Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới Bài tập cuối chương VI

Bài 1 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Điều kiện xác định của $x^{-3}$

A. $x\in \mathbb{R}$        B. $ x\geq 0$           C. $x\neq 0$             D. $x>0$

 Hướng dẫn giải

Chọn C

Bài 2 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Điều kiện xác định của $x^{\frac{3}{5}}$ là:

A. $x\in \mathbb{R}$        B. $ x\geq 0$           C. $x\neq 0$             D. $x>0$

  Hướng dẫn giải

Đáp án A 

Bài 3 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tập xác định cảu hàm số $y=log_{0,5}(2x-x^{2})$

A. $(-\infty;0 )\cup (2;+\infty )$                    B. $\mathbb{R}$\${0;2}$

C. $[0;2]$                                            D.$(0;2)$

 Hướng dẫn giải

$y=log_{0,5}(2x-x^{2})$

$ => 2x-x^{2}>0$ => 0<x<2 

=> Chọn D

Bài 4 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y=(0,5)^{x}$    B. $y=\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}$    C. $y=(\sqrt{2})^{x}$    D. $y=\left ( \frac{e}{\pi} \right )$

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án C

Bài 5 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

A. $log_{3}x$

B. $log_{\sqrt{3}}x$

C. $log_{\frac{1}{e}}x$

D. $y=log_{\pi}x$

 Hướng dẫn giải

Vì 0 < $\frac{1}{e}$ <1 => Đáp án C. 

Bài 6 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Nếu $3^{x}=5$ thì $3^{2x}$ bằng

A. 15             B. 125                  C. 10                D. 25

 Hướng dẫn giải

Vì $3^{x}=5$ => $x=log_{3}5$

Có $3^{2x}=3^{2log_{3}5}$ => $x=25$ => Đáp án D

Bài 7 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho $A=4^{log_{2}3}$. Khi đó giá trị của A bằng:

A. 9                   B. 6                C. $\sqrt{3}$                 D. 81

 Hướng dẫn giải

Chọn đáp án A 

Bài 8 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Nếu $log_{a}b=3$ thì $log_{a}b^{2}$ bằng

A. 9                B. 5                 C. 6                   D. 8

 Hướng dẫn giải

$log_{a}b^{2}=2log_{a}b=2.3=6$ => Đáp án C

Bài 9 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Nghiệm của phương trình $3^{2x-5}=27$

A. 1               B, 4                    C. 6                  D. 7 

 Hướng dẫn giải

$3^{2x-5}=27$

<=> $2x-5=3$

<=> $x=4$ => Đáp án B

Bài 10 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Nghiệm của phương trình $log_{0,5}(2-x)=-1$

A. 0               B. 2,5           C. 1,5             D. 2

 Hướng dẫn giải

$log_{0,5}(2-x)=-1$

$<=> log_{0,5}(2-x)=log_{0,5}(2)$

$<=> 2-x=2$

$<=> x=0$

Bài 11 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tập nghiệm của bất phương trình $(0,2)^{x}>1$

A. $(-\infty ; 0,2)$

B. $(0,2; +\infty )$

C. $(0; +\infty )$

D. $(-\infty ; 0)$

 Hướng dẫn giải

Chọn đáp án D

Bài 12 trang 56 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tập nghiệm của bất phương trình: $log_{\frac{1}{4}}x>-2$

A. $(-\infty ;16)$

B. $(16;+\infty )$

C. $(0;16)$

D. $(-\infty ;0)$

 Hướng dẫn giải

$log_{\frac{1}{4}}x>-2$

ĐKXĐ: x>0

$<=> x<\left ( \frac{1}{4} \right )^{-2}$

$<=> x<16$

Kết hợp với đkxđ => 0<x<16

=> Đáp án C 

Bài 13 trang 57 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 và đồ thị của ba hàm số mũ $y=a^{x}; y=b^{x}; y=c^{x}$ được cho bởi hình 14. Kết luận nào sau đây đúng với ba số a, b, c

A. c < a < b       B. c < b < a             C. a < b < c           D. b < c < a

Hướng dẫn giải

Nhận thấy $y=c^{x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ => 0 < c < 1

$y=a^{x}; y=b^{x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ => a, b >1.

