Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và Logarit

Câu 6.31. Giải các phương trình mũ sau

a) $4^{2x-1}=8^{x+3}$

b) $9^{2x}.27^{x^{2}}=\frac{1}{3}$

c) $(e^{4})^{x}.e^{x^{2}}=e^{12}$

d) $5^{2x-1}=20$

Hướng dẫn trả lời:

a) $4^{2x-1}=8^{x+3}$

<=>$2^{2.(2x-1)}=2^{3.(x+3)}$

<=> $2^{4x-2}=2^{3x+9}$

<=> 4x-2=3x+9

<=> x = 11

b) $9^{2x}.27^{x^{2}}=\frac{1}{3}$

<=> $3^{4x}.3^{3x^{2}}=3^{-1}$

<=> $3^{4x+3x^{2}+1}=1$

<=> $3x^{2}+4x+1=0$

<=> $x=-\frac{1}{3} hoặc x =-1$

c)$(e^{4})^{x}.e^{x^{2}}=e^{12}$

<=>$e^{4x}.e^{x^{2}}=e^{12}$

<=>$e^{x^{2}+4x-12}=1$

<=>$x^{2}+4x-12=0$

Vậy x=2 hoặc x=-6

d) $5^{2x-1}=20$

<=>$2x-1=log_{5}20$

<=>$x=\frac{1}{2}(1+log_{5}20)$

Câu 6.32.Giải các phương trình lôgarit sau

a) $log_{3}(4x-1)=2$

b) $log_{2}(x^{2}-1)=log_{2}(3x+3)$

c) $log_{x}(81)=2$

d) $log_{2}(8^{x})=-3$

Hướng dẫn trả lời:

a) Điều kiện $x> \frac{1}{4}$

$log_{3}(4x-1)=2$

<=>4x-1=9

<=>$x=\frac{5}{2} $(tmdk)

b) Điều kiện x>1

$log_{2}(x^{2}-1)=log_{2}(3x+3)$

<=>$x^{2}-1=3x+3$

<=>$x^{2}-3x-4=0$

<=> x =-1 (loại) hoặc x=4 (tmđk)

c) Điều kiện: $0<x\neq 1$

$log_{x}(81)=2$

<=> $x^{2}=81$

<=> x=-9 (loại) hoặc x=9 (tmđk)

d)$log_{2}(8^{x})=-3$

<=> $8^{x}=2^{-3}$

<=>$2^{3x}=2^{-3}$

<=> 3x=-3

<=> x=-1

Câu 6.33. Giải các bất phương trình mũ sau

a) $2^{2x-3}>\frac{1}{4}$

b) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x^{2}} \geq \left ( \frac{1}{2} \right )^{5x-6}$

c) $25^{x}\leq 5^{4x-3}$

d) $9^{x}-3^{x}-6\leq 0$

Hướng dẫn trả lời:

a) $2^{2x-3}>\frac{1}{4}$

<=> $2^{2x-3}>2^{-2}$

<=>2x-3>-2

<=>$x>\frac{1}{2}$

b) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x^{2}} \geq \left ( \frac{1}{2} \right )^{5x-6}$

<=>$x^{2}\leq 5x-6$

<=>$x^{2}-5x+6\leq0$

<=> $(x-2)(x-3)\leq0$

<=> $2\leq x\leq 3$

c) $25^{x}\leq 5^{4x-3}$

<=>$2x\leq 4x-3$

<=>$x\geq \frac{3}{2}$

d) $9^{x}-3^{x}-6\leq 0$

<=>$(3^{x})^{2}-3^{x}-6\leq 0$

<=>$(3^{x}-3)(3^{x}+2)\leq 0$

<=>$-2\leq 3^{x}\leq 3$

<=>$x\leq 1$

Câu 6.34. Giải các bất phương trình lôgarit sau:

a) $log_{3}(2x+1)\geq 2$

b) $log_{2}(3x-1)\leq log_{2}(9-2x)$

c) $log_{\frac{1}{2}}(x+1)\leq log_{\frac{1}{2}}(4x-5)$

d) $log_{2}(2x-1)\leq log_{4}(x+1)^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) ĐKXĐ: $x> \frac{-1}{2}$

$log_{3}(2x+1)\geq 2$

<=> $2x+1\geq 3^{2}$

<=>$x\geq 4(t/m)$

b) ĐKXĐ: $\frac{1}{3}< x< \frac{9}{2}$

$log_{2}(3x-1)\leq log_{2}(9-2x)$

<=>$3x-1\leq 9-2x$

<=>5x<10

<=>x<2

Kết hợp ĐK, ta được$\frac{1}{3}< x<2$

c) ĐKXĐ: $x> \frac{5}{4}$

$log_{\frac{1}{2}}(x+1)\leq log_{\frac{1}{2}}(4x-5)$

<=>$x+1\geq 4x-5$

<=>$3x\leq 6$

<=>$x\leq 2$

Kết hợp ĐK, ta được $\frac{5}{4}<x\leq 2$

d) ĐKXĐ: $x> \frac{1}{2}$

 $log_{2}(2x-1)\leq log_{4}(x+1)^{2}$

<=>$log_{2}(2x-1)\leq \frac{log_{2}(x+1)^{2}}{log_{2}4}$

<=>$log_{2}(2x-1)\leq \frac{log_{2}(x+1)^{2}}{2}$

<=>$log_{2}(2x-1)^{2}\leq log_{2}(x+1)^{2}$

<=>$(2x-1)^{2}\leq (x+1)^{2}$

<=>$3x(x-2)\leq 0$

<=>$0\leq x\leq 2$

Kết hợp ĐK, ta được $\frac{1}{2}< x\leq 2$

Câu 6.35. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y=$\frac{1}{3^{x}-9}$

