Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 5: Dãy số

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân $P_{n}$  (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức $P_{n}$=500$(1+0,02)^{n} $. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta có: n = 2030 – 2020 = 10.

Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là

$P_{10}$=500.$(1+0,02)^{10}$ ≈ 609 (nghìn người).

1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết dãy số vô hạn...

Hướng dẫn giải:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

$u_{1}$=$0^{2}$=0; $u_{2}$=$1^{2} $=1; $u_{3}$=$2^{2} $=4; $u_{4}$=$3^{2} $=9; $u_{5}$=$4^{2} $=16

Dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là $u_{n}$=$(n-1)^{2}$ với n N*.

Bài 2: Nhận biết dãy số hữu hạn...

Hướng dẫn giải:

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 theo thứ tự từ bé đến lớn là: 

0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

b) Ta có:  $u_{n}$=$(n-1)^{2}$ với n∈N* và n ≤ 8.

Bài 3: a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên...

Hướng dẫn giải:

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q+1.

Số hạng tổng quát của dãy số là $u_{n}$=5n+1 (n∈N*).

b) Số hạng của dãy số là: 6; 11; 16; 21; 26.

Số hạng đầu $u_{1}$=6, số hạng cuối $u_{5}$=26.

2. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết các cách cho một dãy số...

Hướng dẫn giải:

a) Công thức tổng quát $u_{n}$=5n (nN*).

b) Số hạng đầu của dãy số là $u_{1}$=5.

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ

n – 1 là $u_{n}$=$u_{n}$–1+5 (nN*, n>1)

Bài 2: a) Viết năm số hạng đầu của dãy số...

Hướng dẫn giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số (un) với số hạng tổng quát $u_{n}$=n! là: 1; 2; 6; 24; 12

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci ($F_{n}$) là

$F_{1}$=1

$F_{2}$=1

$F_{3}$=$F_{1}$+$F_{2}$=2

$F_{4}$=$F_{3}$+$F_{2}$=3

$F_{5}$=$F_{4}$+$F_{3}$=5

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

Bài 1: Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $u_{n+1}$=3n+1-1=3n+3-1=3n+2

=>$u_{n+1}$>$u_{n}$  với mọi n$\epsilon $N*

b) Ta có: $v_{n+1}$=$\frac{1}{(n+1)^{2}}$

Xét $v_{n+1}$-$v_{n}$=$\frac{1}{(n+1)^{2}}$-$\frac{1}{n^{2}}$

=$\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}$<0, ∀n$\epsilon $ℕ*

=> $v_{n+1}$ < $v_{n}$ ∀n$\epsilon $ℕ*

Bài 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số...

Hướng dẫn giải:

$u_{n+1}$=$\frac{1}{(n+1)+1}$=$\frac{1}{(n+2)}$

$u_{n+1}$-$u_{n}$=$\frac{1}{(n+2)}$-$\frac{1}{(n+1)}$=-$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$<0, ∀n∈N*

Tức là $u_{n+1}$<$u_{n}$, ∀n∈N*

Vậy ($u_{n}$) là dãy số giảm

Bài 3: Nhận biết dãy số bị chặn...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $u_{n}$=$\frac{n+1}{n}$=1+$\frac{1}{n}$>1, ∀n∈N*

b) Ta có: $\frac{1}{n}$≤1, ∀n∈N*

=>$u_{n}$=1+$\frac{1}{n}$≤2,∀n∈N*

Bài 4: Xét tính bị chặn của dãy số...

Hướng dẫn giải:

Ta có: $u_{n}$= 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn: $u_{n}$ = 2n – 1 ≤ M với mọi n∈ N*.

Vậy dãy số ($u_{n}$) bị chặn dưới.

Bài 5: Anh Thanh vừa được tuyển vào một công ty công nghệ...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $s_{n}$ = 200 + 25(n − 1) 

=> $s_{5}$=200+25(5-1)=300 

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc là 300 triệu đồng.

b) Ta có:

$s_{n}$=$s_{n-1}$+25 

⟺$s_{n}$-$s_{n-1}$=25>0 với mọi n≥2, n∈N*

Tức là $s_{n}$>$s_{n-1}$ với mọi n ≥ 2, n ∈N*.

Vậy ($s_{n}$) là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 2.1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ...

Hướng dẫn giải:

a)

b)

c) 

Bài tập 2.2: Dãy số ($u_{n}$) cho bởi hệ thức truy hồi...

