Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 6: Cấp số cộng

1. ĐỊNH NGHĨA

Bài 1: Nhận biết cấp số cộng...

Hướng dẫn giải:

Năm số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) là: 1; 3; 5; 7; 9.

b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng $u_{n}$ theo số hạng $u_{n}$ – 1 là $u_{n}$=$u_{n-1}$+2 (n ≥ 2)

Bài 2: Dãy số không đổi...

Hướng dẫn giải:

Vì đây là một dãy số hằng có công thức biểu diễn $u_{n}$-$u_{n-1}$=a-a=0 với mọi n ≥ 2

=> Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số cộng với công sai d = 0.

Bài 3: Cho dãy số...

Hướng dẫn giải:

Ta có: $u_{n}$-$u_{n-1}$=-2n+3-[-2n-1+3]=-2 với mọi n≥2

Vậy dãy số ($u_{n}$) là cấp số cộng có số hạng đầu là u1=1 và công sai d= –2.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Bài 1: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $u_{2}$ = $u_{1}$ + d;

$u_{3}$ = $u_{2}$ + d = $u_{1}$ + 2d; 

$u_{4}$ = $u_{3}$ + d =  $u_{1}$ + 3d; 

$u_{5}$ = $u_{4}$ + d = $u_{1}$ + 4d.

b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát $u_{n}$ là: $u_{n}$ = $u_{1}$ + (n – 1)d.

Bài 2: Cho dãy số...

Hướng dẫn giải:

Ta có: $u_{n}$ – $u_{n-1}$= (4n – 3) – [4(n –1) – 3] = 4, với mọi n ≥ 2.

Do đó, dãy số ($u_{n}$) là một cấp số cộng với số hạng đầu u1=1 và công sai d= 4. Số hạng tổng quát là: $u_{n}$=1+(n –1). 4

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Bài 1: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $u_{2}$ = $u_{1}$ + d; ...; 

$u_{n-1}$= $u_{1}$+ (n – 1 – 1)d = $u_{1}$+ (n – 2)d;  

$u_{n}$=$u_{1}$ + (n – 1)d.

$S_{n}$= $u_{1}$ + ($u_{1}$ + d) + ... + [$u_{1}$ + (n – 2)d] + [$u_{1}$ + (n – 1)d]

b) $S_{n}$ = $S_{n}$ + $S_{n-1}$ + ... + $u_{2}$ +$u_{1}$

=[$u_{1}$+ (n – 1)d] + [$u_{1}$ + (n – 2)d] + ... + ($u_{1}$ + d) +$u_{1}$

c) 2$S_{n}$ = {$u_{1}$ + ($u_{1}$ + d) + ... + [$u_{1}$ + (n – 2)d] + [$u_{1}$ + (n – 1)d]} + {[$u_{1}$ + (n – 1)d] + [$u_{1}$ + (n – 2)d] + ... + ($u_{1}$ + d) + $u_{1}$} 

2$S_{n}$=$u_{1}$ + $u_{1}$+n – 1d+ $u_{1}$+d+ $u_{1}$+ n – 2d+ ... + {[$u_{1}$ + (n – 2)d] + ($u_{1}$+d)}+{[$u_{1}$ + (n – 1)d]+$u_{1}$} 

2$S_{n}$= [2$u_{1}$ + (n – 1)d] + [2$u_{1}$ + (n – 1)d] + ... + [2$u_{1}$+(n –1)d] + [2$u_{1}$ + (n – 1)d] 2$S_{n}$ = n . [2$u_{1}$ + (n – 1)d] 

$S_{n}$= [2$u_{1}$ + (n – 1)d]. 

Bài 2: Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công...

Hướng dẫn giải:

Số tiền lương anh Nam nhận được mỗi năm lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, u1 = 100 và công sai d = 20.

Sau 10 năm, anh Nam nhận được tổng số lương là:

$S_{10}$=$u_{1}$+$u_{2}$+…+$u_{10}$ =$\frac{10}{2}$(2$u_{1}$+(10-1)d)

=$\frac{10}{2}$(2.100+9.20)  =1900 (triệu đồng)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 2.8: Xác định công sai, số hạng thứ 5...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 

Số hạng đầu $u_{1}$= 4, công sai d  = 5

Số hạng thứ 5: $u_{5}$=$u_{1}$+(5 – 1)d = 4 + 4 . 5 = 24.

Số hạng thứ 100: $u_{100}$=5 . 100 – 1=499

b) Ta có: Số hạng đầu $u_{1}$=1, công sai d= –2.