b) y=$ln(4-x^{2})$

c) y=$log\frac{1}{5-x}$

d) y=$\frac{2}{log_{4}(x-1)}$

Hướng dẫn trả lời:

a) y=$\frac{1}{3^{x}-9}$

Hàm số xác định khi $3^{x}\neq 9 <=> x\neq 2$

b) y=$ln(4-x^{2})$

Hàm số xác định khi $4-x^{2}$> 0 <=> -2<x<2

c) y=$log\frac{1}{5-x}$

Hàm số xác định khi $\frac{1}{5-x}>0$ <=>x<5

d) y=$\frac{2}{log_{4}(x-1)}$

Hàm số xác định khi

x-1>0, $log_{4}(x-1)\neq 0$

<=> x>1, $x\neq 2$

Câu 6.36. Áp suất khí quyển p lên một vật giảm khi độ cao tăng dần. Giả sử áp suất này (tính bằng milimét thuỷ ngân) được biểu diễn theo độ cao h (tính bằng kilômét) so với mực nước biển bằng công thức p(h)=$760.e^{-0,145h}$

a) Một máy bay đang chịu áp suất khí quyển 320 mmHg. Tìm độ cao của máy bay đó.

b) Một người đứng trên đỉnh của một ngọn núi và chịu áp suất khí quyển 667 mmHg. Tìm chiều cao của ngọn núi này.

Hướng dẫn trả lời:

a) Giải phương trình $760e^{-0145h}$ = 320, ta tìm được h ≈ 5,965 km.

Vậy độ cao của máy bay là khoảng 5,965 km.

b) Giải phương trình $760e^{-0,145h} $= 667, ta tìm được h ≈ 0,9 km.

Vậy chiều cao của ngọn núi là khoảng 0,9 km.

Câu 6.37. Giả sử giá trị còn lại V (triệu đồng) của một chiếc ô tô nào đó sau t năm được cho bằng công thức V (t) = $730.(0,82)^{t}$.

a) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng?

b) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng?

(Kết quả của câu a và câu b được tính tròn năm).

Hướng dẫn trả lời:

a) Giải phương trình $730.(0,82)^{t}$ = 500, ta được t ≈ 1,91 năm.

Vậy chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng sau khoảng 2 năm.

b) Giải phương trình  $730.(0,82)^{t}$ = 200, ta được t≈ 6,52 năm.

Vậy chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng sau khoảng 7 năm.

Câu 6.38. Giả sử tổng chi phí hoạt động (đơn vị tỉ đồng) trong một năm của một công ty được tính bằng công thức C (t) = 90 – $50e^{-t}$, trong đó t là thời gian tính bằng năm kể từ khi công ty được thành lập. Tính chi phí hoạt động của công ty đó vào năm thứ 10 sau khi thành lập (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

Hướng dẫn trả lời:

Chi phí hoạt động của công ty đó vào năm thứ 10 sau khi thành lập là:

C (10) = $90 – 50e ^{-10}\approx 89,998$ (tỉ đồng).

Câu 6.39. Nhắc lại rằng độ pH của một dung dịch được tính bằng công thức pH= $-log[H^{+}]$, ở đó $[H^{+}]$ là nồng độ ion hydrogen của dung dịch tính bằng mollit. Biết rằng máu của người bình thường có độ pH từ 7,30 đến 7,45. Hỏi nồng độ ion hydrogen trong máu người bình thường nhận giá trị trong đoạn nào?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: 

$7,30 \leq log[H^{+}]\leq 7,45$

<=> $-7,30 \geq log[H^{+}]\geq -7,45$

<=>$10^{-7,30}\geq H^{+}10^{-7,45}$

Vậy nồng độ ion hydrogen trong máu người bình thường nhận giá trị trong đoạn $[5,01.10^{-8}; 3,55.10^{-8}]$.

Câu 6.40. Nhắc lại rằng mức cường độ âm (đo bằng dB) được tính bởi công thức $L = 10 log\frac{l}{l_{0}}$, trong đó là cường độ âm tính theo W/$m^{2} và  l_{0} = 10^{-12} W/m^{2}$.

a) Tính cường độ âm của âm thanh tàu điện ngầm có mức cường độ âm là 100 dB.

b) Âm thanh trên một tuyến đường giao thông có mức cường độ âm thay đổi từ 70 dB đến 85 dB. Hỏi cường độ âm thay đổi trong đoạn nào?

Hướng dẫn trả lời:

a) Giải phương trình 100 = $10log\frac{l}{10^{-12}}$ ta tìm được  l= 0,01.

b) Ta có: $70\leq 10log\frac{l}{10^{-12}}\leq 85$

Giải bất phương trình này, ta được $10^{-5}\leq l\leq 10^{-3,5}$

Vậy cường độ âm thay đổi trong đoạn $[10^{-5}; 10^{-3,5}]$