Hướng dẫn giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

$u_{1}$=1

$u_{2}$ = 2$u_{1}$ = 2;

$u_{3}$ = 3$u_{2}$  = 6;

$u_{4}$ = 4$u_{3}$  = 24; 

$u_{5}$  = 5$u_{4}$   = 120.

b) Ta có:

$u_{2}$ =2!

$u_{3}$ = 3!

$u_{4}$ = 4!;

$u_{5}$  = 5!

$u_{n}$ = n!.

Bài tập 2.3: Xét tính tăng, giảm của...

Hướng dẫn giải:

a) Xét $u_{n+1}$-$u_{n}$=2n+1-2n-1=2>0, 

Tức là $u_{n+1}$>$u_{n}$∀n∈N*

Vậy ($u_{n}$) là dãy số tăng.

b) Ta có: $u_{1}$=$\frac{1}{2}$>0; $u_{2}$=-$\frac{1}{4}$<0

$u_{3}$=$\frac{1}{8}$>0; $u_{4}$=-$\frac{1}{16}$<0

Vậy dãy số $u_{n}$ không tăng, cũng không giảm.

Bài tập 2.4: Trong các dãy số...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $u_{n}$= n – 1 ≥ 0 với mọi n∈N*.

Do đó, dãy số ($u_{n}$) bị chặn dưới với mọi n∈N*.

Dãy số  ($u_{n}$) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

$u_{n}$=n – 1 ≤ M với mọi n∈N*.

b) Ta có: $u_{n}$=$\frac{n+1}{n+2}$=$\frac{n+2-1}{n+2}$=1-$\frac{1}{n+2}$ với mọi n∈N*.

Vì 0<$\frac{1}{n+2}$≤$\frac{1}{3}$, ∀n∈N*

=> 1-$\frac{1}{3}$<1-$\frac{1}{n+2}$<1

hay $\frac{2}{3}$≤$u_{n}$<1 ∀n∈N*

Vậy $u_{n}$  là dãy số bị chặn.

c) Ta có: – 1≤sin n≤1 ∀n∈N*

=> – 1 ≤$u_{n}$≤ 1 n N*.

Vậy $u_{n}$  là dãy số bị chặn.

d) Ta có:

$(-1)^{n-1}$=1 ∀n∈N* và n lẻ.

$(-1)^{n-1}$= -1 ∀n∈N* và n chẵn.

$(n)^{2}$≥0  với mọi n∈N*

Vậy dãy không bị chặn

Bài tập 2.5: Viết số hạng tổng quát của dãy số... 

Hướng dẫn giải:

a) Các số này có dạng 3n với n với n∈N*

Vậy số hạng tổng quát là $u_{n}$ = 3n với n∈N*

b) Các số này có dạng là 4n + 1 với n∈  N*.

Vậy số hạng tổng quát là $u_{n}$=4n+1 với n∈  N*.

Bài tập 2.6: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng...

Hướng dẫn giải:

a) Ông An nhận được số tiền sau một tháng là:

A1=100.$(1+\frac{0,06}{12})^{1}$=100,5 (triệu đồng).

Ông An nhận được số tiền sau hai tháng là:

A2=100.1+$(1+\frac{0,06}{12})^{2}$=101,0025 (triệu đồng).

b) Ông An nhận được số tiền sau một năm là:

A12=100.$(1+\frac{0,06}{12})^{12}$≈106,17 (triệu đồng).

Bài tập 2.7: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$A_{0}$=100 (triệu đồng)

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 1 tháng là:

$A_{1}$ =100+100 . 0,8%  – 2 = 98,8 (triệu đồng).

Tương tự:

$A_{2}$  = 98,8+98,8 . 0,8%  – 2= 97,5904 (triệu đồng).

$A_{3}$ = 97,5904+ 97,5904 . 0,8%  – 2=96,3711232 (triệu đồng).

$A_{4}$  = 96,3711232+ 96,3711232 . 0,8%  – 2 = 95,1420932 (triệu đồng).

$A_{5}$  = 95,1420932+ 95,1420932 . 0,8%  – 2 = 93,9032332 (triệu đồng).

$A_{6}$  =93,9032332+ 93,9032332 . 0,8%  – 2= 92,6544632 (triệu đồng).

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (An) là:

$A_{0}$ = 100; $A_{n}$ = $A_{n-1}$ – (2 – $A_{n}$ – 1. 0,8%) = 1,008$A_{n-1}$ – 2.