Hướng dẫn giải nhanh toán 11 KNTT bài 7: Cấp số nhân

1. ĐỊNH NGHĨA

Bài 1: Nhận biết cấp số nhân...

Hướng dẫn giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

$u_{1}$= 3 . $2^{1}$ = 6; $u_{2}$= 12; $u_{3}$ = 24; $u_{4}$ = 48; $u_{5}$ = 96. 

b) Ta có: $u_{n-1}$=3.$2^{n-1}$=$\frac{u_{n}}{2}$,

=> Hệ thức truy hồi liên hệ giữa un và $u_{n}$ –1 là: $u_{n}$=2.$u_{n-1}$

Bài 2: Dãy số không đổi...

Hướng dẫn giải:

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số nhân với công bội q = 1.

Bài 3: Cho dãy số ($u_{n}$) với...

Hướng dẫn giải:

$\frac{u_{n}}{U_{n-1}}$=$\frac{2.5^{n}}{2.5^{n-1}}$=5 với mọi n≥2

Tức là $u_{5}$=5$u_{n-1}$ với mọi n≥2.

Vậy $u_{n}$ là một cấp số nhân với $u_{1}$= 2 . $5^{1}$ = 10 và công bội q = 5

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Bài 1: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $u_{2}$ = $u_{1}$ . q;

$u_{3}$ = $u_{2}$ . q = ($u_{1}$ . q) . q = $u_{1}$ . $q^{2}$; 

$u_{4}$ = $u_{3}$ . q = $u_{1}$ . $q^{3}$; 

$u_{5}$= $u_{4}$ . q = $u_{1}$ . $q^{3}$. 

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo $u_{1}$ và q là $u_{n}$=$u_{1}$.$q^{n-1}$ với n≥2

Bài 2: Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn...

Hướng dẫn giải:

Số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}$= 5 000 và công bội q = 1,08 và $u_{6}$ là số lượng vi khuẩn sau 5 giờ nuôi cấy.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là 

$u_{6}$=$u_{1}$$q^{6-1}$≈7 347 (con)

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Bài 1: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân...

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $u_{2}$= $u_{1}$ . q; ...; 

$u_{n-1}$= $u_{1}$. $q^{(n-1)-1}$=$u_{1}$ . $q^{n-2}$; un= $u_{1}$.$q^{n-1}$

Do đó, $S_{n}$= $u_{1}$+$u_{1}$. q + ... + $u_{1}$ .  $q^{n-2}$+ $u_{1}$.$q^{n-1}$

b) Ta có: q . $S_{n}$=q . ($u_{1}$ +$u_{1}$ . q + ... + $u_{1}$ . $q^{n-2}$+$u_{1}$. $q^{n-1}$)

=>q . $S_{n}$=$u_{1}$ . q + $u_{1}$ . $q^{2}$ + ... + $u_{1}$ . $q^{n-1}$+$u_{1}$ . $q^{n}$ .

c) $S_{n}$ – q . $S_{n}$=($u_{1}$ +$u_{1}$ . q + … + $u_{1}$ . $q^{n-2}$+$u_{1}$. $q^{n-1}$) –($u_{1}$ . q + $u_{1}$ . q2 + ... + $u_{1}$ . $q^{n-1}$ + $u_{1}$ . $q^{n}$)   

⇒ 1 – q$S_{n}$ = $u_{1}$ – $u_{1}$ . $q^{n}$ 

⇒ 1 – q$S_{n}$= $u_{1}$(1 – $q^{n}$) 

⇒ $S_{n}$=$u_{1}$$\frac{1-q^{n}}{1-q}$ với q≠1. 

Bài 2: Nếu cấp số nhân có công bội q = 1...

Hướng dẫn giải:

Nếu cấp số nhân có công bội q=1 thì cấp số nhân là u1, u1, ..., u1,... Khi đó

$S_{n}$=$u_{1}$+$u_{1}$+ ... + $u_{1}$=n . $u_{1}$ (tổng của n số hạng u1).

Bài 3: Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào...

Hướng dẫn giải:

Ta có: 3 năm = 12 quý 

+ Theo phương án 1:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3 = 15 (triệu đồng).

Từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng trong mỗi quý là 0,5 . 3 = 1,5 (triệu đồng).

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}$=15 và công sai d=1,5. 

Sau 3 năm làm việc, lương của người nông dân là:

$S_{12}$=$\frac{12}{2}$=2$u_{1}$+(12-1)d =62.15+11.1,5=279(triệu đồng).

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3=15 (triệu đồng).

Lương của quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó. Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1'=15 và công bội q=1,05. 

Sau 3 năm làm việc, lương của người nông dân là:

$S_{12}$=$\frac{u_{1}(1-q^{12})}{1-q}$ ≈238,76 (triệu đồng).