Cho cùng giá trị của $x=x_{0}$ ta thấy $a^{x_{0}} < b^{x_{0}}$

=> Đáp án A 

Bài 14 trang 57 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 và đồ thị của ba hàm số lôgarit $y=log_{a}x, y=log_{b}x, y=log_{c}x$ được cho bởi hình 15. Kết luận nào sau đây đúng với ba số a, b, c

A. c < a < b       B. c < b < a             C. a < b < c           D. b < c < a

Hướng dẫn giải

Nhận thấy $y=log_{a}x$ đồng biến nên a > 1

$y=log_{b}x, $y=log_{c}x$ nghịch biến nên 0 < b, c <1

Nhận thấy b < c

=> b < c < a Đáp án D 

Bài 15 trang 57 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a 

a) $A=\sqrt[3]{5\sqrt{\frac{1}{5}}}$ với $a=5$

b) $B=\frac{4\sqrt[5]{2}}{\sqrt[3]{4}}$ với $a=\sqrt{2}$

 Hướng dẫn giải

a) $A=\sqrt[3]{5\sqrt{\frac{1}{5}}}$

$A=\sqrt[3]{5\left ( \frac{1}{5} \right )^{\frac{1}{2}}}$

$A=\sqrt[3]{5.5^{\frac{-1}{2}}}$

$A=\sqrt[3]{5^{\frac{1}{2}}}=5^{\frac{1}{6}}=a^{\frac{1}{6}}$

b) Có $a=\sqrt{2} => a^{2}=2$

$B=\frac{4\sqrt[5]{2}}{\sqrt[3]{4}}$

$B=\frac{2^{2}.2^{\frac{1}{5}}}{2^{2.\frac{1}{3}}}$

$B=\frac{2^{\frac{11}{5}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

$B=\frac{a^{2.\frac{11}{5}}}{a^{2.\frac{2}{3}}}=\frac{a^{\frac{22}{5}}}{a^{\frac{4}{3}}}=a^{\frac{46}{15}}$

Bài 16 trang 57 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn mỗi biết thức sau 

a) $A=\frac{x^{\frac{5}{4}}.y+x.y^{\frac{5}{4}}}{\sqrt[4]{x}.\sqrt[4]{y}}$

b) $B=\left ( \sqrt[7]{\frac{x}{y}\sqrt[5]{\frac{y}{x}}} \right )^{\frac{35}{4}}$

 Hướng dẫn giải

a) $A=\frac{x^{\frac{5}{4}}.y+x.y^{\frac{5}{4}}}{\sqrt[4]{x}.\sqrt[4]{y}}$

$A=\frac{x^{\frac{1}{4}}.x.y+x.y.y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}$

$A=\frac{xy(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}=xy$

b) $B=\left ( \sqrt[7]{\frac{x}{y}\sqrt[5]{\frac{y}{x}}} \right )^{\frac{35}{4}}$

$B=\left ( \sqrt[7]{\frac{x}{y}\cdot \left ( \frac{x}{y} \right )^{\frac{-1}{5}}} \right )^{\frac{35}{4}}$

$B=\left ( \sqrt[7]{\left ( \frac{x}{y} \right )^{\frac{4}{5}}} \right )^{\frac{35}{4}}$

$B=\left ( \left ( \frac{x}{y} \right )^{\frac{4}{35}} \right )^{\frac{35}{4}}=\frac{x}{y}$

Bài 17 trang 57 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau

a) $y=\frac{5}{2^{x}-3}$

b) $y=\sqrt{25-5^{x}}$

c) $y=\frac{x}{1-lnx}$

d) $y=\sqrt{1-log_{3}x}$

 Hướng dẫn giải

a) $y=\frac{5}{2^{x}-3}$

ĐKXĐ: $2^{x}-3\neq 0$ =>  $2^{x}\neq 3 $

=> $x\neq log_{2}3$

=> TXĐ: $D=\mathbb{R}$ \ ${log_{2}3}$

b) $y=\sqrt{25-5^{x}}$

ĐKXĐ: $25-5^{x}\geq  0$

$=> 5^{x}\leq 5^{2}$

$=> x\leq 2$

TXĐ: $D=(-\infty ;2]$

c) $y=\frac{x}{1-lnx}$

ĐKXĐ:$\left\{\begin{matrix}x>0\\ 1-lnx\neq 0\end{matrix}\right.$

$=> \left\{\begin{matrix}x>0\\ x\neq e\end{matrix}\right.$

$D=(0;+\infty )$ \ ${e}$

d) $y=\sqrt{1-log_{3}x}$

ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix}x>0\\1-log_{3}x\geq  0\end{matrix}\right.$

$=> \left\{\begin{matrix}x>0\\x\leq 3\end{matrix}\right.$

Bài 18 trang 58 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho $a> 0, a\neq 1 và a^{\frac{3}{5}}=b$

a) Viết $a^{6}, a^{3}b, \frac{a^{9}}{b^{9}}$ theo lũy thừa cơ số b

b) Tính $log_{a}b, log_{a}(a^{2}b^{5}), log_{\sqrt[5]{a}}\left ( \frac{a}{b} \right )$

