Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 19: Lôgarit

Câu 6.11. Tính

a) $log_{2}\frac{1}{64}$

b) log 1000

c) $log_{5}1250-log_{5}10$

d) $4^{log_{2}3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{2}\frac{1}{64}= log_{2}\frac{1}{2^{6}}= log_{2}2^{-6}=-6$

b) $log 1000=log10^{3}=3$

c) $log_{5}1250-log_{5}10=log_{5}\left ( \frac{1250}{10} \right )=log_{5}125=log_{5}5^{3}=3$

d) $4^{log_{2}3}=(2^{log_{2}3})^{2}=3^{2}=9$

Câu 6.12: Chứng minh rằng 

a) $log_{a}(x+\sqrt{x^{2}-1})$=0

b) $ln(1+e^{2x})=2x+ln(1+e^{-2x}) $

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{a}(x+\sqrt{x^{2}-1})+log_{a}(x-\sqrt{x^{2}-1})$

=$log_{a}[(x+\sqrt{x^{2}-1})(x-\sqrt{x^{2}-1})]$

=$log_{a}(x^{2}-x^{2}+1)=log_{a}1$=0

b) $ln(1+e^{2x})=2x+ln(1+e^{-2x})$

=$ln[e^{2x}(1+e^{-2x})]$

=$lne^{2x}+ln(1+e^{-2x})$

=$2x+ln(1+e^{-2x})$

Câu 6.13.Biết$ log_{2}3\approx 1,585$. Hãy tính

a) $log_{2}48$

b) $log_{4}27 $

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{2}48=log_{2}3+log_{2}2^{4}\approx 1,585+4\approx 5,585$

b) $log_{4}27=\frac{log_{2}27}{log_{2}4}=\frac{log_{2}3^{3}}{log_{2}2^{2}}=\frac{3log_{2}3}{2}\approx \frac{3}{2}\cdot 1,585$=2,3775

Câu 6.14. Đặt $a=log_{3}5, b=log_{4}5$. Hãy biểu diễn$ log_{15}10 $theo a và b

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $log_{5}3=\frac{1}{log_{3}5}=\frac{1}{a}$ (1)

        $ log_{5}2=\frac{1}{log_{2}5}=\frac{1}{2b} $(2) 

$log_{15}10=\frac{log_{5}10}{log_{5}15}=\frac{log_{5}2+log_{5}5}{log_{5}3+log_{5}5}=\frac{log_{5}2+1}{log_{5}3+1}$

Từ (1) và (2) =>$log_{15}10=\frac{\frac{1}{2b}+1}{\frac{1}{a}+1}=\frac{(1+2b)a}{2b(a+1)}$

Câu 6.15. Tìm $log_{49}32 $biết$ log_{2}14=a$

Hướng dẫn trả lời:

Có$ log_{2}14=a$

=> a=$log_{2}(7.2)=log_{2}7+1$

Có $log_{49}32= log_{49}2^{5}=5 log_{49}2$

=$\frac{5}{ log_{2}49}=\frac{5}{log_{2}7^{2}}=\frac{5}{2}\frac{1}{log_{2}7}$

=$\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{a-1}$

Câu 6.16. So sánh các số sau

a) $log_{3}4 và  log_{4}\frac{1}{3}$

b) $2^{log_{6}3} và 3^{log_{6}\frac{1}{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

a)$log_{3}4 > log_{4}\frac{1}{3}$

b) $2^{log_{6}3} > 3^{log_{6}\frac{1}{2}}$

Câu 6.17. Biết rằng số chữ số của một số nguyên dương N viết trong hệ thập phân được cho bởi công thức $[logN] + 1$, ở đó$ [logN]$ là phần nguyên của số thực dương logN. Tìm số các chữ số của $2^{2 023}$ khi viết trong hệ thập phân.

Hướng dẫn trả lời:

Số chữ số của $2^{2023} $là: $[log2^{2023}]+1= [2 023 . log2] + 1$ = 609.

Câu 6.18. Khi gửi tiết kiệm P (đồng) theo thể thức trả lãi kép định kì với lãi suất mỗi kì là r ( cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền A (cả vốn lẫn lãi) nhận được sau t kì gửi là A = $P(1+r)^{t} $(đồng). Tính thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp đôi.

Hướng dẫn trả lời:

Để số tiền ban đầu tăng gấp đôi thì A = 2P.

Thay A = 2P vào công thức lãi kép ta có:

2P = $P(1+r)^{t}$, suy ra$ (1 + r)^{t} $= 2, tức là t = $log_{1+r} 2$ (năm).

Câu 6.19. Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao lâu người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

Trả lời

Lãi suất năm là 8% nên lãi suất kì hạn 6 tháng sẽ là r = 4% = 0,04.

Thay P = 100; r = 0,04 và A = 120 vào công thức A =$ P(1 + r)^{t}$, ta được: 120=$100(1+0,04)^{t}.$

Suy ra 1,2 = $1,04^{t}, hay t = log_{1,04} 1,2\approx  4,65.$

Vậy sau 5 kì gửi tiết kiệm kì hạn 6 tháng, tức là sau 30 tháng, người đó sẽ nhận được ít nhất 120 triệu đồng.

Câu 6.20. Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ số dùng để đo lượng cồn trong máu của một người. Chẳng hạn, BAC 0,02% hay 0,2 mg/ml, nghĩa là có 0,02 g cồn trong 100 ml máu. Nếu một người với BAC bằng 0,02% có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp 1,4 lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với BAC 0,02% là 1,4. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tỗ có thể được mô hình hoá bằng một phương trình có dạng: $R=e^{kx} $ trong đó x (% ) là nồng độ cồn trong máu và k là một hằng số.

a) Nghiên cứu chỉ ra rằng nguy cơ tương đối của một người bị tai nạn với BAC bằng 0,02% là 1,4. Tìm hằng số k trong phương trình.

b) Nguy cơ tương đối là bao nhiêu nếu nồng độ cồn trong máu là 0,17%?

c) Tìm BAC tương ứng với nguy cơ tương đối là 100.

d) Giả sử nếu một người có nguy cơ tương đối từ 5 trở lên sẽ không được phép lái xe, thì một người có nồng độ cồn trong máu từ bao nhiêu trở lên sẽ không được phép lái xe?

Hướng dẫn trả lời:

a) Thay R = 1,4 và x = 0,02% vào công thức, ta được: 1,4=$e^{k.\frac{0,02}{100}}$

Suy ra $k\approx  1 682,36.$

b) R= $e^{1682,36.\frac{0,17}{100}} 17,46.$

c) Thay R = 100 vào công thức, ta được: 100 = $e^{1682,36x}$. Suy ra x \approx  0,27%.

d) Với $R \geq 5$ thì $x \geq  0,096%$, tức là một người có nồng độ cồn trong máu từ khoảng 0,096% trở lên thì không được lái xe.