Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới Bài tập ôn tập cuối năm

Bài tập 1 trang 105 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Khẳng định nào sau đây sai?

A. cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

B. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 

C. sin($\frac{\pi }{2}$+a)=cosα

D. cos2α=$cos^{2}$α−$sin^{2}$α

Hướng dẫn giải

C. sin($\frac{\pi }{2}$+a)=cosα

Bài tập 2 trang 105 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y=sinx tuần hoàn với chu kì π.

B. Hàm số y=cosx tuần hoàn với chu kì 2π

C. Hàm số y=tanx tuần hoàn với chu kì 2π

D. Hàm số y=cotx tuần hoàn với chu kỉ 2π

Hướng dẫn giải

B. Hàm số y=cosx tuần hoàn với chu kì 2π

Bài tập 3 trang 105 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho biết dãy số ($U_{n}$) với $U_{n}$=5n. Số hạng U_{2n} bằng

Hướng dẫn giải

A. $2.5^{n}$

B. $25^{n}$

C. $10^{n}$

D. $5^{n^{2}}$

Hướng dẫn giải

B. $25^{n}$

Bài tập 4 trang 105 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Hãy cho biết dãy số (U_{n}) nào dưới dây là dãy số tăng, nếu biết công thức só hạn tộng quát của nó là 

A. $\frac{1}{n^{2}+1}$

B. $2^{-n}$

C. $log_{\frac{1}{2}}n$

D. $\frac{n}{n+1}$

Hướng dẫn giải

D. $\frac{n}{n+1}$

Bài tập 5 trang 105 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Khẳng định nào sau đây là sai?

 A. Nếu $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$=L≥0 thì $\lim_{x\rightarrow x_{0}} \sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

B. $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{x}=-\infty $

C. Nếu |q|≤1 thì $\lim_{x\rightarrow +\infty }q^{n}=0$

D. $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{sinn}{n+1}=0$

Hướng dẫn giải

B. $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{x}=-\infty $

Bài tập 6 trang 105 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Hàm số nào dưới đây không liên tục trên R?

A. y=tanx

B. $y=\frac{2x^{2}3x-1}{x^{2}+1}$

C. y=sinx

D. y=|x|

Hướng dẫn giải

D. y=|x|

Bài tập 7 trang 105 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho 0<a≠1. Giá trị của biểu thức $log_{a}(a^{3}.\sqrt[4]{a}) +(\sqrt[3]{a})^{log_{a}8}$ bằng

A. $\frac{19}{4}$

B. 9

C. $\frac{21}{4}$

D. $\frac{47}{12}$

Hướng dẫn giải

C. $\frac{21}{4}$

Bài tập 8 trang 105 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho đồ thị ba hàm số mũ y = a^{x}, y = b^{x}vày=cx như trong hinh vẽ dưới đây. .Khẳng định nào đúng 

A. a > c > b

B. b > a > c

C. c > a > b

D. c > b > a

Hướng dẫn giải

C. c > a > b

Bài tập 9 trang 106 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nếu $f(x)=sin^{2}x+xe^{2x}$ thì $f"(0) bằng 

A. 4

B. 5

C. 6

D .0

Hướng dẫn giải

A. 4

$f′′(x)=(2sinxcosx)′+(e^{2x})′+(2xe^{2x})′$

$f′′(x)=(2cos^{2}x−2sin^{2}x)+2e^{2x}+(4xe^{2x}+2e^{2x})$

f′′(x)=2cos(2x)+2e^{2x}+6xe^{2x}$

ta thay x=0 vào biểu thức f′′(x):

$f′′(0)=2cos(0)+2e^{0}+6(0)e^{0}=2+2=4$

Bài tập 10 trang 106 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=−2x^{3}+6x^{2}−5$ tại điểm M(3; -5) thuộc đồ thị là 

A. y = 18x + 49 

B. y = 18x - 49 

C. y = -18x - 49 

D. y = -18x + 49 

Hướng dẫn giải

D. y = -18x + 49 

Bài tập 11 trang 106 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA ⊥ (ABC),$SA=a\sqrt{2}$. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 

A. $\frac{6a}{11}$

B. $\frac{a\sqrt{66}}{11}$

C. $\frac{a\sqrt{6}}{11}$

D. $\frac{a\sqrt{11}}{11}$

Hướng dẫn giải

D. $\frac{a\sqrt{11}}{11}$

Bài tập 12 trang 106 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AC = AA' = 2a. Giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng

A. $8a^{3}$

B. $6a^{3}$

C. $4a^{3}$

D. $a^{3}$

Hướng dẫn giải

C. $4a^{3}$

Bài tập 13 trang 106 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và cạnh AD. Thể tích khối chóp B.CMND bằng 

A. $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{16}$

C. $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{24}$

D. $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{8}$

Hướng dẫn giải

C. $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{24}$

Bài tập 14 trang 106 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = 1 AA' = 2. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{8}$

Hướng dẫn giải

C. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

Bài tập 15 trang 106 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC′=\sqrt{3}. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài tập 16 trang 106 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: 

Nhóm chứa trung vị là: 

A. [5;10)

B. [10;15)

C. [15;20)

D. [20; 25)

Hướng dẫn giải

C. [15;20)

Tổng số công nhân:

7 + 18 + 35 + 57 + 28 = 145

Trung vị là phần tử ở giữa sau khi sắp xếp tập dữ liệu theo thứ tự tăng dần. Ta phải tính ra chỉ số của phần tử giữa trong tập dữ liệu:

$\frac{145+1}{2}=73$

Vì 73 nằm trong khoảng [57, 85) (tính từ phần tử đầu tiên của mỗi nhóm), nên nhóm chứa trung vị sẽ là [15;20).