Vậy theo phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 2.15: Xác định công bội, số hạng thứ 5...

Hướng dẫn giải:

a) Cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$= 1 và công bội là q =4.

Số hạng thứ 5 là $u_{5}$= $u_{1}$ . $q^{5-1}$=1 . $4^{4}$= 256.

Số hạng thứ 100 là $u_{100}$=$4^{100-1}$=$4^{99}$

b) Cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$=2 và công bội là: q=-$\frac{1}{4}$

Số hạng thứ 5 là $u_{5}$=$u_{1}$.$q^{5-1}$=2.$(-\frac{1}{4})^{4}$=$\frac{1}{128}$

Số hạng thứ 100 là $u_{100}$=2.$(-\frac{1}{4})^{100-1}$=-$\frac{1}{2^{197}}$

Bài tập 2.16: Viết năm số hạng đầu của dãy số...

Hướng dẫn giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 

$u_{1}$= 5.1 = 5; $u_{2}$= 10; $u_{3}$= 15; $u_{4}$= 20; $u_{5}$= 25

Với n≥2 ta có $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}$=1+$\frac{1}{n+1}$ luôn thay đổi.

Do đó, dãy số ($u_{n}$) không là cấp số nhân.

b) Năm số hạng đầu của dãy số là: 

$u_{1}$= 5; $u_{2}$ = 25; $u_{3}$=125; $u_{4}$= 625; $u_{5}$= 3 125;

Với mọi n≥2 ta có $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}$ = 5

Tức là $u_{n}$=5$u_{n-1}$ với mọi n≥2.

Do đó, ($u_{n}$) là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}$= 5, công bội q = 5 

c) Năm số hạng đầu của dãy số là: 

$u_{1}$ = 1; $u_{2}$= 2.$u_{1}$  = 2;  $u_{3}$ = 6; $u_{4}$ = 24; $u_{5}$= 120

Ta có: $u_{n}$=n$u_{n-1}$, => $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}$=n luôn thay đổi với mọi n≥2.

Vậy dãy số ($u_{n}$) không là cấp số nhân. 

d) Năm số hạng đầu của dãy số là:  

$u_{1}$ = 1; $u_{2}$= 5.$u_{1}$ = 5;  $u_{3}$ = 25; $u_{4}$ = 125; $u_{5}$=625

Ta có: $u_{n}$=5$u_{n-1}$=> $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}$=5 với mọi n≥2.

Vậy dãy số ($u_{n}$) là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}$=1, công bội q=5 

Bài tập 2.17: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng...

Hướng dẫn giải:

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q. Ta có:

$u_{6}$ =$u_{1}$.$q^{6-1}$=$u_{1}$.$q^{5}$=96

và $u_{3}$=$u_{1}$.$q^{3-1}$=u1.$q^{2}$=12

Do đó: $\frac{u_{6}}{u_{3}}$ = $\frac{u_{6}.q^{5}}{u_{3}.q^{2}}$= $q^{3}$=$\frac{96}{12}$=8→q=2

=> $u_{1}$.$q^{2}$=12  ⬄ $u_{1}$.$2^{2}$=12→$u_{1}$=3

Vậy số hạng thứ 50 của cấp số nhân là

$u_{50}$=$u_{1}$.$q^{50-1}$=3.$2^{49}$

Bài tập 2.18: Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2...

Hướng dẫn giải:

Cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$=5 và công bội q=2.

Ta có: $S_{n}$=$\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$=5 115.

⟺1-$2^{n}$=-1 023⟺$2^{n}$=1 024⟺n=10.

Vậy ta phải lấy tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.

Bài tập 2.19: Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng...

Hướng dẫn giải:

Giá trị của chiếc máy ủi sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}$=3 và công bội q=0,8.

Vậy sau 5 năm sử dụng giá trị của chiếc máy ủi là

$u_{5}$=$u_{1}$.$q^{5-1}$=3.$0,8^{4}$ (tỉ đồng) =1 228 800 000 (đồng).

Bài tập 2.20: Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng...

Hướng dẫn giải:

Như vậy, dân số của quốc gia đó sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1=97 và công bội q=1,0091

Dân số của quốc gia đó vào năm 2030 chính là dân số của quốc gia sau 10 năm kể từ năm 2020 là:

$u_{11}$=$u_{1}$.$q^{11-1}$≈106,2(triệu người)

Bài tập 2.21: Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần...

Hướng dẫn giải:

Lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau mỗi ngày dùng thuốc lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1=50 và công bội q=$\frac{1}{2}$.

Tổng lượng thuốc trong máu sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp là

$S_{10}$=$\frac{u_{1}(1-q^{10})}{1-q}$=$\frac{25575}{256}$= 99,902 (mg).