Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Câu 8.1. Một hộp đựng 70 tấm thẻ, đánh số từ 1 đến 70. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Kí hiệu a là số ghi trên thẻ. Gọi A là biến cố: “a là ước của 28”, B là biến cố: “a là ước của 70”. Xét biến cố C: “a là ước của 14”. Chứng tỏ C là biến cố giao của A và B.

Hướng dẫn trả lời:

A = {1;2; 4; 7; 14; 28}; B = {12; 5; 7; 10; 14; 35; 70}; C = {1; 2; 7; 14}.

Ta có $A\cap B = {1; 2; 7; 14}.$

Vậy C là biến cố giao của A và B.

Câu 8.2. Một chiến hạm có ba bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Chiến hạm sẽ bị chim khi và chỉ khi:

- Hoặc có một quả ngư lôi bắn trúng bộ phận A;

- Hoặc có hai quả ngư lôi bắn trúng bộ phận B

- Hoặc có ba quả ngư lôi bắn trúng bộ phận C.

Giả sử có hai quả ngư lôi bắn trúng chiến hạm. Xét hai biến cố K: “Hai quả trúng vào C”, H: “Một quả trúng vào B, một quả trúng vào C”.

Gọi M là biến cố: “Chiến hạm không bị chìm”. Chứng tỏ rằng M là biến cố hợp của H và K.

Hướng dẫn trả lời:

Nếu biến cố H xảy ra thì B trúng một quả ngư lôi, C trúng một quả ngư lôi. Từ điều kiện ta thấy chiến hạm không bị chìm (biến cố M xảy ra).

Nếu biến cố K xảy ra thì C trúng hai quả ngư lôi. Từ điều kiện ta thấy chiến hạm không bị chìm (biến cố M xảy ra).

Ngược lại giả sử chiến hạm không bị chìm, khi đó cả hai quả hoặc trúng vào C (biến cố K xảy ra) hoặc chỉ một quả trúng vào B và quả còn lại không trúng A, tức là trúng C (biến cố H xảy ra).

Vậy M là biến cố hợp của H và K.

Câu 8.3. Có bốn chiếc hộp I, II, III, IV mỗi hộp đựng 10 tấm thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Gọi a, b, c, d là số ghi trên thẻ tương ứng rút từ I, II, III, IV.

Xét các biến cố sau:

A: “a là số chẵn”; B: “b là số chẵn”; C: “c là số chẵn”; D: “d là số chẵn”;

E: “ad là số lẻ”; F: “bc là số lẻ”, G, “ad – bc là số chẵn”.

Chứng tỏ rằng:

a) E=$\overline{AD}; F=\overline{BC}; $

b) G=$EF\cup \overline{EF}$

Hướng dẫn trả lời:

a) ad là số lẻ khi và chỉ khi cả a và d đều là số lẻ, tức là không xảy ra cả biến cố A và D. Vậy E = $\overline{AD}$. Tương tự bc là số lẻ chỉ khi cả b và c đều là số lẻ, tức là không xảy ra cả biến cố B và C. Vậy F = $\overline{BC}.$

b) Giả sử G xảy ra, tức là ad và bc có cùng tính chẵn, lẻ. Nếu ad là số lẻ, bc là số lẻ thì E và F đều xảy ra. Do đó EF xảy ra.

Nếu ad là số chẵn, bc là số chẵn thì E và F đều không xảy ra. Do đó $\overline{EF}$ xảy ra.

Ngược lại, nếu EF xảy ra thì ad là số lẻ, óc là số lẻ. Suy ra ad — bc là số chẵn.

Nếu $\overline{EF} $xảy ra thì ad là số chẵn, bc là số chẵn. Do đó ad — bc là số chẵn.

Vậy $G=EF\cup \overline{EF}$

Câu 8.4. Hai bạn Sơn và Tùng, mỗi bạn gieo đồng thời hai đồng xu cân đối. Xét hai biến cố sau:

E: "Cả hai đồng xu bạn Sơn gieo đều ra mặt sấp"

F: “Hai đồng xu bạn Tùng gieo có một sấp, một ngửa”

Chứng tỏ rằng E và F độc lập.

Hướng dẫn trả lời:

Nếu F xảy ra thì $P(E) = \frac{1}{4};$ nếu F không xảy ra thì $P(E) =\frac{1}{4}$

Nếu E xảy ra thì $P(F) = \frac{1}{2}$ nếu E không xảy ra thì $P(F)= \frac{1}{2}$

Vậy E và F độc lập.

Câu 8.5. Một chiếc túi có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Bạn Hoà rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong túi để sang bên cạnh. Tiếp theo, bạn Bình rút ngẫu nhiên tiếp một tấm thẻ. Xét hai biến cố sau:

M. “Bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số lẻ”;

N: “Bạn Bình rút được tấm thẻ ghi số chẵn”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố M và N không độc lập.

Hướng dẫn trả lời:

Có 6 số lẻ là {1,3,5,7,9,11} và 6 số chẵn là {2,4,6,8,10,12}.

Nếu M xảy ra, tức là bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số lẻ thì sau đó trong túi còn 11 tấm thẻ với 5 tấm thẻ ghi số lẻ và 6 tấm thẻ ghi số chẵn.

Vậy P(N) =$\frac{6}{11}$

Nếu M không xảy ra, tức là bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số chẵn thì sau đó trong túi còn 11 tấm thẻ với 6 tấm thẻ ghi số lẻ và 5 tấm thẻ ghi số chẵn.

Vậy P(N) =$\frac{5}{11}$

Như vậy xác suất của N thay đổi tuỳ theo M xảy ra hay M không xảy ra. Do đó M và N không độc lập.