Bài tập 17 trang 106 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:

Nhóm chứa mốt là:

A. [5;10)

B. [10;15)

C. [15;20)

D. [20; 25)

Hướng dẫn giải

C. [15;20]

Chỉ số phần tử đầu tiên là 42. Số lượng công nhân là 57. Vị trí của phần tử thứ mốt là $\frac{(145+1)}{2}-42+1=38$ nằm trong khoảng [35, 92), nên đây chính là nhóm chứa mốt.

Bài tập 18 trang 106 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Vận động viên Tùng thi bắn súng. Biết rằng xác suất để Tùng bắn trúng vòng 10 là 0,2. Mỗi vận động viên được bắn hai lần và hai lần bắn là độc lập. Vận động viên đạt huy chương vàng nếu cả hai lần bắn trúng vòng 10. Xác suất để vận động viên Tùng đạt huy chương vàng là

A. 0,04

B. 0,035

C. 0,05

D. 0,045

Hướng dẫn giải

 A. 0,04. 

Mỗi vận động viên được bắn hai lần và hai lần bắn là độc lập. Xác suất để cả hai lần bắn đều trúng vòng 10 là 0.2×0.2=0.04.

Bài tập 19 trang 107 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Hai bạn Sơn và Tùng, mỗi người gieo một con xúc xắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc của Sơn và Tùng lớn hơn 1 là

A. $\frac{27}{36}$

B. $\frac{25}{36}$

C. $\frac{26}{35}$

D. $\frac{28}{37}$

Hướng dẫn giải

Đáp an D

Số khả năng để số chấm trên cả hai con xúc xắc lớn hơn 1 là 5×5=25.

Tổng số khả năng trên hai con xúc xắc là 6×6=36.

Vậy, xác suất để số chấm trên cả hai con xúc xắc lớn hơn 1 là $\frac{25}{36}$

Bài tập 20 trang 107 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi độc lập với nhau. Xác suất để An và Bình giành giải thưởng tương ứng là 0,8 và 0,6. Xác suất đề có ít nhất một bạn giành giải thưởng là

A. 0,94

B. 0,924

C. 0,92

D. 0,93

Hướng dẫn giải

C. 0,92

P(A) là xác suất An giành giải thưởng là 0.8

P(B) là xác suất Bình giành giải thưởng là 0.6

P(A và B) là xác suất cả hai bạn An và Bình cùng giành giải thưởng.

P(A và B) = P(A) x P(B) = 0.8 x 0.6 = 0.48

Áp dụng vào công thức ta có:

P(A hoặc B) = 0.8 + 0.6 - 0.48 = 0.92

Vậy đáp án là C. 0,92.

B - TỰ LUẬN

Bài tập 21 trang 107 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{1-2sin^{2}x}{1+sin^{2}2x} - \frac{1-tan x}{1+tan x}$

b) $B=\frac{sin 4x}{1+cos 4x}.\frac{cos2x}{1+cos2x}- cot(frac{3 \pi}{2} - x)$

c) $C = 2(cos^{4} x - sin ^{4} x) sin2x$

Hướng dẫn giải

a) $A=\frac{1-2sin^{2}x}{1+sin^{2}2x} - \frac{1-tan x}{1+tan x}$

$= \frac{1-2sin^{2}x}{cos^{2}2x+sin^{2}2x.sin^{2}x} - \frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}$

$=\frac{(cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x)(1-2sin^2 x)}{(cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x)}-\frac{(cosx-sinx)^2}{(cosx+sinx)(cosx-sinx)}$

$=\frac{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x - 2sin^2 x - cos^2 x - sin^2 x + 2cosx sinx}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$

$= \frac{cos^2 2x - cos^2 x + 2sin^2 x - sin^2 x + 2cosx sinx}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$ 

$= \frac{cos^2 x (2cos^2 x - cos^2 2x + 2sin^2 x) + sin^2 x (2cosx sinx)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} $

$= \frac{cos^2 x (2 - 2sin^2 x) + sin^2 x (sin2x)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} $

$= \frac{2cos^2 x - 2cos^2 x sin^2 x + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} = \frac{2cos^2 x (1-sin^2 x) + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} $

$= \frac{2cos^2 x cos^2 x + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} $

$= \frac{cos^2 x(2cos^2 x + sin^2 2x)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} $

$= \frac{cos^2 x}{1+sin^2 2x}$

b) 

$B = \frac{sin 4x}{1+cos 4x}.\frac{cos2x}{1+cos2x}- cot(\frac{3 \pi}{2} - x)$

$= \frac{2sin2x cos2x}{2cos^2 2x}.\frac{cos2x}{1+cos2x} + tanx $

$= \frac{sin 2x}{cos^2 2x}. \frac{cos2x}{1+cos2x} + tanx $

$= \frac{2sinx cosx}{(1+cos2x)(1-cos2x)}.\frac{1+cos2x}{2} + tanx $

$= \frac{sinx}{cos^2 x} + tanx$

$= \frac{sin^2 x}{sin x cos^2 x} + \frac{sinx}{cosx}$

$= \frac{1}{cos^2 x} + \frac{sinx}{cosx} $

$= sec^2 x + tanx$

c)

