Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 2: Công thức lượng giác

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f1(t) = 5sin t và phát lại được nốt thuần f2(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f1(t) + f2(t), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), tức là âm kết  hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta có: f(t) = = f1(t) + f2(t) = 5sin t + 5 cos t = 5(sin t + cos t)

Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được

sint + cost = $\sqrt{2}$ sin(t+$\frac{\Pi }{4}$)

Do đó, f(t)= 5$\sqrt{2}$ sin(t+$\frac{\Pi }{4}$)

Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ âm k= 5$\sqrt{2}$ và pha ban đầu của sóng âm là $\frac{\Pi }{4}$

1. CÔNG THỨC CỘNG

Bài 1: Nhận biết công thức cộng

a) Cho a=$\frac{\Pi }{3}$ và b= $\frac{\Pi }{6}$ hãy chứng tỏ cos(a - b) = cosacosb + sinasinb

b) Bằng cách viết a + b = a - (-b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b)

c) Bằng cách viết sin(a−b)=cos[ $\frac{\Pi }{2}$ -(a-b)] = cos[($\frac{\Pi }{2}$-a)+b] và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a - b)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có VT= a - b = $\frac{\Pi }{3}$ - $\frac{\Pi }{6}$ = $\frac{\Pi }{6}$

 nên cos (a-b) =cos$\frac{\Pi }{6}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

VP = cos a .cos b =sin a.sin b   

=cos$\frac{\Pi }{3}$  . cos$\frac{\Pi }{6}$  + sin$\frac{\Pi }{3}$ . sin$\frac{\Pi }{6}$ 

= $\frac{1}{2}$ . $\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . $\frac{1}{2}$

= $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy VT=VP(đpcm)

b) Cos(a+b) = cos[a-(-b)] = cosa cos(-b) + sina sin(-b) = cos a cos b - sin a sin b

c) Ta có: Sin(a-b) = Cos[$\frac{\Pi }{2}$ -(a-b)] = cos[($\frac{\Pi }{2}$-a+b]

= Cos($\frac{\Pi }{2}$ -a).Cosb - Sin($\frac{\Pi }{2}$-a).Sinb

=sina . cosb - cosa . sinb

Vậy sin(a - b) = sina . cosb - cosa . sinb

Bài 2: Chứng minh rằng

a) sinx−cosx= $\sqrt{2}$ sin(x-$\frac{\Pi }{4}$)

b) Tan($\frac{\Pi }{4}$ - x) = $\frac{1-tanx}{1+tanx}$ ( x≠$\frac{\Pi }{2}$ + k$\Pi $, x≠$\frac{3\Pi }{4}$ + k$\Pi $, k∈Z)

Hướng dẫn giải:

a)  $\sqrt{2}$ sin(x-$\frac{\Pi }{4}$)

= $\sqrt{2}$( sinxcos$\frac{\Pi }{4}$ - cosxsin$\frac{\Pi }{4}$)

=$\sqrt{2}$ sinx . $\frac{\sqrt{2}}{2}$ - $\sqrt{2}$ cosx . $\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) Ta có VT = Tan($\frac{\Pi }{4}$ - x)

= $\frac{tan\frac{\Pi }{4}-tanx}{1+tan\frac{\Pi }{4}tanx}$ = $\frac{1-tanx}{1+tanx}$ = VP(đpcm)

(Do tan$\frac{\Pi }{4}$ =1)

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

Bài 1: Xây dựng công thức nhân đôi.

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: sin 2a; cos 2a; tan 2a.

Hướng dẫn giải:

sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa

cos2a=cos(a+a)=cosacosa−sinasina= $cos^{2}a$ - $sin^{2}a$ = 2$cos^{2}a$ - 1 = 1 - 2sin

tan2a = tan(a+a) = $\frac{tana + tan a}{1 - tanatana}$ = $\frac{1tana}{1 - tan^{2}a}$

Bài 2: Không dùng máy tính, tính cos$\frac{\Pi }{8}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: cos2a=2 $cos^{2}a$ - 1

Suy ra cosa = $\sqrt{\frac{1+cos2a}{2}}$

Do đó, Cos$\frac{\Pi }{8}$= $\sqrt{\frac{1+cos\frac{\Pi }{4}}{2}}$ =$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}} }{2}$

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG

Bài 1: Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng

a) Từ các công thức cộng cos(a+b) và cos(a-b), hãy tìm cosacosb; sinasinb

b) Từ các công thức cộng sin(a+b) và sin(a-b), hãy tìm: sinacosb

Hướng dẫn giải:

a) cos(a−b)−cos(a+b)=cosacosb+sinasinb−(cosacosb−sinasinb)