 Hướng dẫn giải

a) $a^{6}=(a^{\frac{3}{5}})^{10}=b^{10}$

$a^{3}b=(a^{\frac{3}{5}})^{5}.b=b^{5}.b=b^{6}$

$\frac{a^{9}}{b^{9}}=\frac{(a^{\frac{3}{5}})^{15}}{b^{9}}=\frac{b^{15}}{b^{9}}=b^{6}$

b) $log_{a}b=\frac{3}{5}$

$log_{a}a^{2}b^{5}=log_{a}a^{2}+log_{a}b^{5}=2log_{a}a+5log_{a}b$

$=2+5\cdot \frac{3}{5}=5$

$log_{\sqrt[5]{a}}\left ( \frac{a}{b} \right )=log_{\sqrt[5]{a}}a-log_{\sqrt[5]{a}}b=5log_{a}a-5log_{a}b$

$=5-5\cdot \frac{3}{5}=2$

Bài 19 trang 58 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Giải mỗi phương trình sau:

a) $3^{x^{2}-4x+5}=9$

b) $0,5^{2x-4}=4$

c) $log_{3}(2x-1)=3$

d) $logx+log(x-3)=1$

 Hướng dẫn giải

a) $3^{x^{2}-4x+5}=9$

$<=> x^{2}-4x+5=2$

$<=> x^{2}-4x+3=0$

$<=> x=3$ hoặc $x=1$

b) $0,5^{2x-4}=4$

$<=> 2x-4=log_{0,5}4$

$<=> 2x-4=-2$

$<=> 2x=2$

$<=> x=1$

c) $log_{3}(2x-1)=3$

$<=>log_{3}(2x-1)=log_{3}27$

$<=> 2x-1=27$

$<=> x=14$

d) $logx+log(x-3)=1$

ĐKXĐ: $x>3$

$<=> log(x^{2}-3x)=log10$

$<=> x^{2}-3x=10$

$<=> x^{2}-3x-10=0$

$<=> x =5$ hoặc $x=-2$ (không thỏa mãn đkxđ)

$=> x=5$

Bài 20 trang 58 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Giải mỗi bất phương trình sau: 

a) $5^{x}<0,125$

b) $\left ( \frac{1}{3} \right )^{2x+1}\geq 3$

c) $log_{0,3}>0$

d) $ln(x+4)>ln(2x-3)$

 Hướng dẫn giải

a) $5^{x}<0,125$

$<=> x < log_{5}0,125$

b) $\left ( \frac{1}{3} \right )^{2x+1}\geq 3$

$<=>2x+1\leq log_{\frac{1}{3}}3$

$<=>2x+1\leq -1$

$<=>x\leq -1$

c) $log_{0,3}>0$

$<=> x<1$

d) $ln(x+4)>ln(2x-3)$

ĐKXĐ: $x> \frac{3}{2}$

$<=> x+4>2x-3$

$<=> x<7$

Kết hợp vs ĐKXĐ: $\frac{3}{2}<x<7$

Bài 21 trang 58 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong một trận động đất, năng lượng giải toả E (đơn vị: Jun, kí hiệu J) tại tâm địa chấn ở M độ Richter được xác định xấp xỉ bởi công thức: log E ≈ 11,4+1,5M.

a) Tính xấp xỉ năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter.
b) Năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở 8 độ Richter gấp khoảng bao nhiêu lần năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter?

 Hướng dẫn giải

a) Tính xấp xỉ năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter:

Thay M = 5 vào công thức, ta có:

$log E ≈11,4 + 1,5.5 ≈18,9$

=> $E ≈10^{18,9}$

b) Tính tỷ lệ năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở 8 độ Richter so với tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter:

$log E ≈11,4 + 1,5.8 ≈23,4$

=> $E ≈10^{23,4}$

=> Gấp khoảng 31623 lần

Bài 22 trang 58 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong cây cối có chất phóng xạ $_{6}^{14}\textrm{C}$. Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ của nó bằng 86% độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó. Biết chu kì bán rã của $_{6}^{14}\textrm{C}$ là T = 5 730 năm, độ phóng xạ của chất phóng xạ tại thời điểm t được cho bởi công thức $H=H_{0}e^{-\lambda t}$ với $H_{0}$ là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t=0); $\lambda =\frac{ln2}{T}$ là hằng số phóng xạ

 Hướng dẫn giải

Từ đó, ta có thể tính được hằng số phóng xạ:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln 2}{5,730} \approx 0.12$

Giờ ta cần tìm thời gian $t$ mà đã trôi qua từ thời điểm mẫu gỗ cổ được sinh ra đến thời điểm hiện tại. Để tìm thời gian này, ta sử dụng tỷ lệ phóng xạ giữa mẫu gỗ cổ và mẫu gỗ tươi cùng loại:

$\frac{H}{H_0} = 0.86 = e^{-\lambda t}$

$t = \frac{\ln 0.86}{-\lambda} \approx 3,078$ năm

Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó là khoảng 3,078 năm.