$C= 2( cos^{4}x - sin^{4}x)sin2x$

$= 2cos^{4}xsin2x - 2sin^{4}x.sin2x$

$= 2cos^{4}xsin2x - 2sin^{2}x(1-cos^{2}x)sin2x$

$=2cos^{2}x(cos^{2}x-sin^{2}x)sin2x$

$=2cos^{2}x.cos2x.sin2x$

$=4cos^{2}x.cos2xsinx$

Bài tập 22 trang 107 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Mùa xuân ở hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún cây đu sẽ đưa người chơi dao động qua lại quanh vị trí cân bằng. Giả sử khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được tính theo thời gian t ($t \geq 0 $và được tính bằng giây) bởi hệ thức h = |d| với $d=3cos[\frac{\pi}{3} (2t-1)]$ trong đó ta quy ước rằng d > 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại.

a) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.
b) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 m (tính chính xác đến 0,01 giây).

Hướng dẫn giải

a) Ta có 

$cos[\frac{ \pi}{3}(2t-1)] = \pm 1 \Leftrightarrow sin[\frac{ \pi}{3} (2t -1)]=0$

$\Leftrightarrow  \frac{\pi}{3}(2t-1) =k \pi \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}(3k+1)$

Ta cần tìm k nguyên để $0 ≤ t ≤ 2$

$0 \leq t\leq 2 \Leftrightarrow 0 \frac{1}{2} (3k+1)\leq 2$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{3}\leq k\leq 1\Leftrightarrow k \in \left \{ 0;1 \right \}$

Với $k =0$ thì $t =\frac{1}{2}$. Với $k=1$ thì $t=2$.Vậy trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm $\frac{1}{2}$ giây và 2 giây.

b) 

$3cos [\frac{\pi}{3}(2t-1)]=\pm 2$

$\Leftrightarrow cos^{2}[\frac{\pi}{3}(2t-1)]=\frac{4}{9}$

$\Leftrightarrow 1+cos [\frac{2 \pi}{3}(2t-1)]=\frac{9}{8}$

$\Leftrightarrow  cos [\frac{2 \pi}{3}(2t-1)]=-\frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}(2t-1)=\pm \alpha +k2 \pi$

$\Leftrightarrow t =\pm \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$

Ta tìm k nguyên để 0 ≤ t ≤ 2

Với $t = \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{3}  -\frac{\alpha}{2 \pi} \leq k \leq  1-\frac{\alpha}{2 \pi}$

Với $cos \alpha = -\frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow k =0 và t \approx 0,90$

Với $-t = \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$ tương tự 

Trong khoảng 2 giây đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét, đó là $t \approx 0,10$ giây $\approx 0,90$ giây và $t \approx 0,60$ giây.

Bài tập 23 trang 107 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho cấp số nhân ($U_{n}$) biết rằng ba số $U_{1}$,$U_{4}$,và $U_{7}$,lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai d ≠ 0 . Hãy tìm công bội q của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải

$U_1 \cdot q^3 - U_1 = U_1 \cdot q^6 - U_1 \cdot q^3$

$U_1 \cdot (q^6 - q^3) = U_1 \cdot (q^3 - 1)$

Với $U_1 \neq 0$, ta có:

$q^6 - q^3 = q^3 - 1$

$q^6 - 2q^3 + 1 = 0$

Đây là một phương trình bậc 2 với biến $q^3$. Đặt $x = q^3$, ta có:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

Từ đó, ta suy ra $q^3 = 1$. Vì $q > 0$ (vì công bội không thể âm), nên ta có $q = 1$.

Vậy, công bội $q$ của cấp số nhân đó là 1.

Bài tập 24 trang 107 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một công ty đề xuất ki hợp đồng với một người lao động theo một trong hai loại hợp đồng sau:

Hợp đồng A: Lương 200 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm 10 triệu đồng.

Hợp đồng B: Lương 180 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm 5%.

Kí hiệu $u_{n}, V_{n}$, tương ứng là lương nhận được (triệu đồng) của năm thứ n ứng với các hợp đồng A và B.
a) Tinh $u_{2}, u_{3}$ và $u_{n}$, theo n. Nếu người lao động đỏ làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng A thi tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?

b) Tinh $V_{2},V_{3}$ và $V_{n}$ theo n. Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng B thì tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?

c) Sau bao nhiêu năm thì lương hằng năm theo hợp đồng B vượt lương hằng năm theo hợp đồng A?

