Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 20: Hàm số mũ và hàm số Logarit
Hướng dẫn giải Bài 20: Hàm số mũ và hàm số Logarit SBT Toán 11 tập 2 kết nối tri thức. Đây là sách bài tập nằm trong bộ sách "kết nối tri thức" được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết học sinh sẽ nắm bài học tốt hơn.
Câu 6.21. Vẽ đồ thị của các hàm số mũ sau
a) y=$(\sqrt{3})^{x}$
b) y=$\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}$
Hướng dẫn trả lời:
Có bảng giá trị
x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
$y=(\sqrt{3})^{x}$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | 1 | 3 | 9 |
Đồ thị của hàm số y=$(\sqrt{3})^{x}$
b) Có bảng giá trị
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
$y=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}$ | 16 | 4 | 1 | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{16}$ |
Đồ thị của hàm số y=$\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}$
Câu 6.22. Vẽ đồ thị của cấc hàm số lôgarit sau
a) y=$log_{\sqrt{3}}x$
b) y=$log_{\frac{2}{3}}x$
Hướng dẫn trả lời:
Có bảng giá trị
x | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | 1 | 3 | 9 |
$y=log_{\sqrt{3}}x$ | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
Đồ thị của hàm số $y=log_{\sqrt{3}}x$
Có bảng giá trị
x | $\frac{9}{4}$ | $\frac{3}{2}$ | 1 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{4}{9}$ |
$y=log_{\frac{2}{3}}x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
Đồ thị của hàm số $y=log_{\frac{2}{3}}x$
Câu 6.23. Cho hàm số mũ f(x)=$a^{x} (a>0).$ Chứng minh rằng
a) $\frac{f(x+1)}{f(x)}=a$
b) $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$
c) $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1}).f(x_{2})$
Hướng dẫn trả lời:
a) $\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{a^{x+1}}{a^{x}}=a$
b) $f(-x)=a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}=\frac{1}{f(x)}$
c) $f(x_{1}+x_{2})=a^{x_{1}+x_{2}}=a^{x_{1}}.a^{x_{2}}=f(x_{1}).f(x_{2})$
Câu 6.24. Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y=$log_{3}(x+1)$
b) y=$log_{\frac{1}{2}}\left | x-1 \right |$
Hướng dẫn trả lời:
a) Tập xác định của hàm số là $(-1, +\infty ).$
b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\ {1} do |x - 1|$ > 0 với mọi x khác 1
Câu 6.25. Cho hàm số lôgarit f(x)=$log_{a}x (0<a\neq 1)$. Chứng minh rằng
a) $f\left ( \frac{1}{x} \right )=-f(x)$
b) $f(x^{\alpha })=\alpha f(x)$
Hướng dẫn trả lời:
a)$ f\left ( \frac{1}{x} \right )=log_{a}\frac{1}{x}=-log_{a}x=-f(x)$
b) $f(x^{\alpha })=log_{a}x^{\alpha }=\alpha log_{a}x=\alpha f(x)$
Câu 6.26. Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như ssau
Chứng minh rằng
sinhx=$\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}); coshx=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})$
sinh x là hàm số lẻ
cosh x là hàm số chẵn
$(coshx)^{2}-(sinhx)^{2}$=1 với mọi x
Hướng dẫn trả lời:
a) Có f(x)=sinhx=$\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) => f(-x)=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})$=-f(x), với mọi x thuộc R
Do đó sinhx là hàm số lẻ
b) Có g(x)=coshx=$\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) => g(-x)=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})=g(x)$, với mọi x thuộc R
=> cosh x là hàm số chẵn
c) Ta có $(coshx)^{2}-(sinhx)^{2}=\frac{1}{4}(e^{x}+e^{-x})^{2}-\frac{1}{4}(e^{x}-e^{-x})^{2}=\frac{1}{4}.2e^{-x}.2e^{x}=1$
Câu 6.27. Nếu một ô kính ngăn khoảng 3% ánh sáng truyền qua nó thì phần trăm ánh sáng p truyền qua n ô kính liên tiếp được cho gần đúng bởi hàm số sau: p(n) = $100. (0,97)^{n}.$
a) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính?
b) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 25 ô kính?
(Kết quả ở câu a và câu b được làm tròn đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn trả lời:
a) p(10)=$100 (0,97)^{10}\approx 74%.$
b) p(25) = $100 (0,97)^{25}\approx 47%.$
Câu 6.28. Số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là 6%. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép:
a) hằng quý,
b) hằng tháng;
c) liên tục.
(Kết quả được tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Hướng dẫn trả lời:
Ta sử dụng công thức lãi kép theo định kì để tính tổng số tiền thu được A=$P\left ( 1+\frac{r}{n} \right )^{t}$, trong đó P là số tiền vốn ban đầu, r là lãi suất năm ( cho dưới dạng số thập phân), n là số kì tính lãi trong một năm và t là số kì gửi. 06, n = 4, t=20 Thay vào
a) Ta có: P = 120, r = 6% = 0,06, n = 4, t = 20. Thay vào công thức trên, ta được.
A=$120\left ( 1+\frac{0,06}{4} \right )^{20}\approx 161,623$ (triệu đồng).
b) Ta có: P = 120, r = 6% = 0,06, n = 12, t = 60. Thay vào công thức trên, ta được:
A=$120\left ( 1+\frac{0,06}{12} \right )^{60}\approx 161,862$ (triệu đồng).
c) Ta sử dụng công thức lãi kép liên tục A = Pe^{rt}, ở đây r là lãi suất năm ( cho dưới dạng số thập phân) và t là số năm gửi tiết kiệm.
Ta có: P = 120, r = 6% = 0,06, t = 5 nên
A = $120 . e^{0,06.5}\approx 161,983$ (triệu đồng).
Câu 6.29. Chu kì bán rã của đồng vị phóng xạ Radi 226 là khoảng 1 600 năm. Giả sử khối lượng m (tính bằng gam) còn lại sau 1 năm của một lượng Radi 226 được cho bởi công thức.
m = $25.\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{1600}}$
a) Khối lượng ban đầu (khi t = 0) của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?
b) Sau 2 500 năm khối lượng của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?
Hướng dẫn trả lời:
a) m(0)= $25\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{0}$=25(g)
b) m(2500)=$25\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{2500}{1600}}\approx 8,46$(g)
Câu 6.30. Trong Vật lí, mức cường độ âm (tính bằng deciben, kí hiệu là dB) được tính bởi công thức L = $10 log\frac{l}{l_{0}}$, trong đó l là cường độ âm tính theo $W/m^{2}$ và $l_{0}=10^{-12} W/m^{2}$ là cường độ âm chuẩn, tức là cường độ âm thấp nhất mà tain gười có thể nghe được.
a) Tính mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là $10^{-7} W/m^{2}$
b) Khi cường độ âm tăng lên 1.000 lần thì mức cường độ âm (đại lượng đặc trưng cho độ to nhỏ của âm) thay đổi thế nào?
Hướng dẫn trả lời:
Mức cường đôh âm của cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm $10^{-7} W/m^{2}$ là: L = 10 $log\frac{10^{-7}}{10^{-12}}$=50 (dB)
$10log\frac{1000l}{l_{0}}=10(log1000+log\frac{l}{l_{0}})=30+10log\frac{l}{l_{0}}$+
Vậy mức cường độ âm tăng lên 30dB