Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 19 Lôgarit

 1. KHÁI NIỆM LÔGRIT

Hoạt động 1 trang 10 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết khái niệm lôgarit: Tìm x, biết

a) $2^{x}=8$

b) $2^{x}=\frac{1}{4}$

c) $2^{x}=\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

a) $2^{x}=8$

=> $x=log_{2}8=3$

b) $2^{x}=\frac{1}{4}$

=> $x=log_{2}\frac{1}{4}=-2$

c) $2^{x}=\sqrt{2}$

=>$ x=log_{2}\sqrt{2}=\frac{1}{2}$

Luyện tập 1 trang 11 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính

a) $log_{2}3\sqrt{3}$

b) $log_{\frac{1}{2}}32$

Hướng dẫn giải

a) $log_{2}3\sqrt{3}$

$= log_{2}3+log_{2}\sqrt{3}$

$= log_{2}3+log_{2}3^{\frac{1}{2}}$

$= log_{2}3+\frac{1}{2}log_{2}3=\frac{3}{2}log_{2}3$

b) $log_{\frac{1}{2}}32=\frac{log_{2}32}{log_{2}\frac{1}{2}}=-5$

2.TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT

a) Quy tắc tính lôgarit

Hoạt động 2 trang 11 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết quy tắc tính lôgarit: Cho

$M=2^{5}, N=2^{3}$

a) $log_{2}(MN) và log_{2}M + log_{2}N$

b) $log_{2}(\frac{M}{N}) và  log_{2}M - log_{2}N$

Hướng dẫn giải

a) $log_{2}(MN)=log_{2}(2^{5}.2^{3})=log_{2}(2^{8})=8$

$log_{2}M + log_{2}N=log_{2}(2^{5})+log_{2}(2^{3})=5+3=8$

b) $log_{2}(\frac{M}{N}) =log_{2}(\frac{2^{5}}{2^{3}}) =log_{2}(2^{2}) =2$

 $log_{2}M - log_{2}N=log_{2}(2^{5})-log_{2}(2^{3})=5-3=2$

Luyện tập 2 trang 11 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Rút gọn biểu thức: 

$A=log_{2}(x^{2}-x)-log_{2}(x+1)-log_{2}(x-1) (x>1)$

Hướng dẫn giải

$A=log_{2}(x^{2}-x)-(log_{2}(x+1)+log_{2}(x-1))$

$A=log_{2}\frac{x^{2}-x}{(x+1)(x-1)}=log_{2}\frac{x}{x+1}$

b, Đổi cơ số của lôgarit

Hoạt động 3 trang 11 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:

Xây dựng công thức đổi cơ số của lôgarit

Giả sử đã cho log_{a}M và ta muốn tính log_{b}M. Để tìm mối liên hệ giữa log_{a}M và log_{b}M , hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Đặt y = log_{a}M , tinh M theo y,

b) Lấy lôgarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính y.

 Hướng dẫn giải

a) Đặt $y = log_{a}M$, ta có $a^{y}=M$. Do đó, $M=a^{y}$.

b) Lấy logarit theo cơ số b hai vế của công thức trên, ta được:

$log_{b}M=log_{b}a^{y}$

Sử dụng tính chất $log_{b}a^{y}=y.log_{b}a,$ ta có:

$log_{b}M=y.log_{b}a$

Do đó, $log_{b}M=\frac{log_{a}M}{log_{a}b}$

Vậy, ta có công thức mới để tính $log_{b}M$: $log_{b}M=\frac{log_{a}M}{log_{a}b}.$

Luyện tập 3 trang 12 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính $log_{9}\frac{1}{27}$

 Hướng dẫn giải

Sử dụng tính chất $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

$\frac{1}{27}=9^{-2}$

 $log_{9}\frac{1}{27}= log_{9}9^{-2}=−2.$

3. LÔGARIT THẬP PHÂN VÀ LÔGARIT TỰ NHIÊN

c) Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay 

Vận dụng trang 14 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng lãi suất 6% một năm.

a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi ) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo một trong các thể thức sau:
- Lãi kép kì hạn 12 tháng 
- Lãi kép kì hạn 1 tháng
- Lãi kép liên tục.

b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

 Hướng dẫn giải

a) Sử dụng công thức: $S=P(1+r)$

Lãi kép kì hạn 12 tháng: Lãi suất được tính theo 2 kỳ hạn 6 tháng, do đó ta có $r=\frac{0.06}{2}=0.03. $

Số tiền cộng vốn và lãi sau năm là: 

$S=100,000,000(1+0.03)(1+0.03)=106,090,000$ đồng.

Lãi kép kì hạn 1 tháng: Lãi suất được tính theo 12 kỳ hạn 1 tháng, do đó ta có $r=0.06/12=0.005. $

Số tiền cộng vốn và lãi sau năm là: $S=100,000,000(1+0.005)12=106,168,099.55$ đồng.

Lãi kép liên tục: Ta có công thức tính số tiền cộng vốn và lãi sau năm theo thể thức lãi kép liên tục là: 

$S=Pe^{rt}$, trong đó e là số Euler (e ≈ 2.71828), t là số năm. Với trường hợp này, $r=0.06$ và $P=100,000,000$ Do đó, $S=100,000,000.e^{0.06t}=150,000,000.$

b) Chia hai vế của phương trình cho 100,000,000, ta có: $e^{0,06t}=1.5$

Lấy logarith tự nhiên của hai vế của phương trình, ta có: $0.06t=ln(1.5)$

Do đó, $t=\frac{ln(1.5)}{0.06}$≈$11.55$ năm.

