Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 23 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

a) Sau khi gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật, ta sẽ có hai hình chữ nhật nằm chồng lên nhau, với đường chéo của chúng chính là đường thẳng AB. Do đó, đường thẳng AB sẽ vuông góc với đường chéo của hai hình chữ nhật đó.

b) Để kiểm tra xem đường thẳng AB có vuông góc với đường thẳng a hay không, ta có thể sử dụng một ê-ke. Đặt một đầu ê-ke lên điểm A và đưa đầu kia đi dọc theo đường thẳng a. Nếu đầu ê-ke không thay đổi hướng khi di chuyển qua đường thẳng AB, tức là đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng a. Nếu đầu ê-ke thay đổi hướng khi di chuyển qua đường thẳng AB, tức là hai đường không vuông góc nhau.

Luyện tập 1 trang 32 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD (H.7.14). Chứng minh rằng SO vuông góc (ABCD)

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình bình hành nên $OA=OC$ và $OB=OD$. Từ $SA=SC$ và $SB=SD$, ta có $\Delta SAB=\Delta SDC$

=>$\widehat{SBA}=\widehat{SCD}$ Tương tự, từ SA=SC và SB=SD, ta có $\Delta SAC=\Delta SBD$

=>$\widehat{SAC}=\widehat{SBD}$

Do đó, $\widehat{BSC}=\widehat{SBD}+\widehat{SCD}=\widehat{SAC}+\widehat{SBA}=180^{\circ}−\widehat{AOB}$

Mà $\widehat{BOC}=180^{\circ}, nên \widehat{BOS}=\widehat{COS}=\frac{BOC}{2}$

Từ đó suy ra $\widehat{BOS}+\widehat{BSC}=90^{\circ}$, tức SO⊥(ABCD).

Vận dụng trang 33 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.

Hướng dẫn giải

Điều này được giải thích bởi tính chất của đường thẳng và góc vuông. Một đường thẳng là đường đi qua hai điểm bất kỳ trên không gian và tạo thành một góc 180 độ. Trong khi đó, một góc vuông là một góc có độ lớn là 90 độ. Vì vậy, nếu ta đặt cột treo lên sao cho nó vuông góc với đường thẳng trên sàn nhà, thì chắc chắn cột treo sẽ đứng vuông góc với sàn nhà.

Bằng cách này, ta có thể đảm bảo rằng cột treo sẽ được đặt đúng vị trí và đứng thẳng đứng góc với sàn nhà, giúp cho quá trình sử dụng cột treo quần áo được dễ dàng hơn và tiện lợi hơn.

2. TÍNH CHẤT

Hoạt động 3 trang 33 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho điểm O và đường thẳng Δ không đi qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với Δ. Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a, b) đi qua O và vuông góc với Δ.

Hướng dẫn giải

Ta biết rằng nếu hai đường thẳng đứng trên hai mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng d cùng vuông góc với d thì chúng sẽ song song với nhau (do cùng vuông góc với đường thẳng d). Do đó, đường thẳng mp(a, b) cũng sẽ là một đường song song với đường thẳng d.

Vì đường thẳng d là đường song song với Δ, nên đường thẳng mp(a, b) cũng sẽ là đường song song với Δ. Vì vậy, mp(a,b) sẽ là đường thẳng đi qua điểm O và song song với đường thẳng Δ, tức là mp(a,b) vuông góc với Δ.

Hoạt động 4 trang 34 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường thẳng cắt nhau a, b tuỳ ý. Gọi (α),(β) là các mặt phẳng qua O và tương ứng vuông góc với a, b (H.7.19).

a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng (α),(β) cắt nhau theo một đường thẳng đi qua Q.

b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa Δ và (P).

Hướng dẫn giải

a) Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng a và b trong mặt phẳng (P). Theo định nghĩa, mặt phẳng (α) qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a sẽ đi qua giao điểm Q của hai đường thẳng a và b. Tương tự, mặt phẳng (β) qua điểm O và vuông góc với đường thẳng b cũng sẽ đi qua giao điểm Q.

Như vậy, ta có hai mặt phẳng (α) và (β) đều đi qua điểm Q. Vì hai mặt phẳng này đều chứa đường thẳng đi qua điểm O, nên chúng sẽ cắt nhau theo một đường thẳng đi qua điểm Q.

b) Mối quan hệ giữa Δ và (P) là Δ là mặt phẳng đi qua giao điểm Q của hai đường thẳng a và b trong mặt phẳng (P), và vuông góc với cả hai đường thẳng a và b.

Luyện tập 2 trang 34 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

AB và AC đều vuông góc với mặt phẳng (P), ta có thể kết luận rằng AB và AC đều nằm trên một đường thẳng vuông góc với (P).

Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (P). Ta có thể chứng minh rằng AD cũng vuông góc với (P) bằng cách sử dụng tính chất của giao điểm của hai đường thẳng.

Vì AB, AC và AD đều đi qua một điểm A, nên chúng phải nằm trên cùng một đường thẳng. Do đó, A, B và C thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được rằng nếu ba điểm A, B, C sao cho AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P) thì ba điểm đó phải thẳng hàng.

3. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Hoạt động 5 trang 34 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b. Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P). Tính (b, m) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa b và (P).

Hướng dẫn giải

Ta có (b, m) = 90 độ, do đường thẳng b và m nằm trên mặt phẳng (P) và b song song với a, vậy góc giữa b và m là góc vuông.

Từ đó, ta có thể rút ra mối quan hệ giữa b và (P) như sau:

• Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P).
• Đường thẳng b vuông góc với một đường thẳng nào đó thuộc mặt phẳng (P) (vì (b, m) = 90 độ với m là đường thẳng nằm trong (P).
• Vậy đường thẳng b cũng vuông góc với mặt phẳng (P)

Hoạt động 6 trang 34 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P). Xét O là một điểm thuộc a nhưng không thuộc b. Gọi c là đường thẳng qua O và song song với b.

a) Hỏi c có vuông góc với (P) hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa a và c.

b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b.

Hướng dẫn giải

a) Để xác định liệu đường thẳng c có vuông góc với (P) hay không, ta cần xem xét vị trí tương đối giữa c và mặt phẳng (P). Ta thấy rằng c không nằm trên mặt phẳng (P) nên không thể nói rằng c vuông góc với (P). Tuy nhiên, vị trí tương đối giữa a và c là song song vì c và b là hai đường thẳng song song.

b) Hai đường thẳng a và b là hai đường thẳng vuông góc với cùng một mặt phẳng (P), vì vậy chúng là hai đường thẳng chéo nhau.

Hoạt động 7 trang 35 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:  Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và đường thẳng Δ vuông góc với (P). Gọi b là một đường thẳng bất kì thuộc (Q). Lấy một đường thẳng a thuộc (P) sao cho a song song với b (H.7.23). So sánh (Δ, b) và (Δ, a). Từ đó rút ra mối quan hệ giữa Δ và (Q).

Hướng dẫn giải

(Δ, b): Do Δ vuông góc với (P) và (P) song song với (Q), nên Δ cũng vuông góc với (Q). Vậy (Δ, b) là đường thẳng vuông góc với (Q).
(Δ, a): Vì a song song với b nên (Δ, a) cũng song song với (Δ, b) và do đó cũng vuông góc với (Q).

Từ đó, ta có mối quan hệ giữa Δ và (Q) là Δ vuông góc với (Q).

Hoạt động 8 trang 35 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng Δ . Xét O là một điểm thuộc mặt phẳng (P) nhưng không thuộc mặt phẳng (Q). Gọi (R) là mặt phẳng đi qua O và song song với (Q) (H.7.24).

a) Hỏi (R) có vuông góc với Δ hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa (P) và (R).

b) Nêu vị trí tương đối giữa (P) và (Q).

Hướng dẫn giải

a) Do (Q) và (R) song song với nhau nên chúng có cùng phương sai. Do đó, một đường thẳng nào đó trong (R) cũng song song với Δ. Mặt khác, (P) vuông góc với Δ, nên nó cắt (R) theo một đường thẳng vuông góc với Δ. Vậy (R) cắt Δ theo một đường thẳng vuông góc với Δ, tức là (R) cũng vuông góc với Δ.

Vì (R) vuông góc với Δ và song song với (Q), nên nó cắt (Q) theo một đường thẳng vuông góc với (Q). Do (P) cùng vuông góc với Δ, nên (R) và (P) có vị trí tương đối giống nhau.

b) Vì cả (P) và (Q) đều vuông góc với Δ, nên chúng có vị trí tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do (R) song song với (Q) nên vị trí của (R) và (P) khác nhau

Luyện tập 3 trang 35 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng đó không nhất thiết phải song song với nhau.

Vì nếu mặt sàn không phẳng, tức là có sự chênh lệch độ cao giữa các điểm trên sàn, thì chiếc bàn khi đặt lên sàn sẽ không còn nằm trong một mặt phẳng duy nhất, mà sẽ nghiêng theo hướng chênh lệch độ cao của sàn.

Hoạt động 9 trang 35 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P). Tính (Δ, a).

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng a và mặt phẳng (P) là song song nhau và đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P)

Do đó, ta có (Δ,a) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng a đến mặt phẳng (P).

Hoạt động 10 trang 36 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng Δ.

a) Qua một điểm O thuộc (P), kẻ đường thẳng a song song với a. Nêu vị trí tương đối giữa a' và (P).

b) Nêu vị trí tương đối giữa a và (P).

