Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Bài 1: Tính...

Hướng dẫn giải:

$1,5^{2}$=2,25

$(-\frac{2}{3})^{3}$=-$\frac{8}{27}$

$(\sqrt{2})^{4}$=4

Bài 2: Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu...

Hướng dẫn giải:

a) Khối lượng của Trái Đất là: 5,98.$10^{24}$ kg.

b) Khối lượng của hạt proton là: 1, 67262.$10^{-27}$ kg.

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Bài 1: Nhận biết khái niệm căn bậc n...

Hướng dẫn giải:

a) $x^{2}$=4=$2^{2}$=$-2^{2}$=±2.

b) $x^{3}$=-8=> $x^{3}$=$-2^{3}$=>x=-2.

Bài 2: Tính…

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt[3]{-125}$=$\sqrt[3]{(-5)^{3}}$=5

b) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$=$\sqrt[4]{(\frac{1}{3})^{4}}$=$\frac{1}{3}$

Bài 3: a) Tính và so sánh…

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt[3]{-8}$ . $\sqrt[3]{27}$ = $\sqrt[3]{(-2)^{3}}$ . $\sqrt[3]{(3)^{3}}$ = -6

$\sqrt[3]{(-8).27}$=$\sqrt[3]{-216}$=$\sqrt[3]{(-6)^{3}}$=-6

=> $\sqrt[3]{-8}$ . $\sqrt[3]{27}$ = $\sqrt[3]{(-8).27}$

b) $\frac{\sqrt[3]{(-8)}}{\sqrt[3]{27}}$=$\frac{\sqrt[3]{(-2)^{3}}}{\sqrt[3]{3}}$=$\frac{-2}{3}$

$\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}$=$\sqrt[3]{(\frac{-2}{3})^{3}}$=$\frac{-2}{3}$

=> $\frac{\sqrt[3]{(-8)}}{\sqrt[3]{27}}$ = $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}$

Bài 4: Tính…

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt[3]{5}$ : $\sqrt[3]{625}$=$\sqrt[3]{\frac{1}{125}}$

b) $\sqrt[5]{-25\sqrt{5}}$=$\sqrt[5]{-(\sqrt{5})^{5}}$=-$\sqrt{5}$

Bài 5: Cho a là một số thực dương…

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $(\sqrt[n]{a})^{n}$=a; $(a^{\frac{1}{n}})^{n}$=a

=> $(a^{\frac{1}{n}})^{n}$=$(\sqrt[n]{a})^{n}$ => $a^{\frac{1}{n}}$=$\sqrt[n]{a}$

b) Ta có: 

$a^{\frac{1}{n}}$=$\sqrt[n]{a}$

Mà $a^{\frac{m}{n}}$=$(a^{\frac{1}{n}})^{m}$; $(\sqrt[n]{a})^{m}$ = $\sqrt[n]{a^{m}}$

=> $a^{\frac{m}{n}}$=$(\sqrt[n]{a})^{m}$

Bài 6: Rút gọn biểu thức…

Hướng dẫn giải:

A=$\frac{x^{\frac{3}{2}}y+xy^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

=$\frac{xy(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}$ =xy

3. Lũy thừa với số mũ thực

Bài 1: Ta biết rằng..

Hướng dẫn giải:

a) $3^{r_{1}}$=3

$3^{r_{2}}$=4,655536722 

$3^{r_{3}}$=4,706965002 

$3^{r_{4}}$=4,72873393

$3^{\sqrt{2}}$=4,728804388 

b) $\left | 3^{\sqrt{2}}-3^{r_{1}} \right |$ =1, 728804388

$\left | 3^{\sqrt{2}}-3^{r_{2}} \right |$ = 0,07326766609

$\left | 3^{\sqrt{2}}-3^{r_{3}} \right |$=0,02183938612

$\left | 3^{\sqrt{2}}-3^{r_{4}} \right |$=0,0000704576662

Vậy sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$là giảm dần khi n càng lớn.