Hướng dẫn giải

a) 

Đặt n = 2, ta có: $u_2 = 200 + 10(2-1) = 210$ triệu đồng

Đặt n = 3, ta có: $u_3 = 200 + 10(3-1) = 220$ triệu đồng

Đặt n = 5, ta có: $u_5 = 200 + 10(5-1) = 240$ triệu đồng

Tổng số tiền lương người lao động nhận được trong thời gian 5 năm theo hợp đồng A là: $u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 = 200 + 210 + 220 + 230 + 240 = 1,100$ triệu đồng

b)

Đặt n = 2, ta có: $V_2 = 180 \times (1 + 0.05)^{2-1} = 180 \times 1.05 = 189$ triệu đồng

Đặt n = 3, ta có: $V_3 = 180 \times (1 + 0.05)^{3-1} = 180 \times 1.1025 = 198.45$ triệu đồng

Đặt n = 5, ta có: $V_5 = 180 \times (1 + 0.05)^{5-1} = 180 \times 1.2155 = 218.79$ triệu đồng

Tổng số tiền lương người lao động nhận được trong thời gian 5 năm theo hợp đồng B là: $V_1 + V_2 + V_3 + V_4 + V_5 = 180 + 189 + 198.45 + 208.3725 + 218.79 = 994.6125$ triệu đồng

c) Để tìm số năm sau khi lương hằng năm theo hợp đồng B vượt lương hằng năm theo hợp đồng A, ta cần giải phương trình:

$V_n > u_n$

$180 \times (1 + 0.05)^{n-1} > 200 + 10(n-1)$

Bài tập 25 trang 108 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n+3}$

b) $\lim_{n\rightarrow + \infty} (1+ \frac{2}{3}+ \frac{4}{9}+...+\frac{2^{n}}{3^{n}})$

c) $\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-4 }$

d) $\lim_{x\rightarrow + \infty} ( \sqrt {4x^{2}+x+1}+2x)$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n+3} = \frac{n}{n^{2}+2n+3}$

Khi $n \to \infty$, ta có:

$\lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{n}{n^{2}+2n+3} = \lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{1}{n+2+\frac{3}{n}} = \frac{1}{\infty} = 0$

Vậy, $\lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n+3} = 0$.

b) Ta có:

$1+ \frac{2}{3}+ \frac{4}{9}+...+\frac{2^{n}}{3^{n}} = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{k}}{3^{k}}$

Khi $n \to \infty$, ta có:

$\lim_{n\rightarrow + \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{k}}{3^{k}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k}} = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{k} = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$

Vậy, $\lim_{n\rightarrow + \infty} (1+ \frac{2}{3}+ \frac{4}{9}+...+\frac{2^{n}}{3^{n}}) = 3$.

c) $\frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-4} = \frac{x^{2}(2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2}(1 - \frac{4}{x^{2}})}$

Khi $x \to \infty$, ta có:

$\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-4} = \lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}} = \frac{2 + 0 - 0}{1 - 0} = 2$

Vậy, $\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-4} = 2$.

d) $\sqrt {4x^{2}+x+1}+2x = \sqrt {x^{2}(4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})}+2x $

$= \sqrt {x^{2}\left(4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)}+2x$

Khi $x \to \infty$, ta có:

$\lim_{x\rightarrow + \infty} \sqrt {x^{2}\left(4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)}+2x$

$= \lim_{x\rightarrow + \infty} x \sqrt {4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}+2x$

$= \infty \times (4 + 0 + 0) + \infty = \infty$

Vậy, $\lim_{x\rightarrow + \infty} ( \sqrt {4x^{2}+x+1}+2x) = \infty$.

Bài tập 26 trang 108 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+4x+3}{x+1} &  & (x\neq -1)\\ m^{2} &  & (x= -1)\end{matrix}\right.$ liên tục tại điểm x =- 1

b)$ g(x)=\left\{\begin{matrix}2x+m &  & (x\leq  1)\\ \frac{x^{3}-x^{2}+2x-}{x-1} &  & (x>  -1)\end{matrix}\right.$ liên tục trên R

Hướng dẫn giải

a) Để hàm $f(x)$ liên tục tại $x=-1$ ggias trị của hàm số tại $x =-1$ phải bằng giới hạn của hàm số khi x tiến đến -1

$f(-1) = m^{2}$$

$\lim_{x\rightarrow -1}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+4x+3}{x+1}$

$=\lim_{x\rightarrow -1}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=2$

Do đó nếu hàm số $f(x)$ liên tục tại x = -1 ta phải có m^{2} = 2, tức là $m = \pm \sqrt{2}$

b)

Khi $x \leq 1$: $g(x) = 2x + m$

Khi $x > -1$: $g(x) = \frac{x^{3}-x^{2}+2x}{x-1}$

Giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên trái: $\lim_{x\rightarrow 1^{-}} g(x) = \lim_{x\rightarrow 1^{-}} (2x + m) = 2(1) + m = 2 + m$

Giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên phải: $\lim_{x\rightarrow 1^{+}} g(x) = \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \frac{x^{3}-x^{2}+2x}{x-1}$

$= \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \frac{x(x^{2}-x+2)}{x-1} $

$= \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \frac{x(x-1)(x-2)}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{+}} x(x-2) = 1(1-2) = -1$

Để hàm $g(x)$ liên tục trên R, giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên trái phải bằng giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên phải: $2 + m = -1$

Suy ra $m = -3$.

Vậy, giá trị của tham số $m$ là -3 để hàm $g(x)$ liên tục trên R. 

