Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài: Bài tập cuối chương II

A - Trắc nghiệm

Bài tập 2.22: Khẳng định nào sau đây là sai....

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Một dãy số bị chặn không nhất thiết phải là dãy số tăng hoặc giảm. Chẳng hạn ta xét dãy số ($u_{n}$) có số hạng tổng quát: $u_{n}$=$(-1)^{n-1} $sin$\frac{1}{n}$

=> Dãy số này đan dấu nên nó không tăng, không giảm.

Mặt khác ta có: $\left | u_{n}  \right |$ = $\left | (-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}\right |$ = $\left | sin\frac{1}{n}\right |$≤1

suy ra dãy số ($u_{n}$) bị chặn.

Vậy đáp án C sai.

Bài tập 2.23: Cho dãy số...

Hướng dẫn giải:

Đáp án D. 

Công thức tổng quát của dãy số là: $u_{n}$=$(\frac{1}{2})^{n-1}$ có số hạng đầu $u_{1}$=$(\frac{1}{2})^{1-1}$=1 thỏa mãn.

Bài tập 2.24: Cho dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}$ = 3n + 6. Khẳng định nào sau đây là đúng...

Hướng dẫn giải:

Đáp án A. 

Ta có: $u_{n}$-$u_{n}$-1=3n+6-3n-1+6=3, ∀n≥2.

Do đó, ($u_{n}$) là cấp số cộng với công sai d=3.

Bài tập 2.25: Trong dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số...

Hướng dẫn giải:

Đáp án B. 

Ta có: $u_{1}$=-1, $u_{n+1}$=2$u_{n}$ có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$=2 ∀n≥1.

=> Dãy số này là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}$= –1 và công bội q=2.

Bài tập 2.26: Tổng 100 số hạng đầu của dãy số...

Hướng dẫn giải:

Đáp án C. 

Xét $u_{n}$-$u_{n-1}$=2n-1-2n-1-1=2,∀n≥2

Do đó, dãy số (un) là một cấp số cộng có $u_{1}$=1 và công sai d=2.

=> $S_{100}$=$\frac{100}{2}$(2$u_{1}$+(100-1)d)=10 000. 

B - TỰ LUẬN

Bài tập 2.27: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc...

Hướng dẫn giải:

Vì đồng hồ chỉ đánh chuông báo giờ nên ta có:

- Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.

...

- Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông.

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$=1, công sai d=1.

Tổng số tiếng chuông trong khoảng từ 0 đến 12 giờ trưa là

$S_{12}$=$\frac{12}{2}$(2$u_{1}$+(12-1)d=6.(2.1+11.1)=78 (tiếng chuông).

Bài tập 2.28: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích...

Hướng dẫn giải:

Vì ban đầu có một tế bào và mỗi 20 phút sẽ phân đôi nên ta có cấp số nhân với $u_{1}$= 1, q = 2.

Sau 24 giờ sẽ có $\frac{24.60}{20}$= 72 lần phân chia tế bào và $u_{73}$ là số tế bào nhận được sau 24 giờ.

Vậy số tế bào nhận được sau 24 giờ phân chia là

$u_{73}$=$u_{1}$$q^{73-1}$=$2^{72}$(tế bào).

Bài tập 2.29: Chứng minh rằng...

Hướng dẫn giải:

a) Giả sử ($u_{n}$) là cấp số cộng với công sai d với k≥2, ta có:

$u_{k-1}$=$u_{1}$-d và $u_{k+1}$=$u_{k}$+d

Xét $u_{k-1}$+$u_{k+1}$=($u_{k}$-d)+($u_{k}$+d)=2$u_{k}$

Hay $u_{k}$=$\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$(đpcm).

b) Giả sử cấp số nhân có công bội là q với k≥2, ta có:

$u_{k-1}$=$u_{1}$.$q^{k-1-1}$=$u_{1}$.$q^{k-2}$

$u_{k+1}$=$u_{1}$.$q^{k+1-1}$=$u_{1}$.$q^{k}$

=>$u_{k-1}$.$u_{k+1}$=($u_{1}$.$q^{k-2}$).($u_{1}$.$q^{k}$)=$u_{k}^{2}$(đpcm)

Bài tập 2.30: Tìm ba số, biết theo thứ tự đó...

Hướng dẫn giải:

Gọi 3 số cần tìm là x, y, z với x<y<z.

Ta có: x + y + z = 21 x + z = 21 – y.

Vì x, y, z lập thành một cấp số cộng nên: y=$\frac{x+z}{2}$

⬄ y=$\frac{21-y}{2}$=> y=7.

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x=y –d=7 – d và z=y+d=7+d.

Thêm các số 2; 3; 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x+2, y+3, z+9 

Hay 9 – d, 10, 16 + d và dãy số này lập thành một cấp số nhân.

=> (9 – d)(16 + d)=$10^{2}$

144 – 7d – $d^{2}$ = 100

$d^{2}$ + 7d – 44 = 0 

⬄d= -11 hoặc d=4  

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là (18, 7, – 4) và (3, 7, 11).

Bài tập 2.31: Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một...

Hướng dẫn giải:

a) Đổi 16 cm = 0,16 m.

Gọi ui là độ cao từ bậc thang thứ i (của cầu thang) so với mặt sân.

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5 m nên ta có $u_{1}$=0,66.

Từ các bậc sau thì: bậc sau cao hơn bậc liền trước nó 0,16 m 

Hay $u_{n+1}$=$u_{n}$+0,16;1≤n≤25

Do đó, độ cao từ các bậc thang so với mặt sân, từ bậc 1 đến bậc 25 tạo thành một cấp số cộng với u1= 0,66 và công sai d= 0,16.

Vậy công thức tính độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân là

un = u1 + (n – 1)d = 0,66 + (n – 1).0,16 = 0,5 + 0,16n (m).

b) Vậy độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân là

u25= 0,5 + 0,16.25 = 4,5 (m). 

Bài tập 2.32: Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị...

Hướng dẫn giải:

+ Chia lần 1: Hình vuông màu vàng lớn có cạnh bằng 1 đơn vị thì có diện tích bằng 1 (đvdt). Hình vuông màu xanh này có diện tích bằng $\frac{1}{9}$ (đvdt).

 + Chia lần 2: Mỗi hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích S1=$\frac{1}{9}$.$\frac{1}{9}$=$\frac{1}{9^{2}}$. 8 hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích bằng 8S1.

Cứ tiếp tục như vậy, mỗi lần chia ta sẽ tạo thành 8 hình vuông xanh nhỏ hơn tiếp đối với mỗi ô vuông vàng nhỏ.

Do đó, quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì trừ lần đầu tiên, 4 lần sau, mỗi lần chia diện tích ô vuông xanh tạo thành lập thành một cấp số nhân có: u1=8.$\frac{1}{9^{2}}$ và công bội q=8.$\frac{1}{9}$

Vậy tổng diện tích các ô vuông màu xanh là:

S=$\frac{1}{9}$+$\frac{u1(1-q^{2}}{1-q}$)=$\frac{26281}{59049}$ (đvdt).