Bài 2: Rút gọn biểu thức…

Hướng dẫn giải:

A=$\frac{(a^{\sqrt{2}-1})^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1}.a^{3-\sqrt{5}}}$

=$\frac{a^{(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2})}}{a^{\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}}}$

=$\frac{1}{a}$

Bài 3: Giải bài toán tính huống mở đầu…

Hướng dẫn giải:

Sau 3 năm số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được là: 

100.1+ 6%3 ≈ 119,1016 (triệu đồng)

3. Bài tập

Bài 6.1: Tính…

Hướng dẫn giải:

a,$(\frac{1}{5})^{-2}$=25

b) $4^{\frac{3}{2}}$=8

c) $\frac{1}{8}^{\frac{-2}{3}}$=4

d) $\frac{1}{16}^{-0,75}$=8

Bài 6.2: Thực hiện phép tính…

Hướng dẫn giải:

a) $27^{\frac{2}{3}}$+$81^{-0,75}$-$25^{0,5}$

=9+$\frac{1}{27}$-5=$\frac{109}{27}$

b) $4^{2-3\sqrt{7}}$.$8^{2\sqrt{7}}$=16

Bài 6.3: Rút gọn các biểu thức sau…

Hướng dẫn giải:

a) A=$\frac{x^{5}y^{-2}}{x^{3}y}$=$\frac{x^{2}}{y^{3}}$

b) B=  $\frac{x^{2}y^{-3}}{(x^{-1}y^{4})^{-3}}$=$\frac{x^{2}y^{-3}}{(x^{3}y^{-12})}$=$x^{2-3}y^{-3+12}$=$x^{-1}y^{9}$=$\frac{y^{9}}{x}$

Bài 6.4: Cho x, y là các số thực dương…

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$

=$\frac{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}})}{x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}}$

=$x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$

=$\sqrt[3]{xy}$

b) $(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}})^{\sqrt{3}+1}$ . $\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

=$\frac{x^{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}}{y^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}$ . $\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

= $\frac{x^{3+\sqrt{3}}}{y^{2}}$ . $\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

=$x^{2}$

Bài 6.5: Chứng minh rằng…

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ - $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$

=$\sqrt{(1+\sqrt{3})^{2}}$ - $\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}$

=(1+$\sqrt{3}$)+(1-$\sqrt{3}$)=2(đpcm)

Bài 6.6: Không sử dụng máy tính cầm tay…

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $6\sqrt{3}$=$\sqrt{36}\sqrt{3}$=$\sqrt{108}$>$3\sqrt{6}$=$\sqrt{54}$ mà 5>1

=> $5^{6\sqrt{3}}$>$5^{3\sqrt{6}}$

b) Ta có: $(\frac{1}{2})^{\frac{-4}{3}}$=$(2)^{\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}$.$(2)^{\frac{2}{3}}$=$(2)^{\frac{1}{2}}$.$(2)^{\frac{2}{3}}$=$(2)^{\frac{7}{6}}$

Do 2>1 và $\frac{4}{3}$ > $\frac{7}{6}$ nên $(2)^{\frac{4}{3}}$>$(2)^{\frac{7}{6}}$

=> $\frac{1}{2}^{\frac{-4}{3}}$>$\sqrt{2}$.$(2)^{\frac{2}{3}}$

Bài 6.7: Nếu một khoản tiền gốc P…

Hướng dẫn giải:

Do người đó gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng nên được tính lãi 2 lần trong 1 năm. Sau 2 năm thì được 4 lần. 

Sau 2 năm số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:

120.$(1+\frac{5%}{2})^{4}$≈132,46(triệu đồng)

Bài 6.8: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á…

Hướng dẫn giải:

Sau 20 năm kể từ năm 2021, dân số của quốc gia đó là:

A=19.$2^{\frac{20}{30}}$≈30 (triệu người)