Bài tập 27 trang 108 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 

a) $3^{\frac{1}{x}}=4$

b) $2^{x^{2}-3x}=4$

c) $log{4}(x+1)+log_{4}(x-3) = 3$

d) $(\frac{1}{5})^{x^{2}-2x} \geq \frac{1}{125}$

e) $(2-\sqrt{3})^{x}\leq (2+\sqrt{3})^{x+2}$

f) $log(3x^{2}+1)>log (4x)$

Hướng dẫn giải

a) $\ln(3^{\frac{1}{x}}) = \ln(4)$ $\frac{1}{x} \ln(3) $

$= \ln(4)$ $\frac{\ln(3)}{x} = \ln(4)$ $x = \frac{\ln(3)}{\ln(4)}$

b)$\ln(2^{x^{2}-3x}) = \ln(4)$ $(x^{2}-3x) \ln(2)$

$= \ln(4)$ $x^{2}-3x = \frac{\ln(4)}{\ln(2)}$ $x^{2}-3x - \frac{\ln(4)}{\ln(2)} = 0$

c) $\log_{4}((x+1)(x-3)) = 3$ $(x+1)(x-3)$

$= 4^{3}$ $(x+1)(x-3) = 64$ 

d)  $\ln((\frac{1}{5})^{x^{2}-2x}) \geq \ln(\frac{1}{125})$

$(x^{2}-2x) \ln(\frac{1}{5}) \geq \ln(\frac{1}{125})$

$x^{2}-2x \leq \frac{\ln(\frac{1}{125})}{\ln(\frac{1}{5})}$ 

e) $\ln((2-\sqrt{3})^{x}) \leq \ln((2+\sqrt{3})^{x+2})$

$x \ln(2-\sqrt{3}) \leq (x+2) \ln(2+\sqrt{3})$

$x \leq \frac{(x+2) \ln(2+\sqrt{3})}{\ln(2-\sqrt{3})}$

f)  $\log_{10}(3x^{2}+1) > \log_{10}(4x)$

Sau đó, ta loại bỏ dấu logarith để được: $3x^{2}+1 > 4x$

Bài tập 28 trang 108 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Để xác định tính acid và tính bazơ của các dung dịch, người ta sử dụng khái niệm độ pH. Độ pH của một dung dịch được cho bởi công thức $pH= –log[H^{+} ]$, trong đó [H^{+}] là nồng độ của ion hydrogen (tính bằng mol/lit).

a) Tính độ pH của một dung dịch có nồng độ ion hydrogen là 0,1 mollit.
b) Độ pH sẽ biến đổi như thế nào nếu nồng độ ion hydrogen giảm?
c) Xác định nồng độ ion hydrogen trong bia biết độ pH của bia là khoảng 4,5.

Hướng dẫn giải

a) Để tính độ pH của một dung dịch có nồng độ ion hydrogen là 0,1 mol/lit, ta sử dụng công thức $pH = -\log[H^{+}]$: $pH = -\log(0,1) = -\log(10^{-1}) = -(-1) = 1$

Vậy độ pH của dung dịch là 1.

b) Khi nồng độ ion hydrogen giảm, độ pH sẽ tăng. Điều này đúng vì độ pH được tính bằng giá trị âm của logarit cơ số 10 của nồng độ ion hydrogen. Khi nồng độ giảm, giá trị logarit càng tăng, và do đó độ pH càng tăng.

c) Để xác định nồng độ ion hydrogen trong bia biết độ pH của bia là khoảng 4,5, ta sử dụng công thức $pH = -\log[H^{+}]$. Chuyển đổi công thức này, ta có: $\log[H^{+}] = -pH$ $[H^{+}] = 10^{-pH}$

Với độ pH khoảng 4,5, ta có: $[H^{+}] = 10^{-4,5}$

Sử dụng máy tính hoặc bảng logarit, ta tính được: $[H^{+}] \approx 3,16 \times 10^{-5}$ mol/lit

Vậy nồng độ ion hydrogen trong bia khoảng 3,16 x $10^{-5}$ mol/lit.

Bài tập 29 trang 108 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=3x^{2}-2 \sqrt{x}$

b) $y=\sqrt{1+2x-x^{2}}$

c) $y=tan \frac{x}{2}- cot \frac{x}{2}$

d) $y=e^{ex}+lnx{2}$

Hướng dẫn giải

a) $y=3x^{2}-2 \sqrt{x}$

$y' = (3x^2)' - (2\sqrt{x})'$

$y' = 6x - \frac{1}{\sqrt{x}}$

b) $y=\sqrt{1+2x-x^{2}}$

$y' = \left(\sqrt{1+2x-x^2}\right)'$

$y' = \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{u}}(u)'$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+2x-x^2}}(1+2x-x^2)'$

$(1+2x-x^2)' = 2 - 2x$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+2x-x^2}}(2 - 2x)$

$y' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$

c) $y=tan \frac{x}{2}- cot \frac{x}{2}$

$y' = \left(\tan\frac{x}{2} - \cot\frac{x}{2}\right)'$$y' = \left(\tan\frac{x}{2} - \cot\frac{x}{2}\right)'$

$y' = \left(\tan\frac{x}{2}\right)' - \left(\cot\frac{x}{2}\right)'$

$y' = \frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2} - \frac{-1}{\sin^2\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}$

