng dẫn giải
Để ước tính dân số thế giới vào năm 2050 dựa trên tỉ lệ tăng dân số 1,05% mỗi năm, ta có thể sử dụng mô hình tăng trưởng mũ:
$A(t)=A_{0}.(1+r)^{t}$
Áp dụng vào bài toán này, ta có:
A(2050)=7,795 triệu .$(1+0,0105)^{30}$
A(2050)≈7,795 triệu.1,349858807
A(2050)≈10,504 triệu
Vì yêu cầu làm tròn kết quả đến hàng triệu, ta có kết quả ước tính dân số thế giới vào năm 2050 là khoảng 10,504 triệu người.
Vận dụng 2 trang 99 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Dấu vết của gỗ bị đốt cháy cùng với các công cụ đá cổ đại trong một cuộc khai quật khảo cổ học được phát hiện có chứa khoảng 1,67% lượng carbon-14 ban đầu. Biết chu kì bán rã của carbon-14 là 5 730 năm (theo britannica.com), hãy ước tính khoảng thời gian cây bị chặt và đốt.
Để ước tính khoảng thời gian cây bị chặt và đốt dựa trên tỉ lệ carbon-14 còn lại trong mẫu, ta sử dụng công thức sau:
$t=\frac{t_{1}}{2}\cdot ln\left ( \frac{1}{\frac{C}{C_{0}}} \right )$
$t=(5.730).ln\left ( \frac{1}{\frac{0,0167}{1}} \right )$
$t=(5.730).ln(59,88)$
$t≈23.463,78$
Vậy, khoảng thời gian cây bị chặt và đốt là khoảng 23.464 năm.
2. THANG ĐO LÔGARIT
a) Thang đo pH
Vận dụng 3 trang 100 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nồng độ ion hydrogen của nước chanh là [H+]=5,0−10^{-3}M. Hãy tinh độ pH của nước chanh và cho biết nó có tính acid hay base.
Hướng dẫn giải
Để tính độ pH của nước chanh và xác định tính acid hay base của nó, ta sử dụng định nghĩa pH như sau:
$pH=−log[H^{+}]$
Với nồng độ ion hydrogen [H^{+}] của nước chanh là $[H^{+}]=5,0.10^{(−3)}M$, ta có thể tính độ pH như sau:
$pH=−log(5,0.10^{(-3)})$
$log(0,005) = -2,3$
Vậy, độ pH của nước chanh là -2,3.
vì độ pH của nước chanh là -2,3 (< 7), nên nước chanh có tính acid.
b) Thang độ Richter
Vận dụng 4 trang 101 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trận động đất năm 1906 ở San Francisco có cường độ ước tính là 8,3 độ Richter. Trong cùng năm đó, một trận động đất mạnh đã xảy ra ở biên giới Colombia-Ecuador với cường độ mạnh gấp 4 lần. Hỏi trận động đất ở biên giới Colombia-Ecuador có cường độ là bao nhiêu độ Richter?
Hướng dẫn giải
Trận động đất ở biên giới Colombia-Ecuador có cường độ là $8,3+log_{10}(4)$ độ Richter.
8,3 + 0,602 = 8,902 độ Richter.
Vận dụng 5 trang 101 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cường độ của âm thanh giao thông tại một ngã tư đông đúc đo được là 2,0.10−5W/m2. Tìm mức cường độ âm tính bằng decibel.
Ta tính được:
$dB=log_{10}(2,0.10^{7})=log_{10}(2)+log_{10}(10^{7})=0,301+7=7,301$
Vậy, mức cường độ âm tính bằng decibel là 7.301 dB.
c) Thang đo decibel
Vận dụng 5 trang 101 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cường độ của âm thanh giao thông tại một ngã tư đông đúc đo được là $2,0.10^{-5} W/m^{2}$. Tìm mức cường độ âm tính bằng decibel.
Hướng dẫn giải
ta tính được:
$dB = log_{10}(2,0 . 10^{7}) = log_{10}(2) + log_{10}(10^{7}) = 0,301 + 7 = 7,301$
Vậy, mức cường độ âm tính bằng decibel là 7.301 dB.