Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 15: Giới hạn của dãy số

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là...

Hướng dẫn giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) là:

$u_{1}$=1 $u_{2}$=$\frac{1}{2}$  $u_{3}$=-$\frac{1}{3}$  $u_{4}$=$\frac{1}{4}$   $u_{5}$=-$\frac{1}{5}$

b) Khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 là $\left | \frac{(-1)^{n}}{n} \right |$=$\frac{1}{n}$  ∀n∈N*

Ta có: $\frac{1}{n}$<0,01⟺$\frac{1}{n}$<$\frac{1}{100}$⟺n>100

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Bài 2: Chứng minh rằng...

Hướng dẫn giải:

$\left | u_{n} \right |$=$\left | \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n}} \right |$=$(\frac{1}{3})^{n}$,

$(\frac{1}{3})^{n}$=0

=> $\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n}}$=0

Bài 3: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn...

Hướng dẫn giải:

$v_{n}$=$u_{n}$-1=$\frac{(-1)^{n}}{n}$→0 khi n→ +∞

Vậy $v_{n}$=$\frac{(-1)^{n}}{n}$=0

Bài 4: Cho dãy số...

Hướng dẫn giải:

$u_{n}$-3=-$\frac{1}{2^{n}}$→0 khi n→ +∞ 

Do vậy $u_{n}$ =3.

Bài 5: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m...

Hướng dẫn giải:

Sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là $u_{1}$=$\frac{2}{3}$.5 

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao $u_{1}$ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là: 

$u_{2}$=$\frac{2}{3}$.$u_{1}$=5.$(\frac{2}{3})^{2}$

Ta thấy độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn tạo thành một cấp số nhân với số hạng tổng quát là $u_{n}$=5.$(\frac{2}{3})^{n}$

Ta có: $(\frac{2}{3})^{n}$=0 do đó, un =0

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn...

Hướng dẫn giải:

Ta có: $u_{n}$+$v_{n}$=(2+$\frac{1}{n}$)+(3-$\frac{2}{n}$)=5-$\frac{1}{n}$

+) $u_{n}$+$v_{n}$-5=(5-$\frac{1}{n}$)-5=-$\frac{1}{n}$→0 khi n→ +∞

Do vậy, ($u_{n}$+$v_{n}$) =5

+) $u_{n}$-2=(2+$\frac{1}{n}$)-2=$\frac{1}{n}$→0 khi n→+∞

 Do vậy, $u_{n}$ =2

Và $v_{n}$-3=(3-$\frac{2}{n}$)-3=-$\frac{2}{n}$→0 khi n→+∞

Do vậy, $v_{n}$ =3

Vậy ($u_{n}$+$v_{n}$) =$u_{n}$+$v_{n}$ 

Bài 2: Tìm...

Hướng dẫn giải:

$\frac{\sqrt{2n^{2}+1}}{n+1}$=$\frac{\sqrt{n^{2}(2+\frac{1}{n^{2}})}}{n+1}$=$\frac{n\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}}}{n(1+\frac{1}{n})}$=$\sqrt{2}$

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Bài 1: Làm quen với việc tính tổng vô hạn...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}$=$\frac{1}{2}$ và công bội q=$\frac{1}{2}$

Do đó, tổng của n số hạng đầu là:

$S_{n}$=$u_{1}$+$u_{2}$+…+$u_{n}$=$\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$=1-$(\frac{1}{2})^{n}$

b) S=$S_{n}$ =(1-$(\frac{1}{2})^{n}$)=1-$(\frac{1}{2})^{n}$=1

Bài 2: Tính tổng...

Hướng dẫn giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}$=2 và q=$\frac{1}{7}$

Do đó, S=$\frac{u_{1}}{1-q}$=$\frac{2}{1-\frac{1}{7}}$=$\frac{7}{3}$

Bài 3: (Giải thích nghịch lí Zeno)...

Hướng dẫn giải:

a) + Để chạy hết A1A2=a=100 (km), Achilles phải mất  t1=1 (h). Với thời gian t1 này, rùa đã chạy được A2A3=1 (km).

+ Để chạy hết A2A3=1(km), Achilles phải mất t2=$\frac{1}{100}$(h). Với thời gian t2 này, rùa đã chạy được A3A4=$\frac{1}{100}$ (km)

Vậy, để chạy hết quãng đường từ $A_{n}$ đến $A_{n+1}$ với $A_{n}$$A_{n+1}$=$\frac{1}{100^{n-2}}$ (km)

Achilles phải mất thời gian $t_{n}$=$\frac{1}{100^{n-1}}$ (h)

b) Thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là:

T=1+$\frac{1}{100}$+$\frac{1}{100^{2}}$+...+$\frac{1}{100^{n-1}}$+...$\frac{1}{100^{n}}$+ … (h) 

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có u1=1 và q=$\frac{1}{100}$

Ta có: T=$\frac{u_{1}}{1-q}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{100}}$=1$\frac{1}{99}$ (giờ) 

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết giới hạn vô cực...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là u0=50

Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là u1=2u0=2.50

Ta dự đoán được sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn là un=$2^{n-1}$.50 với n>1.

b) Giả sử sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn sẽ vượt 10 000.

$S_{n}$=$\frac{50.(2^{n}-1)}{2-1}$= 10 000 ⇒ $2^{n}$ = 201 ⇒ n ≈ 7.651

Vậy số lượng vi khuẩn sẽ vượt 10000 con sau 7.651 × 4 = 30.604 giờ

Bài 2: Tính...