$y' = \frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}} + \frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}$

d) $y = e^{ex} + \ln(x^2)$

$y' = (e^{ex} + \ln(x^2))'$

$y' = (e^{ex})' + (\ln(x^2))'$

$(e^{ex})' = e^{ex}\cdot(ex)'$

$(e^{ex})' = e^{ex}\cdot(e)'x + e^{ex}\cdot x'$

$(e^{ex})' = e^{ex}\cdot(e)\cdot x + e^{ex}\cdot 1$

$(e^{ex})' = e^{ex}\cdot(ex + 1)$

$(\ln(x^2))' = \frac{1}{x^2}\cdot(x^2)'$

$(\ln(x^2))' = \frac{1}{x^2}\cdot(2x)$

$(\ln(x^2))' = \frac{2x}{x^2}$

$y' = e^{ex}\cdot(ex + 1) + \frac{2x}{x^2}$

$y' = e^{ex}\cdot(ex + 1) + \frac{2}{x}$

Bài tập 30 trang 108 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một chất điểm chuyển động có phương trình $s(t)=t^{3} – 3t^{2} – 9t + 2$, ở đó thời gian t>0 tính bằng giây và quãng đường s tinh bằng mét.

a) Tinh vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.
b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 giây.
c) Tinh gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 0.
d) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng 0.

Hướng dẫn giải

a) Vận tốc $v(t)$ là đạo hàm của $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$

$v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 - 9t + 2)$

$v(t) = 3t^2 - 6t - 9$

Để tính vận tốc tại $t = 2$, ta thay $t = 2$ vào công thức vận tốc:

$v(2) = 3(2)^2 - 6(2) - 9$

$v(2) = 12 - 12 - 9$

$v(2) = -9$ (m/s)

Vậy, vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2$ giây là $-9$ m/s.

b) Gia tốc $a(t)$ là đạo hàm của vận tốc $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = \frac{dv}{dt}$

$a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t - 9)$

$a(t) = 6t - 6$

Để tính gia tốc tại $t = 3$, ta thay $t = 3$ vào công thức gia tốc:

$a(3) = 6(3) - 6$

$a(3) = 18 - 6$

$a(3) = 12$ (m/s²)

Vậy, gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 3$ giây là $12$ m/s².

c) Trong đó, $a = 3$, $b = -6$, và $c = -9$. Thay vào công thức, ta có:

$t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(-9)}}{2(3)}$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{6}$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{6}$

$t = \frac{6 \pm 12}{6}$

Với $t = \frac{6 + 12}{6} = \frac{18}{6} = 3$, hoặc $t = \frac{6 - 12}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Để vận tốc bằng 0, chất điểm phải đạt đến thời điểm $t = 3$ giây.

$a(t) = \frac{d}{dt}(6t - 6)$

$a(t) = 6$

Vậy, gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 0 ($t = 3$ giây) là $6$ m/s².

d) Để gia tốc bằng 0, chất điểm phải đạt đến thời điểm $t = 1$ giây.

Tiếp theo, chúng ta tính vận tốc tại thời điểm $t = 1$ bằng cách tính đạo hàm của $s(t)$:

$v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 - 9t + 2)$

$v(t) = 3t^2 - 6t - 9$

$v(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 9$

$v(1) = 3 - 6 - 9$

$v(1) = -12$ (m/s)

Vậy, vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng 0 ($t = 1$ giây) là $-12$ m/s.

Bài tập 31 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho tứ diện OABC có $OA = OB = OC = a, \widehat{AOB} = \widehat{ AOC} = 60° $ và $\widehat{BOC} = 90°.$

a) Chứng minh rằng $(OBC) \perp  (ABC)$.
b) Tính theo a khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) và thể tích khối tứ diện OABC.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, ta có $OM \perp BC$ vì $OM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

Vì $\widehat{BOC} = 90°$, nên $OM$ là đường cao của tam giác $BOC$. Từ đó, ta có $(OBC) \perp BC$.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng $AM \perp BC$. Vì $\widehat{AOB} = \widehat{AOC} = 60°$, ta có $\widehat{BOC} = 180° - 60° - 60° = 60°$.

Vậy, tam giác $BOC$ là tam giác cân tại đỉnh $O$. Do đó, đường cao $OH$ trong tam giác $BOC$ cắt $BC$ tại trung điểm $M$ và đồng thời là đường trung trực của $BC$.

Vì vậy, $AM \perp BC$, từ đó suy ra $(ABC) \perp BC$.

Do đó, ta có $(OBC) \perp (ABC)$.

b) 

Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó, ta có OH⊥BC và OH=$\frac{a}{2}$​.

Gọi M là trung điểm của OA. Khi đó, ta có $OM \perp (ABC)$ và $OM = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là $\frac{a \sqrt{3}}{6}$

Thể tích khối tứ diện OABC là $\frac{1}{3} S_{ABC} OH = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} . \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{24} a^{2}$

Bài tập 32 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết $SA \perp  (ABCD)$ và $SA=a \sqrt{2}$. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SDlần lượt tại M, E, F.

a) Chứng minh rằng $AE \perp (SBC)$.

b) nh theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.

