Giải chi tiết Toán 11 kết nối mới bài 20 Hàm số mũ và hàm số lôgarit

1. HÀM SỐ MŨ

Hoạt động 1 trang 16 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết hàm số mũ

a) Tính  khi x lần lượt nhận các giá trị – 1; 0; 1. Với mỗi giá trị của x có bao nhiều giá trị của $y=2^{x}$ tương ứng?

b) Với những giá trị nào của x, biểu thức $y=2^{x}$, có nghĩa?

Hướng dẫn giải

a) Khi x lần lượt nhận các giá trị -1, 0, 1, ta có:

Khi x=−1, ta có $y=2^{-1}=\frac{1}{2}$

Khi x=0, ta có $y=2^{0}=1.$

Khi x=1, ta có $y=2^{1}=2.$

=> Có một giá trị của x tương ứng

b) Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi $2^{x}>0$

Hoạt động 2 trang 16 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận dạng đồ thị và tính chất của hàm số

Cho hàm số mũ $y=2^{x}$

a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $(x;2^{x})$ với $X\in \mathbb{R}$ và nối lại ta được đồ thị của hàm số $y=2^{x}$

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tinh chất biến thiên của hàm số $y=2^{x}$

 Hướng dẫn giải

a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

b) Đồ thị Oxy

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b,ta kết luận hàm số $y=2^{x}$ là một hàm số lũy thừa với cơ số 2, có đồ thị là một đường cong liên tục, có tập giá trị là $(0, +\infty )$ và có tính chất biến thiên giảm trên đoạn $(-\infty, 0)$ và tăng trên đoạn $(0, +\infty).$

Luyện tập 1 trang 17 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Vẽ đồ thị của hàm số $y=\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}$

 Hướng dẫn giải

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau: 

2. HÀM SỐ LÔGARIT

Hoạt động 3 trang 18 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết hàm số lôgarit

a) Tính $y=log_{2}x$ khi x lần lượt nhận các giá trị 1; 2; 4. Với mỗi giá trị của x > 0 có bao nhiêu giá trị của $y=log2x$ tương ứng?

b) Với những giá trị nào của x, biểu thức $y=log_{2}x$ có nghĩa?

 Hướng dẫn giải

a)Khi $x=1$, thì $y=log_{2}1=0.$

Khi $x=2,$ thì $y=log_{2}2=1.$

Khi $x=4$, thì $y=log_{2}4=2.$

=> Với mỗi giá trị $x>0$, sẽ chỉ tồn tại một giá trị duy nhất của $y=log_{2}x$

b) Biểu thức $y=log_{2}x$ có nghĩa khi x là một số thực dương

Câu hỏi trang 18 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số lôgait? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.

a) $y=log_{\sqrt{3}}x$

b) $y=log_{\sqrt{2^{-2}}}x$

c) $y=log_{x}2$

d) $y=log_{\frac{1}{x}}5$

 Hướng dẫn giải

a) Là hàm số logarit với cơ số $\sqrt{3}$

b) Biểu thức $\sqrt{2^{-2}}=2^{-1}$, vậy ta có $y=log_{\sqrt{2^{-2}}}x=log_{2^{-1}}x=-log_{2}x$ là một hàm số logarit, với cơ số 2.

c) Là một hàm số logarit, với cơ số x.

d) Là một hàm số logarit, với cơ số $\frac{1}{x}$

Hoạt động 4 trang 18 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:  Nhận dạng đồ thị là tính chất của hàm số lôgarit 

Cho hàm số lôgarit $y=log_{2}x$

 Hướng dẫn giải

a) Hoàn thành bảng giá trị sau: 

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $(x; log_{2}x)$ và nối lại ta được đồ thị của hàm số $y=log_{2}x.$

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số $y=log_{2}x.$

 Hướng dẫn giải

a)

b) Để biểu diễn các điểm (x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy, ta lấy các giá trị của x và y trong bảng giá trị ở câu a và vẽ chúng trên đồ thị, các bạn có thể tham khảo hình đồ thị dưới đây 

c)Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, ta có thể kết luận rằng hàm số $y=log_{2}x$ là một hàm số liên tục, đồng biến trên khoảng $(0,+\infty )$, có đạo hàm trên khoảng này và có đường tiệm cận ngang là đường $y=0$.

Vận dụng 1 trang 19 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ sau:

$A=Pe^{rt}$

trong đó P là dân số của năm lấy làm mốc, A là dân số sau thăm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm.Biết rằng vào năm 2020, dân số Việt Nam là khoảng 97,34 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 0,91% (theo danso.org). Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số Việt Nam vào năm 2050.

 Hướng dẫn giải

P = 97.34 triệu người và $r = 0,91% = 0,0091.$

Áp dụng công thức tăng trưởng mũ, ta có:

$A=Pe^{rt}=97.34e^{0.0091⋅30}$≈128.29 triệu người.

Vậy dân số Việt Nam vào năm 2050 ước tính là khoảng 128,29 triệu người.

BÀI TẬP

Bài tập 6.15 trang 19 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y=3^{x}$

b) $y=\left ( \frac{1}{3} \right )^{x}$

 Hướng dẫn giải

a) Lập bảng giá trị 

Các bạn tham khảo đồ thị có dạng dưới đây

b)Lập bảng giá trị 

Các bạn tham khảo đồ thị có dạng dưới đây

Bài tập 6.16 trang 19 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Vẽ đồ thị của các hàm số sau : 

a) y=logx

b) y=log_{\frac{1}{3}}x

 Hướng dẫn giải

a) Lập bảng giá trị 

Các bạn tham khảo đồ thị có dạng dưới đây

 b)Lập bảng giá trị 

Các bạn tham khảo đồ thị có dạng dưới đây

Bài tập 6.17 trang 19 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=log\left | x+3 \right |$

b) $y=ln(4-x^{2})$

 Hướng dẫn giải

a) $y=log\left | x+3 \right |$ có nghĩa khi $\left | x+3 \right |$ > 0 (luôn đúng)

Vậy tập xác định của hàm số $y=log\left | x+3 \right |$ là $\mathbb{R}$

b) $y=ln(4-x^{2})$ có nghĩa khi $4-x^{2}>0$ <=> $x^{2} <4$ <=> $-2<x<2$

Bài tập 6.18 trang 19 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giả sử một chất phóng xạ bị phân rã theo cách sao cho khối lượng m(t) của chất còn lại (tính bằng kilôgam) sau t ngày được cho bởi hàm số $13e^{−0,015t}$

a) Tìm khối lượng của chất đó tại thời điểm t = 0.

b) Sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Khi t=0, $m(0)=13e^{−0,015×0}=13$. Vậy khối lượng của chất phóng xạ ban đầu là 13 kg.

b) Để tìm khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 45 ngày, ta sử dụng công thức $m(t)=13e^{−0,015t}$ và thay t=45 vào:

$m(45)=13e^{−0,015.45}≈6,19$ kg

Bài tập 6.19 trang 19 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức $M(t)=75−20ln(t+1),0≤t≤12$ (đơn vị: %). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức$ M(t)=75−20ln(t+1)$, ta có:

$M(6)=75−20ln(6+1)=75−20ln7$ ≈ 60,39

Vậy khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng là khoảng 60,39%.