Hướng dẫn giải

a) Vị trí tương đối giữa a' và (P) là hai đường thẳng song song với nhau.

b)Vị trí tương đối giữa a và (P) là hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng Δ.

Luyện tập 4 trang 36 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông, SA⊥(ABCD). Kẻ AH vuông góc với SC (H thuộc SC), BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Chứng minh rằng SC⊥(MBD) và AH // (MBD).

Hướng dẫn giải

Đặt O là trung điểm của AB, E là trung điểm của CD, N là trung điểm của BC. Ta có OM // ND vì OM // AB và ND // AB.

Do đó, Do đó, △OMB và △NDB

Ta có SAc//cBC vì ABCD là hình vuông nên AH=\frac{1}{\sqrt{2}}SC, BM=\frac{1}{2}SC, và $MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}SA.$

Kẻ BD. Ta có MBD là tam giác vuông tại M.

Vì $AH=\frac{1}{\sqrt{2}}SC$ và $\frac{OM}{MB}=\frac{1}{2}$ nên △OMB và △AHS đồng dạng.

Vậy $\widehat{AHS}=\widehat{OMB}$

Tương tự, △NDB và △ASC đồng dạng nên $\widehat{SCN}=\widehat{NDB}.$

Suy ra, $\widehat{MBD}=\widehat{AHS}=\widehat{OMB}$ và SC ⊥ BD.

Do đó, SC ⊥ (MBD) và AH // (MBD).

BÀI TẬP

Bài tập 7.5 trang 36 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A và SA⊥(ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) BC⊥(SAM);

b) Tam giác SBC cân tại S.

Hướng dẫn giải

a) Ta có SA ⊥ (ABC) và AM là đường trung bình trong tam giác đều ABC, nên AM ⊥ BC và AM là đường cao của tam giác SBC. Khi đó, ta có BC ⊥ (SAM) vì BC ⊥ AM.

b) Ta có $\widehat{SBC}=180^{\circ}−\widehat{ABC}=180^{\circ}−\widehat{BAC}=\widehat{SAC}$. Mặt khác, ta có SA = SC vì S là đỉnh của hình chóp S.ABC và AC là đường bờ của đáy ABC, vì ABC là tam giác cân tại A nên AC là đường trung trực của BC, suy ra SC = SA. Vậy SBC là tam giác cân tại S.

Bài tập 7.6 trang 36 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA⊥(ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó, ta có MN//AD và MN//BC vì ABCD là hình chữ nhật.

Do đó, SM và SN là hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), và do đó chúng cũng vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó, bao gồm các cạnh AB, BC, CD và AD.

Vì SM⊥AB và SN⊥CD, nên SMB và SND là hai tam giác vuông. Tương tự, SMC và SNA cũng là hai tam giác vuông. Do đó, các mặt bên của hình chóp S.ABCD đều là các tam giác vuông.

Bài tập 7.7 trang 36 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA⊥(ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:

AM ⊥( SBC),AN ⊥ (SCD), SC ⊥ (AMN).

Hướng dẫn giải

Gọi O là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Khi đó, SO là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đi qua trung điểm O của đường chéo AC của hình chữ nhật.

Vì SA⊥(ABCD), nên SA⊥(ABCD), SA//SO. Do đó, SAOM là hình bình hành. Vì OM⊥SB, nên AM⊥SB. Tương tự, ta chứng minh được AN⊥SD.

Ta có SM//ND vì SM và ND cùng vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đi qua cùng một điểm A. Vậy, $\widehat{AMN}=\widehat{BMS}=\widehat{SBC}$. Như vậy, AM ⊥ (SBC). Tương tự, ta chứng minh được AN⊥(SCD).

Cuối cùng, ta chứng minh được SC⊥(AMN) như sau: Vì AM vuông góc với SB nên SC vuông góc với mặt phẳng (SAB). Tương tự, SC vuông góc với mặt phẳng (SCD). Do đó, SC là đường vuông góc chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), suy ra SC⊥(AMN).

Bài tập 7.8 trang 36 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?

Hướng dẫn giải

Khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng, đường thẳng chứa dây dọi vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng.

Bài tập 7.9 trang 36 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột 1 m đến một điểm trên cột, cách chân cột 1 m được kết quả là 1,5 m (H.7.27). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?

Hướng dẫn giải

Nếu cột bóng rổ vuông góc với sân thì ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính độ dài của cột như sau:

Cột bóng rổ tạo thành một tam giác vuông với đáy là khoảng cách từ điểm trên sân đến chân cột và đường cao là 1m.

Theo định lý Pythagoras, ta có:

Chiều dài cột bóng rổ =$\sqrt{1^{2}+1,5^{2}}\approx 1,8m$

Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì ta sẽ có độ dài của cột bóng rổ xấp xỉ 1,8m