Hướng dẫn giải

Ta có $SA = a \sqrt{2}$ và ABCD là hình vuông cạnh a. Khi đó SC là đường cao của tam giác SAB nên $SC^{2} = SB^{2}+ AB ^{2} = (a \sqrt{2})^{2} + a^{2} = 3a{2}$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng SC, ta có $ AH = \frac{SA.SC}{\sqrt{SA^{2}+SC^{2}}}= \frac{a\sqrt{6}}{3}$ . Khi đó ta có $\Delta SAE \sim \Delta SCH$ nên $\frac{AE}{CH} = \frac{SA}{SC}=\frac{\sqrt{2}}{3}$ và $\Delta SBC \sim \Delta SCH$ nên $\frac{BC}{CH} = \frac{SB}{SC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

a) Do $\frac{AE}{BC} = \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.nên $SA \perp BC$

b) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là

$\frac{1}{3} . S_{ABCD}.SA= \frac{1}{3}a^{2}.a\sqrt{2}=a^{3} \sqrt{\frac{2}{3}}$

Thể tích khối chóp $S.AEMF$ là

$\frac{1}{3} . S_{AEMF}.SA= \frac{\sqrt{6}}{4}a^{2}.a\sqrt{\frac{6}{9}}=a^{3} \sqrt{\frac{\sqrt{6}}{12}}$

Bài tập 33 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có $AB = a. AA' = a \sqrt{2}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BB và CC'. Mặt phẳng (A'MN) cắt đường thẳng AB, AC tương ứng tại H và K.

a) Chứng minh rằng MN // HK.

b) Tính theo a thể tích khối chóp A'.AHK.

Hướng dẫn giải

a) Để chứng minh rằng MN // HK, ta có thể sử dụng định lí Thales.

Ta có $\frac{AH}{HB} = \frac{AA'}{BB'} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ và $\frac{AK}{KC} = \frac{AA'}{CC'}=\frac{\sqrt{2}}{1}$

$\Rightarrow \frac{AH}{HB}=\frac{AK}{KC} $ và MN // HK$

b) Để tính thể tích khối chóp A’.AHK, ta có thể sử dụng công thức

$V_{A'.AHK} =\frac{1}{3} S_{A'HK}.AH $

Diện tích tam giác $AHK$ có thể tính bằng công thức:

$S_{AHK} = \frac{1}{2} \times AH \times HK$.

Ta cần tính độ dài cạnh $AH$. Vì $AA' = a \sqrt{2}$ và $A'M \parallel A'H$, ta có:

$\frac{AH}{AA'} = \frac{HM}{A'M}$.

Vì $HM$ là đường trung bình của tam giác $BB'$, nên $HM = \frac{BB'}{2} = \frac{a}{2}$. Vì $A'M$ là đường trung bình của tam giác $BB'$, nên $A'M = \frac{BB'}{2} = \frac{a}{2}$.

Thay các giá trị vào, ta có:

$\frac{AH}{a \sqrt{2}} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}} = 1$.

Suy ra, $AH = a \sqrt{2}$.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$S_{AHK} = \frac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{4}$.

Chiều cao của chóp $A'.AHK$ là độ dài đường thẳng $A'A$, nên $h_{A'.AHK} = AA' = a \sqrt{2}$.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$V_{A'.AHK} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{2}}{4} \times a \sqrt{2} = \frac{a^3}{6}$.

Bài tập 34 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat{BAD}= 60^{\circ}$. Biết $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.

a) Chứng minh rằng $BD \perp SC$.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\widehat{SAB} = \widehat{SAD} = 45^{\circ}$

$\Rightarrow SAB $ cân tại S do đó  $SB = SA =a$

Ta lại có $SC = SD =a$ 

$\widehat{SCD} = \widehat{SAD} = 45^{\circ}$ nên am giác SCD cân tại 

Do đó, SC là trung tuyến của tam giác BCD, suy ra $BD⊥SC$.

b) b) Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$, ta sẽ tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $SC$. Ta cần tính độ dài $BM$.

Vì $BD \perp (ACD)$, nên ta có $BM \perp (ACD)$.

Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ và $AC$. Khi đó, ta có $BN \perp AC$.

Bài tập 35 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AD = a, AB = a \sqrt{2}$. Biết $SAL \perp (ABCD)$ và $SA= a \sqrt{3}$. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.

a) Chứng minh rằng $BD \perp (SAM)$.

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMD.

Hướng dẫn giải

a) Để chứng minh $BD \perp (SAM)$, ta cần chứng minh rằng đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(SAM)$ là vuông góc với nhau.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật, ta có $AD \parallel BC$ và $AB \parallel CD$. Do đó, $AB \parallel (SAM)$.

Gọi $O$ là giao điểm của các đường thẳng $BD$ và $AC$.

Ta cần chứng minh rằng $AO \perp BD$.

Vì $SA \perp (ABCD)$, ta có $SA \perp AC$. Vì $AB \parallel (SAM)$, ta cũng có $AB \perp AC$. Do đó, $A$ là giao điểm của $SA$ và $AB$, nên $AO \perp BD$.

Vậy, ta đã chứng minh được $BD \perp (SAM)$.

b) Để tính thể tích khối chóp $S.ABMD$, ta sử dụng công thức thể tích khối chóp:

$V_{S.ABMD} = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}$.

Đáy của chóp $S.ABMD$ là hình chữ nhật $ABCD$.

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $S_{ABCD} = AB \times AD = a \sqrt{2} \times a = a^2 \sqrt{2}$.

Chiều cao của chóp $S.ABMD$ là độ dài đường thẳng $SM$.

Vì $M$ là trung điểm của $CD$, ta có $CM = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} a$.