Vậy thời gian cần để cô Hương thu được số tiền là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục là khoảng 11.55 năm

BÀI TẬP

Bài tập 6.9 trang 14 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính 

a) $log_{2}2^{-12}$

b) $lne^{\sqrt{2}}$

c) $log_{8}16-log_{8}2$

d) $log_{2}6.log_{2}8$

 Hướng dẫn giải

a) $log_{2}2^{-12}=-12log_{2}2=-12$

b) $lne^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}lne=\sqrt{2}.1=\sqrt{2}$

c) $log_{8}16-log_{8}2=log_{8}\frac{16}{2}=log_{8}8=1$

d) $log_{2}6.log_{2}8=log_{2}8=log_{2}2^{3}=3$

Bài tập 6.10 trang  sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) $A=ln\left ( \frac{x}{x-1} \right )+ln\left ( \frac{x+1}{x} \right )-ln(x^{2}-1)$

b) $B=21log_{3}\sqrt[3]{x}+log_{3}(9x^{2})-log_{3}9$

 Hướng dẫn giải

a) $A=ln\left ( \frac{x}{x-1} \right )+ln\left ( \frac{x+1}{x} \right )-ln(x^{2}-1)$

$A=ln\left ( \frac{x(x+1)}{(x-1)(x^{2}-1)} \right )$

$A=ln(x(x+1))-ln((x-1)(x^{2}-1))$

b) $B=21log_{3}\sqrt[3]{x}+log_{3}(9x^{2})-log_{3}9$

$B = 21\log_{3}(x^{\frac{1}{3}}) + \log_{3}(9x^2) - \log_{3}9$

$B=log_{3}(x^{7})+log_{3}(9x^{2})-log_{3}9$

$=log_{3}(\frac{9x^{9}}{9})$

$=log_{3}x^{9}$

Bài tập 6.11 trang 15 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Rút gọn các biểu thức sau :

a) $A=log_{\frac{1}{3}}5+2log_{9}25-log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5}$

b) $A=log_{a}M^{2}+log_{a^{2}}M^{4}$

 Hướng dẫn giải

a) $A=log_{\frac{1}{3}}5+2log_{9}25-log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5}$

$A=log_{3^{-1}}5+\frac{log_{3^{2}}25}{2}-log_{5^{\frac{1}{2}}}\frac{1}{5}$

$A=-log_{3}5+2log_{3}5+2log_{3}5$

$A=3log_{3}5$

b) $A=log_{a}M^{2}+log_{a^{2}}M^{4}$

$A=2log_{a}M+\frac{1}{2}.4log_{a}M=4log_{a}M$

Bài tập 6.12 trang 15 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=log_{2}3.log_{3}4.log_{4}5.log_{5}6.log_{6}7.log_{7}8$

b) $B=log_{2}2.log_{2}4...log_{2}2^{n}$

 Hướng dẫn giải

a) $A=log_{2}3.log_{3}4.log_{4}5.log_{5}6.log_{6}7.log_{7}8$

$A=\frac{log_{2}3}{log_{2}2}.\frac{log_{3}4}{log_{3}3}.\frac{log_{4}5}{log_{4}4}.\frac{log_{5}6}{log_{5}5}.\frac{log_{6}7}{log_{6}6}.\frac{log_{7}8}{log_{8}8}$

$A=\frac{log_{2}8}{log_{2}2}=3$

b) $B=log_{2}2.log_{2}4...log_{2}2^{n}$

$B=log_{2}2.log_{2}2^{2}...log_{2}2^{n}=1.2...n=n!$

Bài tập 6.13 trang 15 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là

$a= 15 500(5 - log p)$

trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không khí (tính bằng pascal).

Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8 850m so với mực nước biển. 

 Hướng dẫn giải

Để tính áp suất không khí ở độ cao 8.850m, ta thay $a = 8.850$ vào công thức và giải phương trình để tìm giá trị của p.

Ta có:

$a = 15.500(5 - log p)$

$8.850 = 15.500(5 - log p)$

$5 - log p = \frac{8,850}{15,500}$

$log p =5−\frac{8,850}{15,500}$

$log p = 3,407$

$p=10^{3}.407$≈ 245,37Pa

Vậy áp suất không khí ở độ cao 8.850m so với mực nước biển là khoảng 245,37 Pa.

 Bài tập 6.14 trang 15 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ I (đo bằng sát trên mét vuông, kí hiệu là W/m? ) được định nghĩa như sau:

$L(I)=10log\frac{I}{10}$

trong đó $I_{0}=10^{-12}$ $W/m^{2}$ là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ $I=10^{-7}$ $W/m^{2}$

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ $I=10^{-3}$ $W/m^{2}$

Hướng dẫn giải

a) Có $L(I)=10log\frac{I}{10}$

=> $L(10^{-7})=10log\frac{10^{-7}}{10^{-12}}=10log10^{5}=50$ dB

b) $L(10^{-3})=10log\frac{10^{-3}}{10^{-12}}=10log10^{9}=90$ dB