Số hạng thứ 5: $u_{5}$=$u_{1}$+(5 –1)d=1+4 . (–2)= –7.

Số hạng thứ 100: $u_{100}$= (–2) . 100+3 = –197.

Bài tập 2.9: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số...

Hướng dẫn giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) là:

$u_{1}$ = 8; $u_{2}$ = 13; $u_{3}$= 18; $u_{4}$= 23; $u_{5}$= 28. 

Ta có: $u_{n}$–$u_{n-1}$ =(3+5n) – [3+5(n –1)] 5, với mọi n≥2.

Do đó dãy số ($u_{n}$) là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}$=8 và công sai d=5.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là $u_{n}$=8+(n –1). 5.

b) Năm số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) là:

$u_{1}$ = 2; $u_{2}$ = 8; $u_{3}$= 14; $u_{4}$ = 20; $u_{5}$= 26. 

Ta có: $u_{n}$–$u_{n-1}$=(6n – 4) – [6(n – 1) – 4] = 6, với mọi n≥2.

Do đó dãy số ($u_{n}$) là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}$=2 và công sai d=6.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là $u_{n}$=2+(n –1). 6.

c) Năm số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) là:

$u_{1}$=2; $u_{2}$= 4; $u_{3}$ = 7; $u_{4}$  = 11; $u_{5}$= 16. 

Ta có: $u_{n}$=$u_{n-1}$+n ⇔ $u_{n}$-$u_{n-1}$=n, do n luôn thay đổi nên hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số ($u_{n}$) thay đổi.

Vậy dãy số ($u_{n}$) không phải là cấp số cộng.

d) Năm số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) là: 

$u_{1}$=2; $u_{2}$= 5; $u_{3}$ = 8; $u_{4}$  = 11; $u_{5}$= 14. 

Ta có: $u_{n}$=$u_{n-1}$+3 ⇔$u_{n}$–$u_{n-1}$=3với mọi n≥2.

Do đó dãy số ($u_{n}$) là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}$=2 và công sai d=3.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là $u_{n}$=2+(n –1). 3.

Bài tập 2.10: Một cấp số cộng có số hạng thứ...

Hướng dẫn giải:

Ta có: $u_{5}$=$u_{1}$+(5 – 1)d hay 18=$u_{1}$+4d.

$u_{12}$ =$u_{1}$+(12 – 1)d hay 32=$u_{1}$+11d.

Ta có hệ phương trình: $u_{1}$+4d=18 hoặc  $u_{1}$+11d=32 ⟺$u_{1}$=10  và d=2

Số hạng thứ 50 là $u_{50}$ =$u_{1}$+(50 –1)d=10+49 . 2=108

Bài tập 2.11: Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng...

Hướng dẫn giải:

Ta có: $S_{n}$=$\frac{n}{2}$(2$u_{1}$+(n-1)d=$\frac{n}{2}$(2,5+(n-1).2)=2700

⟺n10+2n-2=5400⟺2$n^{2}$+8n-5400=0 ⟺ n=50 (TM) hoặc  n=-54 (L) 

Vậy tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng 2 700.

Bài tập 2.12: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng...

Hướng dẫn giải:

Ta có: Số hạng đầu $u_{1}$=680 và công sai d=-55 (do giá xe giảm).

Giá của chiếc ô tô sau 5 năm sử dụng là 

$u_{5}$=$u_{1}$+5 – 1d=680 + 4 . -55= 460(triệu đồng).

Bài tập 2.13: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường...

Hướng dẫn giải:

Ta có: $S_{n}$=$\frac{n}{2}$(2$u_{1}$+(n-1)d)=$\frac{n}{2}$(2.$15_{n-1}$.3≥870

Do đó, n(30+3n-3)≥1740

⟺3$n^{2}$+27n-1740≥0⟺ [n≤-29 L hoặc  n≥20  (TM)  

Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.

Bài tập 2.14: Vào năm 2020, dân số...

Hướng dẫn giải:

Đổi 1,2 triệu người = 1 200 nghìn người.

Dân số từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng, gồm 11 số hạng với số hạng đầu u1=1 200 và công sai d=30. 

Ta có: $u_{11}$=$u_{1}$+(11 –1)d =1 200+10 . 30=1 500.

Vậy dân số của thành phố này vào năm 2030 khoảng 1 500 nghìn người hay 1,5 triệu người.