Hướng dẫn giải:

Ta có: n-$\sqrt{n}$=n(1-$\frac{1}{\sqrt{n}}$) mà n=+∞ ; (1-$\frac{1}{\sqrt{n}}$)=1

Do đó, n-$\sqrt{n}$ =+∞

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 5.1: Tìm các giới hạn sau...

Hướng dẫn giải:

a)$\frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1}$=$\frac{n^{2}(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(2+\frac{1}{n^{2}})}$=$\frac{1}{2}$

b) ($\sqrt{n^{2}+2n}$-n)=$\frac{(n^{2}+2n)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}$=$\frac{2n}{\sqrt{n^{2}(1+\frac{2}{n})}+n}$=$\frac{2n}{n\sqrt{(1+\frac{2}{n})}+n}$=1

Bài tập 5.2: Cho hai dãy số không âm...

Hướng dẫn giải:

a) $u_{n}^{2}$=($u_{n}$.$u_{n}$) =2.2=4 và ($v_{n}$-$u_{n}$) =3-2=1

Vậy $\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}}$=4

b) (2$v_{n}$) =(2.$v_{n}$) =2.3=6 và ($u_{n}$+2$v_{n}$) =2+6=8

Vì $u_{n}$≥0, $v_{n}$≥0 với mọi n nên $u_{n}$+2$v_{n}$≥0 với mọi n và (u_{n}+2$v_{n}$) =8>0

Do đó, $\sqrt{u_{n}+2v_{n}}$=2$\sqrt{2}$

Bài tập 5.3: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi...

Hướng dẫn giải:

a) $u_{n}$=$\frac{n^{2}+1}{2n-1}$=$\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}}}$

Vì $u_{n}$=$\frac{n^{2}+1}{2n-1}$=+∞

b) Ta có: $v_{n}$=($\sqrt{2n^{2}+1}$-n)=($\sqrt{n^{2}(2+\frac{1}{n^{2}})}$-n)=n($\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}-1}$)

Vì $\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}-1}$=$\sqrt{2}$ -1>0 và n =+∞

Nên n($\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}-1}$)=+∞

Vậy $v_{n}$=$\sqrt{2n^{2}+1}$-n =+∞

Bài tập 5.4: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số...

Hướng dẫn giải:

 a) 1,(12) = 1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...

=1+12.$10^{-2}$+12.$10^{-4}$+12.$10^{-6}$+… 

= 1 + 12($10^{-2}$ + $10^{-4}$ +…

$10^{-2}$ + $10^{-4}$  +… là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}$=$10^{-2}$ và q=$10^{-2}$ nên $10^{-2}$+$10^{-4}$+$10^{-6}$+....=$\frac{10^{-2}}{1-10^{-2}}$=$\frac{1}{99}$

Vậy 1,12=1+12.$\frac{1}{99}$=$\frac{37}{33}$

b) Ta có: 3,102=3+0,102+0,000102+…

=3+102.$10^{-3}$+102.$10^{-6}$+102.$10^{-9}$+…

=3+102.($10^{-3}$+$10^{-6}$+$10^{-9}$+…)

$10^{-3}$+$10^{-6}$+$10^{-9}$+…là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u-1=$10^{-3}$ và q=$10^{-3}$ 

Nên: $10^{-3}$ +$10^{-6}$+$10^{-9}$+…=$\frac{10^{-3}}{1-10^{-3}}$=$\frac{1}{999}$

Vậy 3,102=3+102.$\frac{1}{999}$=$\frac{1033}{333}$

Bài tập 5.5: Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc...

Hướng dẫn giải:

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

150 + 150 . 5% = 150(1 + 0,05). 

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

S=150.(1+0,05+$0,05^{2}$+$0,05^{3}$+$0,05^{4}$+…)

Lại có 1+0,05+$0,05^{2}$+$0,05^{3}$+$0,05^{4}$+… là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1=1 và công bội q=0,05.

Do đó, 1+0,05+$0,05^{2}$+$0,05^{3}$+$0,05^{4}$+…=$\frac{u_{1}}{1-q}$=$\frac{1}{1-0,05}$=$\frac{20}{19}$

=> S=150.$\frac{20}{19}$≈158(mg)

Bài tập 5.6: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A...

Hướng dẫn giải:

Ta có, AA1=AB.sin B =h.sin a

Ta có: $\hat{B}$+$\widehat{BAA_{1}}$ = $90^{o}$ và $\widehat{A_{1}A_{1}A_{2}}$+$\widehat{BAA_{1}}$= $90^{o}$ 

suy ra $\widehat{A_{1}AA_{2}}$=$\hat{B}$=α

Tam giác AA1A2 vuông tại A2 nên 

A1A2=AA1.sin $\widehat{A_{1}AA_{2}}$ =h.sin .sin =h.$\alpha $(đồng vị).

Chứng minh tương tự, ta được $A_{n-1}$-$A_{n}$=h.$\alpha $

Ta có: AA1A2A3…=AA1+A1A2+A2A3+…+An-1An+…

=h.sin +h. +…+h. +… 

Vì góc B là góc nhọn nên sin B = sin α < 1, do đó |sin α|<1.

Khi đó, độ dài của AA1A2A3... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1=h sin α và công bội q = sinα.

Do đó AA1A2A3…=u11-q=h.$\frac{sin\alpha }{1-sin\alpha }$