Do đó, ta có $SM = SA - AM = a \sqrt{3} - CM = a \sqrt{3} - \frac{1}{2} a = \frac{2 \sqrt{3} - 1}{2} a$.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$V_{S.ABMD} = \frac{1}{3} \times a^2 \sqrt{2} \times \frac{2 \sqrt{3} - 1}{2} a = \frac{a^3}{3} (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Vậy, thể tích khối chóp $S.ABMD$ là $\frac{a^3}{3} (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ta biết rằng $ABCD$ là hình thoi và $\widehat{ABD} = 30^{\circ}$.

Do đó, tam giác $ABN$ là tam giác vuông tại $N$.

Vì $AB = BC = \frac{a}{\sqrt{2}}$ (vì $ABCD$ là hình thoi và $AB = BC$), nên $AN = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$.

Vậy, ta đã tìm được độ dài $BN = AN \sin(\widehat{ABN}) = \frac{a}{\sqrt{6}} \sin(30^{\circ}) = \frac{a}{2\sqrt{6}}$.

Bài tập 36 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong đại dịch Covid-19, một doanh nghiệp muốn hỗ trợ các gia đình thuộc nhóm 25% hộ gia đình có thu nhập thấp nhất ở một địa phương. Một mẫu số liệu ghép nhóm về thu nhập của các hộ gia đình ở địa phương này được cho trong bảng sau:

Dựa trên mẫu số liệu trên, hãy xác định hộ gia đình có thu nhập dưới bao nhiêu sẽ nhận được hỗ trợ của doanh nghiệp đó?

Hướng dẫn giải

Dựa trên mẫu số liệu trên, chúng ta có thể tính tổng số hộ gia đình trong địa phương này là 8+17+35+56+27+15=158.

Tổng số hộ gia đình thuộc nhóm thu nhập thấp nhất là 8+17=25.

Do đó, tỷ lệ hộ gia đình thuộc nhóm thu nhập thấp nhất là $\frac{25}{158}=0.1582$ hoặc gần 15.82%. Công ty muốn hỗ trợ các gia đình thuộc nhóm này. Do đó, ngưỡng thu nhập của hộ gia đình sẽ được hỗ trợ từ doanh nghiệp đó là dưới hoặc bằng 5 triệu VND.

Bài tập 37 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Hai bạn Dũng và Cường tham gia một kì thi học sinh giỏi môn Toán. Xác suất để Dũng và Cường đạt giải tương ứng là 0,85 và 0,9. Tính xác suất để:

a) Có ít nhất một trong hai bạn đạt giải,

b) Có đúng một bạn đạt giải.

Hướng dẫn giải

a) xác suất để Cường không đạt giải.

Vì P(D') = 1 - P(D) và P(C') = 1 - P(C), ta có: P(A) = 1 - (1 - P(D)) * (1 - P(C))

Thay vào giá trị P(D) = 0,85 và P(C) = 0,9

ta tính được: P(A) = 1 - (1 - 0,85) * (1 - 0,9) = 1 - 0,15 * 0,1 = 1 - 0,015 = 0,985

b) Để tính xác suất có đúng một bạn đạt giải (B), ta sử dụng định lý xác suất có điều kiện: P(B) = P(D) * P(C') + P(D') * P(C)

Thay vào giá trị P(D) = 0,85 và P(C) = 0,9

ta tính được: P(B) = 0,85 * (1 - 0,9) + (1 - 0,85) * 0,9 = 0,85 * 0,1 + 0,15 * 0,9 = 0,085 + 0,135 = 0,22

Bài tập 38 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một máy bay có 4 động cơ trong đó 2 động cơ ở cánh phải và 2 động cơ ở cánh trái. Chuyến bay hạ cánh an toàn khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ không bị lỗi. Giả sử mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị lỗi là 0,01 và mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị lỗi là 0,015. Các động cơ hoạt động độc lập với nhau. Tính xác suất để chuyến bay hạ cánh an toàn.

Hướng dẫn giải

Gọi P(R1) là xác suất để động cơ bên cánh phải thứ nhất không bị lỗi, P(R2) là xác suất để động cơ bên cánh phải thứ hai không bị lỗi, P(L1) là xác suất để động cơ bên cánh trái thứ nhất không bị lỗi, và P(L2) là xác suất để động cơ bên cánh trái thứ hai không bị lỗi.

Theo đề bài, P(R1) = 0,01, P(R2) = 0,01, P(L1) = 0,015, và P(L2) = 0,015.

P(Safe) = 1 - P(Both wings fail) = 1 - P(R1 fails) x P(R2 fails) x P(L1 fails) x P(L2 fails)

Vì các động cơ hoạt động độc lập với nhau, ta có: P(R1 fails) = 1 - P(R1) = 1 - 0,01 = 0,99 P(R2 fails) = 1 - P(R2) = 1 - 0,01 = 0,99 P(L1 fails) = 1 - P(L1) = 1 - 0,015 = 0,985 P(L2 fails) = 1 - P(L2) = 1 - 0,015 = 0,985

Thay vào giá trị, ta tính được: P(Safe) = 1 - 0,99 x 0,99 x 0,985  x 0,985 = 1 - 0,96059625 ≈ 0,0394

Vậy, xác suất để chuyến bay hạ cánh an toàn là khoảng 0,0394 (hoặc 3,94%).