Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Câu 8.9. Cho P(A) = 0, 4, P(B)= 0,5;$ P(A\cup B)=0,6$. Hỏi A và B có độc lập hay không?

Hướng dẫn trả lời:

$P(AB) = P(A) + P(B)-P(A\cup B) = 0,3 \neq P(A).P(B) = 0,2.$

Vậy A và B không độc lập.

Câu 8.10. Cho P(A)=$\frac{2}{5}, P(B)=\frac{1}{3}, P(A\cup B)=\frac{1}{2}.$ Hỏi A và B có độc lập hay không?

Hướng dẫn trả lời:

P(AB) = P(A) + P(B)-P(A\cup B) =$\frac{7}{30}\neq P(A).P(B)=\frac{2}{15}$

Vậy A và B không độc lập.

Câu 8.11. Gieo hai đồng xu cân đối. Xét các biến cố A: “Cả hai đồng xu đều ra mặt sấp”, B: “Có ít nhất một đồng xu ra mặt sấp”. Hỏi A và B có độc lập hay không?

Hướng dẫn trả lời:

Có $\Omega ={SS; SN; NS; NN}, n(\Omega )=4$

A={SS}, n(A)=1

=> $P(A)=\frac{1}{4}$

Có B={SS; SN; NS},  n(B)=3

=>$P(B)=\frac{3}{4}$

Có $A\cap B={SS}, n(A\cap B)=1$

=> $P(AB)=\frac{1}{4}$

Có $P(A).P(B)=\frac{1}{4}.\frac{3}{4}=\frac{3}{16}$

Có $P(AB)\neq P(A).P(B)$

Vậy A và B không độc lập

Câu 8.12. Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét các biến cố A: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”, B: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7. Chứng tỏ rằng A và B không độc lập.

Hướng dẫn trả lời:

Xét biến cố đối $\overline{A}$: “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”, $A = {(a,b) : a,b\in {1; 2; 3; 4;6}}$. Ta có $n(\overline{A}) = 25; n(\Omega ) = 36.25$

Vậy $P(\overline{A})=\frac{25}{36}$

=> P(A)=$1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$

Ta có B =$ {(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)}, n(B) = 6.$

=> P(B) = $\frac{6}{36}$

Ta có AB = $A\cap  B = {(2,5);(5,2)}, n(A\cap B) = 2.$

=>$ P(AB) = \frac{2}{36}$

Ta có: $P(A).P(B) =\frac{66}{36^{2}}$

=> $P(AB)\neq P(A).P(B)$

Vậy A và B không độc lập.

Câu 8.13. Có 3 hộp I, II, III. Mỗi hộp chứa ba tấm thẻ đánh số 1, 2, 3. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét các biến cố sau:

A: “Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ là 6”; B: “Ba tấm thẻ có ghi số bằng nhau”.

a) Tính P(A), P(B).

b) Hỏi A, B có độc lập không?

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $\Omega  = {(a,b,c): 1 \leq a,b,c <3}, n(\Omega ) = 27.$

Tính P(A): A={(1,23);(2,1,3);(3,1,2);(1,3,2);(3,2,1);(2,3,1);(2,2,2)}, n(A) = 7 

=> $P(A)=\frac{7}{27}$

Tinh P(B): B={(1,1,1);(2,2,2);(3,3,3)}, n(B) = 3 . 

=> $P(B) =\frac{3}{27}$

b) Tính P(AB): Ta có $A\cap B = {(2,2,2)} .$

=> $P(AB)=\frac{1}{27}$

Vì $P(AB)\neq P(A).P(B)$

=> A và B không độc lập

Câu 8.14. Hai bạn An và Bình không quen biết nhau và đều học xa nhà. Xác suất để bạn An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật là 0,2 và của bạn Bình là 0,25. Dùng sơ đồ hình cây để tính xác suất vào ngày Chủ nhật:

a) Cả hai bạn đều về thăm nhà.

b) Có ít nhất một bạn về thăm nhà.

c) Cả hai bạn đều không về thăm nhà.

d) Chỉ có bạn An về tham nhà

e) Có đúng một bạn về thăm nhà.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A, B tương ứng là các biến cố: “Bạn An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật” và “Bạn Bình về thăm nhà vào ngày Chủ nhật”. A và B là hai biến cố độc lập.

Ta có sơ đồ hình cây

a) P(AB) = 0,2. 0,25= 0,05.

b) $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,2+0,25-0,05=0,4.$

c) $P(\overline{AB}) = 0,8.0,75 = 0,6.$

d)$ P(A\overline{B}) = 0,2.0,75 = 0,15.$

e) $P(A\overline{B}.\overline{A}B) = P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B) = 0,2. 0,75 +0,8 .0,25 = 0,35.$

Câu 8.15. Cho A, B là hai biến cố độc lập và $P(AB) = 0,1, P(A\overline{B})$ = 0, 4 . Tìm $P(A\cup \overline{B}).$

Hướng dẫn trả lời:

$P(A\cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A\overline{B}).$

P(A) = P(AB) +$ P(A\overline{B})$ = 0,1 +0,4=0,5.

P(AB) = P(A). P(B) = 0,1. Khi đó 0,1 = 0,5. P(B)

=> P(B) = 0,2.

$P(A\cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A\overline{B}) = 0,5 +0,8-0,4=0,9.$