=> 2sinasinb=cos(a−b)−cos(a+b)

=> sinasinb=$\frac{1}{2}$[sin(a−b)+sin(a+b)]

Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thúc:

A= $cos75^o$$cos15^o$

B= sin$\frac{5\Pi }{12}$Cos$\frac{7\Pi }{12}$

Hướng dẫn giải:

A= $cos75^o$$cos15^o$

=$\frac{1}{2}$[$cos75^o$-$cos15^o$+cos ($cos75^o$+$cos15^o$)]

= $\frac{1}{2}$ . ( $\frac{1}{2}$ + 0) = $\frac{1}{4}$

B= sin$\frac{5\Pi }{12}$Cos$\frac{7\Pi }{12}$

=$\frac{1}{2}$[sin($\frac{5\Pi }{12}$ - sin($\frac{5\Pi }{12}$)+$\frac{7\Pi }{12}$)]

=$\frac{1}{2}$(-sin$\frac{\Pi}{6}$ + sin$\Pi$)

= $\frac{1}{2}$(-$\frac{1}{2}$ + 0) = -$\frac{1}{4}$

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

Bài 1: Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a-b, v = a+b và viết các công thức nhận được.

Hướng dẫn giải:

Đặt u=a – b; v=a+b.

Ta có: u+v=a-b+a+b=2a

Và u-v=a-b-a+b=-2b

Suy ra, a=$\frac{u+v}{2}$, b=-$\frac{u-v}{2}$

Khi đó: cos$\frac{u+v}{2}$ . cos(-$\frac{u+v}{2}$) = $\frac{1}{2}$(cosu + cosv)

(cosu + cosv) = 2 cos$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

sin$\frac{u+v}{2}$sin(-$\frac{u-v}{2}$) = $\frac{1}{2}$(cosu-cosv)

Cosu - cosv = -2sin$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$

lại có: sin$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{-u-v}{2}$ = $\frac{1}{2}$(sinu+sinv)

Mà (sinu+sinv) = 2sin$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức 

B= cos$\frac{\Pi}{9}$ + cos$\frac{5\Pi}{9}$ + cos$\frac{11\Pi}{9}$

Hướng dẫn giải:

B= cos$\frac{\Pi}{9}$ + cos$\frac{5\Pi}{9}$ + cos$\frac{11\Pi}{9}$

=2cos($\frac{\frac{\Pi}{9}+\frac{5\Pi}{9}}{2}$) . cos($\frac{\frac{\Pi}{9}-\frac{5\Pi}{9}}{2}$) + cos$\frac{11\Pi}{9}$

= 2cos$\frac{\Pi}{3}$ . cos(-$\frac{2\Pi}{9}$) + cos$\frac{11\Pi}{9}$

= 2 x $\frac{1}{2}$ cos(-$\frac{2\Pi}{9}$) + cos$\frac{11\Pi}{9}$

= Cos($\frac{2\Pi}{9}$) + cos$\frac{11\Pi}{9}$

= 2cos($\frac{\frac{-2\Pi}{9}+\frac{11\Pi}{9}}{2}$) . cos($\frac{\frac{-2\Pi}{9}-\frac{11\Pi}{9}}{2}$)

= 2cos$\frac{\Pi}{2}$cos(-$\frac{13\Pi}{18}$)

= 2 . 0 . cos(-$\frac{13\Pi}{18}$) = 0

Bài 3: Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng , bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp f1 và tần số cao f2 liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm 

y=sin(2πf1t)+sin(2πf2t), ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây)

a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số cosin

Hướng dẫn giải:

a) y=sin(2π770t)+sin(2π1209t)=sin(1540πt)+sin(2418πt)

b) sin(1540πt)+sin(2418πt)=2sin$\frac{1540\Pi t+2418\Pi t}{2}$ . cos($\frac{1540\Pi t-2418\Pi t}{2}$)

=2sin (1979 πt)cos (-439πt) 

=2sin (1979 πt)cos (439πt) 

Vậy ta có hàm số: y=2sin 1979πtcos (439πt).

