Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 22 Hai đường thẳng vuông góc

1. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Hoạt động 1 trang 28 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau m và n. Từ hai điểm phân biệt O,O' tuỳ ý lần lượt kẻ các cặp đường thẳng a, b và a',b' tương ứng song song với m, n (H.7.2).

a) Mỗi cặp đường thẳng a, a và b, b' có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

b) Lấy các điểm A, B (khác O) tương ứng thuộc a, b. Đường thẳng qua A song song với OO' cắt a' tại A, đường thẳng qua B song song với OO' cắt b' tại B' Giải thích vì sao OAA'O', OBB'O', ABB'A' là các hình bình hành.

c) So sánh góc giữa hai đường thẳng a, b và góc giữa hai đường thẳng a', b'. (Gợi ý: Áp dụng định lí côsin cho các tam giác OAB, O'A'B').

Hướng dẫn giải

a) Mỗi cặp đường thẳng a, a' và b, b' cùng thuộc một mặt phẳng. Vì a // a', b // b' khi đó $(a,b)=(a,b') $

b) Ta có: $OA//O′A′, OB//O′B′, AB//A′B′$

do đó OAA'O'' ; OBB'O' và ABB'A' là hình bình hành.

c)  Áp dụng định lí côsin cho các tam giác OAB và O'A'B', ta có:

$cos(a,b)=\frac{OA}{OB}; cos(a′,b′)=\frac{O′A′}{O′B'}$

vì $O'A' = OA$ và $O'B' = OB$ do a', b' là các đường song song với a, b, ta có:

$cos(a,b)=cos(a′,b′)$

Vận dụng trang 29 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219 m (kích thước hiện nay). (Theo britannica.com).

Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp (H.7.4).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ASC

Với AC là độ dài đường chéo của đáy kim tự tháp, ta có:

$AC=AB\sqrt{2}\approx 325.27$ m

Theo pytago ta có:

$AS^{2}=AC^{2}−SC^{2}\approx 325.27^{2}−219^{2}≈124108,44$

$AS=\sqrt{124108.44}\approx 352.24$m

Góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB bằng cách sử dụng định lý sin trong tam giác vuông ASC:

$sin(\widehat{ASC})=\frac{SC}{AC}=\frac{219}{325.27}\approx 0.6736$

$⇒\widehat{ASC}\approx arcsin(0.6736) \approx 42,79^{\circ}$

Vậy góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp Cheops là khoảng $42.79^{\circ}.$

2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 2 trang 29 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Đối với hai cánh cửa trong Hình 7.5, tính góc giữa hai đường mép cửa BC và MN

Hướng dẫn giải

Vì BC vuông góc với MN nên góc giữa hai đường mép này bằng góc giữa đường BC và mặt phẳng (MNPQ).

$cos(\alpha )=\frac{\left | BC \right |}{\left | BM \right |}$

Luyện tập 1 trang 30 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho tam giác MNP vuông tại N và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng (MNP). Lần lượt lấy các điểm B, C, D sao cho M, N, P tương ứng là trung điểm của AB, AC, CD (H.7.7). Chứng minh rằng AD và BC vuông góc với nhau và chéo nhau.

Hướng dẫn giải

Ta biết rằng tam giác MNP là tam giác vuông tại N, do đó ta có:

$MN^{2}+NP^{2}=MP^{2}$

Theo giả thiết, M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và CD, nên ta có:

$MN=\frac{1}{2}AB$

$NP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}CD$

Thay các giá trị này vào công thức trên, ta có:

$(\frac{1}{2}AB)^{2}+(\frac{1}{2}AC)^{2}=(\frac{1}{2}CD)^{2}$

$⇒AB^{2}+AC^{2}=CD^{2}$

Như  tam giác ABC và tam giác CDA là hai tam giác vuông cân có đỉnh C và D lần lượt là các đỉnh vuông góc

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó, ta có:

NH là đường trung trực của đoạn thẳng AB

DH là đường trung trực của đoạn thẳng CD

Do đó, ta có thể kết luận rằng đường NH và đường DH cắt nhau tại một điểm O, và O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Vậy ta đã chứng minh rằng AD và BC chéo nhau.

 NH là đường trung trực của đoạn thẳng AB, nên NH vuông góc với AB. Tương tự, DH vuông góc với CD và BC vuông góc với NH. Do đó, ta có thể kết luận rằng AD và BC vuông góc với nhau.

BÀI TẬP

Bài tập 7.1 trang 30 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các y là các tam giác đều. Tính góc (AB, B'C'). 

Hướng dẫn giải

$\widehat{(C′A′,A′B)}=\widehat{(C′A′,CO)}+\widehat{(CO,A′C′)}+\widehat{(A′C′,A′B)}$

=$60^{\circ}+60^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$

Vậy góc (AB, B'C') bằng 180^{\circ}, tức là hai đường thẳng này đối nhau và vuông góc với nhau.

Bài tập 7.2 trang 30 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi O là trung điểm của AC, khi đó ta có:

AB' = AO + OB'

CD' = CO + OD'

Vì AB' và CD' có cùng độ dài và vuông góc với AC nên chúng cũng cùng vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu:

AB' · CD' = 0

Ta có:

AB' · CD' = (AO + OB') · (CO + OD')
= AO · CO + AO · OD' + OB' · CO + OB' · OD'
Vì AO = CO, OB' = OD' và AB' // CD', nên ta có: AO · OD' = CO · OB' = 0
=> AB' · CD' = 0

Vậy ta đã chứng minh được rằng tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Bài tập 7.3 trang 30 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho tứ diện ABCD có $\widehat{CBD}=90^{\circ}.$

a) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng MN vuông góc BC.

b) Gọi G, K tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD. Chứng minh rằng GK vuông góc với BC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có MN // CD do MN là đường trung bình của tam giác vuông ABD và CD là đường cao tương ứng. Vì $\widehat{CBD}=90$∘ nên CD vuông góc với BC. Do đó MN cũng vuông góc với BC.

b) Gọi E là trung điểm của BD. Khi đó GK là đường thẳng đi qua trung điểm E và song song với đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ACD. Ta cần chứng minh đường thẳng này vuông góc với BC.

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó G và K đều nằm trên đường thẳng EH (vì G là trọng tâm của tam giác ABC và E là trung điểm của BD nên GE song song với AC, tương tự cho K). Do đó, ta cần chứng minh EH vuông góc với BC.

Ta có EH // AB (vì EH // BD của tam giác ABD và cắt AB tại trung điểm M). Khi đó, $\widehat{HEB}=\widehat{ABC}=\widehat{CBD}=90^{\circ}$, suy ra EH vuông góc với BC. Vậy ta chứng minh được GK vuông góc với BC.

Bài tập 7.4 trang 30 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện: hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?

Hướng dẫn giải

Trong nhà gỗ truyền thống, các cấu kiện thường được lắp ráp với nhau bằng các mối ghép chéo, do đó các cặp cấu kiện vuông góc với nhau là:

• Hoành (1) và quá giang (2).
• Xà cái (3) và cột (5).
• Quá giang (2) và rui (4).