Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 7.6. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Kẻ AM vuông góc với SB tại M và AN vuông góc với SC tại N. Chứng minh rằng:

a) $BC\perp (SAB);$

b) $AM\perp (SBC);$

c) $SC\perp (AMN).$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $BC\perp AB và SA\perp (ABC) nên SA\perp BC$

=> $BC\perp (SAB)$

b) Vì $BC\perp (SAB)$

=>$ BC\perp AM$

mà $AM\perp SB$

=> $AM\perp (SBC)$

c) Vì $AM\perp (SBC)$

=>$ AM\perp SC$

mà $AN\perp SC$

=> $SC\perp (AMN)$

Câu 7.7. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) $BC\perp (OAH):$

b) H là trực tâm của tam giác ABC;

c)$\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $OA\perp OB, OA\perp OC nên OA\perp (OBC)$

=> $OA\perp BC$

- Vì $OH\perp (ABC) nên OH\perp BC$

=> $BC\perp (OAH)$

b) Vì $BC\perp (OAH) nên BC\perp AH$

Tương tự $CA\perp BH$

=> H là trực tâm của tam giác ABC

c) Gọi K là giao điểm của AH và BC

Có $OK\perp BC và OA\perp OK $

=> OK là đường cao của tam giác vuông OBC và OH là đường cao của tam giác vuông OAK

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông OBC và OAK, ta có:

$\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OK^{2}}$

$\frac{1}{OK^{2}}=\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$

=>$ \frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$

Câu 7.8. Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Chứng minh rằng $AD\perp BC.$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi M là trung điểm của BC, ta có

$BC\perp AM, BC\perp MD$

=> $BC\perp (AMD)$

=> $BC\perp AD$

Câu 7.9. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' vuông góc với mặt phẳng(ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh rằng:

a) $BB' \perp (A'B'C');$

b) $B'C'\perp (ABB'A').$

Hướng dẫn trả lời:

a) Có $AA'\perp (ABC), AA'//BB' $

$(ABC)\perp (A'B'C')$

=> $BB'\perp (A'B'C')$

b) Vì $BC\perp AB, BC\perp BB' $

=> $BC\perp (ABB'A')$

mà BC//B'C'

=> $B'C'\perp (ABB'A')$

Câu 7.10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC,SB = SD. Chứng minh rằng:

a) $SO\perp (ABCD):$

b) $AC \perp (SBD) và BD\perp (SAC).$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD, suy ra $SO\perp AC, SO\perp BD.$

Do đó $SO\perp (ABCD).$

b) $VI AC\perp BD, AC\perp SO nên AC\perp (SBD).$

Chứng minh tương tự, ta được $BD\perp (SAC)$.

Câu 7.11. Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp (ABC)$, tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) $BC\perp (SAH)$ và các đường thẳng AH, BC, SK đồng quy,

b) $SB\perp (CHK)$ và $HK\perp (SBC).$

Hướng dẫn trả lời:

a) VÌ $BC\perp SA,BC\perp AH $

=> $BC\perp (SAH). $

Gọi M là giao điểm của AH và BC

=> $BC\perp (SAM),$

=>$ BC\perp SM$

mà K là trực tâm của tam giác SBC nên SM đi qua K. Do đó, SK, AH, BC đồng quy tại M.

b) Vì $SA\perp (ABC) nên SA\perp CH, mà CH\perp AB$

=> $CH\perp (SAB).$

=> $CH\perp SB$

mà $SB\perp CK$

=> $SB\perp (CHK)$

=> $SB\perp HK, $

tương tự,$SC\perp (BHK)$

=> $SC\perp HK $

=> $HK\perp (SBC).$

Câu 7.12. Một cây cột được dựng trên một sàn phẳng. Người ta thả dây dọi và ngắm thấy cột song song với dây dọi. Hỏi có thể khẳng định rằng cây cột vuông góc với sàn hay không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

Vì dây sọi song song với cây cột và dây dọi vuông góc với mặt phẳng sàn nên cây cột vuông góc với mặt phẳng sàn