BÀI TẬP

Bài tập 1.7: Sử dụng $15^o$ = $45^o$ - $30^o$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^o$

Hướng dẫn giải:

Cos$15^o$  = Cos($45^o$ -  $30^o$) = Cos$45^o$Cos$30^o$ + Sin$45^o$Sin$30^o$

= $\frac{\sqrt{2} }{2}$ . $\frac{\sqrt{3} }{2}$ + $\frac{\sqrt{2} }{2}$ . $\frac{1}{2}$ = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Sin$15^o$= sin($45^o$ -  $30^o$)= sin$45^o$cos$30^o$-cos$45^o$sin$30^o$

=$\frac{\sqrt{2} }{2}$ . $\frac{\sqrt{3} }{2}$ - $\frac{\sqrt{2} }{2}$ . $\frac{1}{2}$ = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

tan$15^o$ = tan($45^o$ -  $30^o$) = $\frac{tan45^{o}-tan30^{o}}{1+tan45^{o}.tan30^{o}}$

=$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}$

=2-$\sqrt{3} $

Cot $15^o$ = $\frac{1}{tan15^{o}}$ = $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

Bài tập 1.8: Tính

a) Cos(a+$\frac{\Pi}{6}$), biết sina=$\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\Pi}{2}$<a<π

b) Tan(a-$\frac{\Pi}{4}$), biết cosa=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$ và π<a<$\frac{3\Pi}{2}$

Hướng dẫn giải:

a) Vì $\frac{\Pi}{2}$<a<π suy ra cosa<0

Do đó: cosa= -$\sqrt{1-a} $ = -$\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{3}}^{2})}$ = $\frac{\sqrt{6} }{3}$

Ta có: cos(a+$\frac{\Pi}{6}$) . $\frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . $\frac{1}{2}$ = -$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}$

b)Vì π<a<$\frac{3\Pi}{2}$ nên sin a <0, do đó tan a >0

=> Tana  = $\sqrt{\frac{1}{a}-1} $ = 2$\sqrt{2}$

Ta có: tan(a-$\frac{\Pi}{4}$)

= $\frac{tana-tan\frac{\Pi}{4}}{1+tanatan\frac{\Pi}{4}}$

= $\frac{\frac{-2\sqrt{2}}{3}-1}{1+(-\frac{2\sqrt{2}}{3})}$

= -17 + 12$\sqrt{2}$

Bài tập 1.9: Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết:

a) sina= $\frac{1}{3}$ và $\frac{\Pi}{3}$<a<π

b) sina+cosa= $\frac{1}{2}$ và $\frac{\Pi}{2}$<a<$\frac{3\Pi}{4}$

Hướng dẫn giải:

a) Vì $\frac{\Pi}{3}$<a<π 

Suy ra cosa<0

Ta có: $sin^{2}a$ + $cos^{2}a$ = 1

=> cosa = -$\sqrt{1-sin^{2}a} $ = -$\sqrt{1-\frac{1}{9}} $ = $\frac{-2\sqrt{2}}{3}$

=> tana = $\frac{sina}{cosa}$ = 2$\sqrt{2} $

sin2a=2sinacosa = 1 . $\frac{1}{3}$ . (-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$) = -$\frac{4\sqrt{2}}{3}$

cos2a= $cos^{2}a$ - $sin^{2}a$ = $\frac{7}{9}$

tan2a= $\frac{2tana}{1-tan2a}$ = $\frac{2.2\sqrt{2}}{1-(2\sqrt{2})^{2}}$ = $\frac{-4\sqrt{2}}{7}$

b)  sina+cosa= $\frac{1}{2}$ => $(sina+cosa)^{2}$ = $\frac{1}{4}$

=> $sin^{2}a$ + $cos^{2}a$ + 2sinacosa= $\frac{1}{4}$

=> sin 2a = $\frac{1}{4}$ -1 = -$\frac{3}{4}$

Vì $\frac{\Pi}{2}$<a<$\frac{3\Pi}{4}$

=> $\Pi$<2a<$\frac{3\Pi}{2}$ => cos2a<0

cos2a=−$\sqrt{1-sin^{2}2a} $ = -$\sqrt{1-\frac{9}{16}}$ = -$\frac{\sqrt{7}}{4}$

tan2a = $\frac{sin2a}{cos2a}$ = $\frac{\frac{-3}{4}}{\frac{-\sqrt{7}}{4}}$

Bài tập 1.10: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A= $\frac{sin\frac{\Pi }{15}cos\frac{\Pi }{10}+sin\frac{\Pi }{10}cos\frac{\Pi }{15}}{cos\frac{2\Pi }{15}cos\frac{\Pi }{5}-sin\frac{2\Pi }{15}sin\frac{\Pi }{5}}$

b) B= sin$\frac{\Pi }{32}$cos$\frac{\Pi }{32}$cos$\frac{\Pi }{16}$cos$\frac{\Pi }{8}$

