Ôn tập kiến thức Toán 11 KNTT bài: Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

[toc:ul]

1. SỐ TIỀN CỦA MỘT NIÊN KIM 

- Khái niệm niên kim: 

+ Niên kim là một khoản tiền được trả bằng các khoản thanh toán đều đặn. 

+ Niên kim có thể được thực hiện thanh
toán sau những khoảng thời gian đều đặn (hằng năm, hằng quý, hằng tháng,..); thường được thực hiện vào cuối khoảng thời gian thanh toán. 

+ Số tiền của một niên kim là tổng của tất cả các khoản thanh toán riêng lẻ từ thời điểm thanh toán đầu tiên cho đến khi
thanh toán cuối cùng được thực hiện, cùng với tất cả tiền lãi.

Hoạt động 1

a) Ta có: 5 năm = 60 tháng

Lãi suất theo tháng là 0,5%

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất là:

A$_{1}$=10+10 . 0,5%=10.(1+0,5%)=10,05 (triệu đồng).

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ hai là:

A$_{2}$=(A$_{1}$+10).(1+0,5%)

=[10.(1+0,5%)+10].(1+0,5%) 

=10.(1+0,5%)$^{2}$+10.(1+0,5%) 

=20,15025 (triệu đồng).

b) Tiếp tục làm như trên ta thấy số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ n là:

A$_{n}$=10.(1+0,5%)$^{n}$+10.(1+0,5%)$^{n-1}$+...+10.(1+0,5%) (triệu đồng) 

c) Số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng là:

A=A$_{59}$+10=[10.(1+0,5%)$^{59}$+10.(1+0,5%)$^{58}$+...+10.(1+0,5%)+10 

A=10+10.(1+0,5%++10.(1+0,5%)$^{2}$+...+10.(1+0,5%)$^{2}$ 

Đây là tổng của 60 số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu tiên a=10 và công bội q=1+0,5%, nên ta có:

A=10.$\frac{1-(1+0,5%)^{60}}{1-(1+0,5%)}$=10.$\frac{(1+0,5%)^{60}-1}{0,5%}$ 

A≈697,7 (triệu đồng).

- Khoản thanh toán theo niên kim là tiền thuê định kì, kí hiệu R. Gọi i là lãi suất trong mỗi khoảng thời gian thanh toán; n là số lần trả.

- Số tiền A$_{f}$ của một niên kim là:

A$_{f}$=R+R(1+i)+R(1+i)$^{2}$+...+R(1+i)$^{n-1}$

=> Đây là tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân, với số hạng đầu a=R và công bội r=1+i.

Số tiền niên kim

Số tiền A$_{f}$ của một niên kim bao gồm n khoản thanh toán đều đặn bằng nhau và bằng R với lãi suất i trong mỗi khoảng thời gian được cho bởi:

A$_{f}$=$\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$

Vận dụng 1.

Gọi R (triệu đồng) là số tiền anh Bình cần đầu tư hằng tháng.

Ta có: 2 năm = 24 tháng => n=24

Lãi suất theo tháng là 0,5% => i=0,5%.

Ta có: A$_{f}$=200 (triệu đồng)

Từ công thức A$_{f}$=R.$\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$

=> R=$\frac{A_{f}.i}{(1+i)^{n}-1}$ . Thay số ta được:

R=$\frac{200.0,5%}{(1+0,5%)^{24}-1}$≈7,865 (triệu đồng)

Vậy anh Bình cần đầu tư mỗi tháng khoảng 7,865 triệu đồng hay 7 865 000 đồng mỗi tháng để có 200 triệu đồng sau 2 năm.

2. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA MỘT NIÊN KIM 

Hoạt động 2

a) Một năm có 4 quý nên lãi suất trong mỗi quý là i=6% :4=1,5%

Số khoảng thời gian tính lãi trong vòng 5 năm là 5 . 4=20

b) 

Giá trị hiện tại của số tiền 100 triệu đồng đó là:

A$_{p}$=100.(1+1,5%)$^{-20}$≈74,25 (triệu đồng)

- Nếu số tiền A$_{f}$ được trả trong n khoảng thời gian kể từ bây giờ và lãi suất trong mỗi khoảng thời gian là i, thì giá trị hiện tại A$_{p}$ của nó được cho bởi.

A$_{p}$=A$_{f}$.(1+i)$^{-n}$=R.$\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$.(1+i)$^{-n}$ 

      =R$\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$

Giá trị hiện tại của một niên kim

Giá trị hiện tại của một niên kim bao gồm n khoản thanh toán đều đặn bằng nhau và bằng R với lãi suất i trong mỗi khoảng thời gian được cho bởi:

A$_{p}$=R. $\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$

Vận dụng 2

Mỗi năm thanh toán 500 triệu đồng trong vòng 10 năm, tức là khoản thanh toán đều đặn bằng nhau và bằng 500 triệu đồng hay R=500 (triệu đồng) và số khoản thanh toán là n=10 (năm).

Lãi suất 8% mỗi năm hay i=8%

Giá trị hiện tại của giải đặc biệt trên là:

A$_{p}$=R.$\frac{1-(1+p)^{-n}}{i}$=500.$\frac{1-(1+8%)^{-10}}{8%}$

A$_{p}$≈3355,0407 (triệu đồng).

Vậy giá trị hiện tại của giải đặc biệt là khoảng 3,36 tỉ đồng.

Lãi kép là: 

5 000-3355,0407=1 644,9593 (triệu đồng)

3. MUA TRẢ GÓP

Khái niệm

Trả góp là phương thức cho vay tiền mà các kì trả nợ gốc và lãi trùng nhau. Số tiền trả nợ của mỗi kì là bằng nhau theo thỏa thuận và số lãi được tính dựa trên số dư nợ gốc và thời hạn thực tế của hạn trả nợ. Trả góp còn áp dụng trong việc cho vay tiêu dùng, mua tài sản giá trị lớn như nhà đất, ô tô,…

Hoạt động 3

Ta có: 5 năm = 60 tháng => n=60

Lãi suất hàng tháng là i=$\frac{5}{6}$%

Số tiền trả dần hàng tháng là R=10 (triệu đồng).

Anh Hưng có thể mua xe ô tô với mức giá là:

A$_{p}$=R.$\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$=10.$\frac{1-(1+\frac{5}{6}%)^{-60}}{\frac{5}{6}%}$

A$_{p}$≈470,65 (triệu đồng).

Vậy hiện tại anh Hưng có thể mua được chiếc xe ô tô với giá khoảng 470,65 triệu đồng.

Mua trả góp

Nếu một khoản vay A$_{p}$ phải được trả trong n lần thanh toán đều đặn bằng nhau với lãi suất i trong mỗi khoảng thời gian thì số thiền R của mỗi khoản thanh toán là:

R=$\frac{i.A_{p}}{1-(1+i)^{-n}}$

Vận dụng 3

Ta có: 10 năm = 120 tháng => n=120

Lãi suất hàng tháng là i=0,75%

Số tiền vay là A$_{p}$=1 tỉ đồng = 1 000 triệu đồng.

Số tiền mỗi tháng họ sẽ phải trả cho ngân hàng là:

R=$\frac{i.A_{p}}{1-(1+i)^{-n}}$=$\frac{0,75%.1000}{1-(1+0,75%)^{-120}}$≈12,67 (triệu đồng).

Vậy mỗi tháng họ phải trả cho ngân hàng khoảng 12,67 triệu đồng.