Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài: Bài tập cuối chương II

A - Trắc nghiệm

Bài tập 2.22: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới

B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên

C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm

D. Một dãy số không đổi thì bị chặn

Hướng dẫn trả lời: 

+) Mỗi dãy số tăng đều bị chặn dưới bởi số hạng đầu $u_{1}$ vì $u_{1}<u_{2}<u_{3}<...$, do đó đáp án A đúng.

+) Mỗi dãy số giảm đều bị chặn trên bởi số hạng đầu $u_{1}$ vì $u_{1}>u_{2}>u_{3}>...$, do đó đáp án B đúng.

+) Một dãy số bị chặn không nhất thiết phải là dãy số tăng hoặc giảm. Chẳng hạn ta xét dãy số ($u_{n}$) có số hạng tổng quát $u_{n}=(-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}$

Ta có nhận xét rằng dãy số này đan dấu nên nó không tăng, không giảm.

Mặt khác ta có: $|u_{n}|=|(-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}|=|sin\frac{1}{n}| ≤1$, suy ra dãy số ($u_{n}$) bị chặn.

Vậy đáp án C sai.

+) Đáp án D đúng do dãy số ($u_{n}$) không đổi thì mọi số hạng luôn bằng nhau và luôn tồn tại m, M để m ≤ $u_{n}$ ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.

Đáp án: C

Bài tập 2.23: Cho dãy số $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...$ (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó)

Công thức tổng quát của dãy số đã cho là:

A. $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n}$

B. $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{n-1}}$

C. $u_{n}=\frac{1}{2n}$

D. $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$

Hướng dẫn trả lời: 

Xét từng đáp án, ta thấy:

+) Đáp án A, dãy số có số hạng tổng quát là $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n}$ có số hạng đầu $u_{1}=(\frac{1}{2})^{1}=\frac{1}{2}$, không thỏa mãn.

+) Đáp án B, dãy số có số hạng tổng quát là $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{n-1}}$ có số hạng đầu $u_{n}=\frac{(-1)^{1}}{2^{1-1}}=-1$, không thỏa mãn.

+) Đáp án C, dãy số có số hạng tổng quát là $u_{n}=\frac{1}{2n}$ có số hạng đầu $u_{1}=\frac{1}{2.1}=\frac{1}{2}$, không thỏa mãn.

+) Đáp án D, dãy số có số hạng tổng quát là $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$ có số hạng đầu $u_{n}=(\frac{1}{2})^{1-1}=1$, thỏa mãn.

Đáp án: D

Bài tập 2.24: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=3n+6$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số $(u_{n)$ là cấp số cộng với công sai d = 3

B. Dãy số $(u_{n)$ là cấp số cộng với công sai d = 6

C. Dãy số $(u_{n)$ là cấp số nhân với công bội q = 3

D. Dãy số $(u_{n)$ là cấp số nhân với công bội q = 6

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{n}-u_{n-1}=(3n+6)-[3(n-1)+6]=3$  với mọi n ≥ 2.

Suy  ra dãy số $(u_{n})$ là cấp số cộng với công sai d = 3

Đáp án: A

Bài tập 2.25: Trong dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. $u_{1}=-1,u_{n+1}=u_{n}^{2}$

B. $u_{1}=-1,u_{n+1}=2u_{n}$

C. $u_{1}=-1,u_{n+1}=u_{n}+2$

D. $u_{1}-1,u_{n+1}=u_{n}-2$

Hướng dẫn trả lời: 

Nhận xét thấy dãy số cho bởi công thức truy hồi $u_{1}=-1,u_{n+1}=2u_{n}$ có $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=2$ với mọi n ≥ 1. Do đó, dãy số này là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = – 1$ và công bội q = 2.

Đáp án: B

Bài tập 2.26: Tổng 100 số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}=2n-1$ là

A. 199

B. $2^{100}-1$

C. 10000

D. 9999

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $ u_{1}=2\times 1-1=1$

$u_{n}-u_{n-1}=(2n-1)-[2(n-1)-1]=2$

Vậy $(u_{n})$ là cấp số công với $u_{1}=1$ và công sai d = 2

Suy ra $S_{100}=\frac{100}{2}[2\times 1+(100-1)2]=10000$

Đáp án: C

B - Tự luận

Bài tập 2.27: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?

Hướng dẫn trả lời: 

Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.

Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông

......

Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông.

Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:

1+ 2+ 3+ .... + 11+ 12

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}= 1$, công sai d = 1

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là:

$S_{12}=\frac{12\times (1+12)}{2}=78$

Bài tập 2.28: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bao ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Hướng dẫn trả lời: 

Vì ban đầu có một tế bào và mỗi lần một tế bào phân chia thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với $u_{1} = 1, q = 2.$

Vì cứ 20 phút lại phân đôi một lần nên sau 24 giờ sẽ có 24 . 60 : 20 = 72 lần phân chia tế bào và $u_{73}$ là số tế bào nhận đươc sau 24 giờ.

Vậy số tế bào nhận được sau 24 giờ phân chia là

$u_{73}=u_{1} . q^{73-1} = 1 . 2^{73-1} = 2^{72}$ (tế bào).

Bài tập 2.29: Chứng minh rằng: 

a) Trong một cấp số cộng $(u_{n})$, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là số trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là $u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ với $k\geq 2$

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề nó, nghĩa là $u_{k}^{2}=u_{k-1}\times u_{k-1}$ với $k\geq 2$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{n-1}=u_{1}+(n-2)d$

$u_{n}=u_{1}+(n-1)d$

$u_{n+1}=u_{1}+nd$

Do đó: $u_{n-1}+u_{n+1}=u_{1}+(n-2)d+u_{1}+nd=2u_{1}+(2n-2)d=2[u_{1}+(n-1)d]=2u_{n}$

Suy ra $u_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$

b) Ta có: $u_{n-1}=u_{1}\times q^{n-2}$

$u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$

$u_{n+1}=u_{1}\times q^{n}$

Do đó $u_{n-1}\times u_{n+1}=(u_{1}\times q^{n-2})\times (u_{1}\times q^{n})=u_{1}^{2}q^{2n-2}=(u_{1}q^{n-1})^{2}=u_{k}^{2}$

Bài tập 2.30: Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Hướng dẫn trả lời: 

Gọi ba số cần tìm lần lượt là x, y, z.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có x + z = 2y

Kết hợp với giả thiết x + y + z = 21, ta suy ra $3y = 21 \Leftrightarrow y=7$

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y - d = 7 - d và z = y + d = 7 + d

Sau khi thêm các số 2; 3; 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x + 2, y + 3, z + 9 hay 9 - d, 10, 16 + d

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: $(9-d)(16+d)=10^{2}\Leftrightarrow d^{2}+7d-44=0$

Giải phương trình ta được d = -11 hoặc d = 4

Suy ra ba số cần tìm là 18, 7, -4 hoặc 3, 7, 11

Bài tập 2.31: Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0.5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm.

a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân

Hướng dẫn trả lời: 

a. Mỗi bậc thang cao 16cm = 0,16m.

⇒ n bậc thang cao 0,16n (m)

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của bậc n so với mặt sân sẽ là:

h$_{n}$ = (0, 5 + 0,16n) (m)

b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 25 là:

$h_{25}$ = 0,5 + 0,16x25 = 4,5 (m)

Bài tập 2.32: Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời: 

+ Chia lần 1: Hình vuông màu vàng lớn có cạnh bằng 1 đơn vị thì có diện tích bằng 1 (đvdt). Chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh, thì hình vuông màu xanh đầu tiên này có diện tích bằng $\frac{1}{9}$ (đvdt).

+ Chia lần 2: 8 hình vuông màu vàng còn lại, mỗi hình vuông này lại được chia thành 9 hình vuông con và tiếp tục tô xanh hình vuông chính giữa, khi đó mỗi hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích $S_{1}=\frac{1}{9}.\frac{1}{9}=\frac{1}{9^{2}}$, 8 hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích bằng $8S_{1}$.

Cứ tiếp tục như vậy, mỗi lần chia ta sẽ tạo thành 8 hình vuông xanh nhỏ hơn tiếp đối với mỗi ô vuông vàng nhỏ.

Do đó, quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì trừ lần đầu tiên, 4 lần sau, mỗi lần chia diện tích ô vuông xanh tạo thành lập thành một cấp số nhân có $u_{1}=8.\frac{1}{9^{2}}$ và công bội $q=8.\frac{1}{9}$

Vậy tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là

$S=\frac{1}{9}+\frac{8.\frac{1}{9^{2}}(1-(\frac{8}{9})^{4})}{1-\frac{8}{9}}=\frac{26281}{59049}$ (đvdt)