Hướng dẫn giải:

a) A= $\frac{sin\frac{\Pi }{15}cos\frac{\Pi }{10}+sin\frac{\Pi }{10}cos\frac{\Pi }{15}}{cos\frac{2\Pi }{15}cos\frac{\Pi }{5}-sin\frac{2\Pi }{15}sin\frac{\Pi }{5}}$

= $\frac{\frac{1}{2}(sin\frac{-\Pi}{30}+sin\frac{\Pi}{6})+\frac{1}{2}(sin\frac{\Pi}{30}+sin\frac{\Pi}{6})}{\frac{1}{2}(cos\frac{-\Pi}{15}+cos\frac{\Pi }{3})-\frac{1}{2}(cos\frac{-\Pi}{15}-cos\frac{\Pi}{3})}$

= $\frac{-sin\frac{\Pi }{30}+sin\frac{\Pi }{30}+2sin\frac{\Pi }{6}}{2cos\frac{\Pi }{3}}$

= $\frac{sin\frac{\Pi }{6}}{cos\frac{\Pi }{3}}$ = 1

b) B= sin$\frac{\Pi }{32}$cos$\frac{\Pi }{32}$cos$\frac{\Pi }{16}$cos$\frac{\Pi }{8}$

= $\frac{1}{2}sin\frac{\Pi}{16}cos\frac{\Pi}{16}cos\frac{\Pi}{8}$

= $\frac{1}{4}sin\frac{\Pi}{8}cos\frac{\Pi}{8}$ 

= $\frac{1}{8}sin\frac{\Pi}{4}$ = $\frac{\sqrt{2}}{8}$

Bài tập 1.11: Chứng ming đẳng thức sau:

sin(a+b)sin(a−b)= $sin^{2}a$ -$sin^{2}b$ = $cos^{2}b$-$cos^{2}a$

Hướng dẫn giải:

sin(a+b)sin(a−b)=(sinacosb+cosasinb)(sinacosb−cosasina)

=$(sinacosb)^{2}$ - $(cosasinb)^{2}$ = $sin^{2}a$(1-$sin^{2}b$) - (1-$sin^{2}a$)$sin^{2}b$

= $sin^{2}a$ - $sin^{2}b$

= $cos^{2}b$(1-$cos^{2}a$) - $cos^{2}a$(1-$cos^2b$)

= $cos^{2}b$-$cos^{2}a$ 

Bài tập 1.12: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}$ = $75^{o}$, $\widehat{c}$= $45^{o}$ và a = BC = 12cm

a) Sử dụng công thức S= $\frac{1}{2}$absinC và định lí sin, hãy chứng minh diện tích tam giác ABC cho bởi công thức S=$\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}$

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC

Hướng dẫn giải:

a) Theo đinh lí sin: sin=$\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$

Suy ra SinA=$\frac{asinB}{b}$

$\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}$ = $\frac{a^{2}sinBsinC}{2\frac{asinB}{b}}$ = $\frac{1}{2}$absinC = S

b) S= $\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}$ 

=$\frac{12^{2} . \frac{1}{2}(cos30^{o}-cos120^{o})}{2sin(180^{o}-75^{o}-45^{0})}$

= 36 + 12$\sqrt{3}$($cm^{2}$)

Bài tập 1.13: Trong vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức 

x(t)=Acos(ωt+φ), trog đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A>0) và φ∈[−π;π] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

x1(t)=2cos($\frac{\Pi}{3}$t+$\frac{\Pi}{6}$) (cm)

x2(t)=2cos($\frac{\Pi}{3}$t−$\frac{\Pi}{3}$) (cm)

Tìm dao động tổng hợp x(t)=x1(t)+x2(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Hướng dẫn giải:

x(t)=x1(t)+x2(t)= 2cos($\frac{\Pi}{3}$t+$\frac{\Pi}{6}$) + 2cos($\frac{\Pi}{3}$t−$\frac{\Pi}{3}$) 

= 2[2cos($\frac{\Pi}{3}$t - $\frac{\Pi}{12}$)cos$\frac{\Pi}{4}$]

=2$\sqrt{2}$cos($\frac{\Pi}{3}$t-$\frac{\Pi}{12}$)

Biên độ là A=$\sqrt{2}$ , pha ban đầu là -$\frac{\Pi}{12}$