Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài: bài tập cuối chương I

Bài tập 1: Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:

A. (0; π).

B. $(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2})$

C. $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$

D. (‒π; 0).

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số y = sinx (hình vẽ):

Quan sát đồ thị trên, ta thấy hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng

Bài tập 2: Hàm số nghịch biến trên khoảng (π; 2π) là:

A. y = sinx.

B. y = cosx.

C. y = tanx.

D. y = cotx.

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: D

Do (π; 2π) = (0 + π; π + π)

Mà hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) với k ∈ ℤ.

Do đó hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (π; 2π).

Bài tập 3: Nếu tan(a + b) = 3, tan(a – b) = ‒3 thì tan2a bằng:

A. 0.

B. $\frac{3}{5}$

C. 1.

D. $-\frac{3}{4}$

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: A

Ta có:

tan2a = tan[(a + b) + (a – b)] $=\frac{tan(a+b)+tan(a-b)}{1-tan(a+b)tan(a-b)}=\frac{3+(-3)}{1-3.(-3)}=0$

Bài tập 4: Nếu $cosa=\frac{1}{4}$ thì cos2a bằng:

A. $\frac{7}{8}$

B. $-\frac{7}{8}$

C. $\frac{15}{16}$

D. $-\frac{15}{16}$

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng: B

Ta có: $cos2a=2cos^{2}a-1=2.(\frac{1}{4})^{2}-1=2.\frac{1}{16}-1=-\frac{7}{8}$

Bài tập 5: Nếu cosa = $\frac{3}{5}$ và cosb = $-\frac{4}{5}$ thì cos(a + b)cos(a – b) bằng:

A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

$cos (a+b)cos(a-b) = \frac{1}{2}[cos(a+b+a-b) + cos(a+b-a+b)]$

$= \frac{1}{2}[cos2a + cos2b]$

Ta lại có:

$cos2a = 2cos^{2}a – 1 =2.(\frac{3}{5})^{2}-1=2.\frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}$

$cos2b = 2cos^{2}b – 1 =2.(-\frac{4}{5})^{2}-1=2.\frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}$

Do đó $cos(a+b)cos(a-b) =\frac{1}{2}[cos2a + cos2b] =\frac{1}{2}.(-\frac{7}{25}+\frac{7}{25})=0$

Bài tập 6: Nếu $sina=-\frac{\sqrt{2}}{3}$ thì $sin(a+\frac{\pi }{4})+sin(a-\frac{\pi }{4})$ bằng:

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $-\frac{2}{3}$

D. $-\frac{1}{3}$

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng: C

Aps dụng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:

$sin(a+\frac{\pi }{4})+sin(a-\frac{\pi }{4})$

$=2sin(\frac{a+\frac{\pi }{4}+a-\frac{\pi }{4}}{2})cos(\frac{a+\frac{\pi }{4}-a+\frac{\pi }{4}}{2})$

$=2sinacos\frac{\pi }{4}=2.(-\frac{\sqrt{2}}{3}).\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{2}{3}$

Bài tập 7: Số nghiệm của phương trình cosx = 0 trên đoạn [0; 10π] là:

A. 5.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: C

Dùng đồ thị hàm số

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = cosx cắt trục hoành tại 10 điểm A, B, C, …, K trên đoạn [0; 10π].

Vậy phương trình cosx = 0 có 10 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Bài tập 8: Số nghiệm của phương trình sinx = 0 trên đoạn [0; 10π] là:

A. 10.

B. 6.

C. 5.

D. 11.

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: D

Giải phương trình lượng giác

sinx = 0

⇔ x = kπ (k ∈ ℤ)

Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0 ≤ kπ ≤ 10π

⇔ 0 ≤ k ≤ 10

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 10}, khi đó ta tìm được 11 giá trị của x.

Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Bài tập 9: Nghiệm của phương trình cotx = ‒1 là:

A. $-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$

B. $\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$

C. $\frac{\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$

D. $-\frac{\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng: A

Ta có: cotx = -1 <=> $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$

Bài tập 10: Số nghiệm của phương trình $sin(x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ trên đoạn [0; π] là:

A. 4.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng: C

Dùng đồ thị hàm số

Đặt $x+\frac{\pi }{4}=\alpha $. Khi đó ta có phương trình $sin\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$

Xét đường thẳng $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và đồ thị hàm số y = sinα trên đoạn [0; π]:

Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ cắt đồ thị số y = sinα trên đoạn [0; π] tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $\alpha _{1}=\frac{\pi }{4}$và $\alpha _{2}=\frac{3\pi }{4}$

Mà $x+\frac{\pi }{4}=\alpha $ , khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị x là $x_{1}=0$ và $x_{2}=\frac{\pi }{2}

Vậy phương trình $sin(x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai nghiệm trên đoạn [0; π].

Bài tập 11: Vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn $[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}]$ rồi xác định số nghiệm của phương trình 3cosx + 2 = 0 trên đoạn đó.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: 3cosx + 2 = 0 $\Leftrightarrow cosx=-\frac{2}{3}$

Đường thẳng $y=-\frac{2}{3}$ và dồ thị hàm số y = cosx trên đoạn $[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}]$:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng $y=-\frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn $[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}]$ tại 4 điểm A, B, C, D.

Vậy phương trình 3cosx + 2 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn $[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}]$

Bài 12: Giải các phương trình sau:

a) $sin(2x-\frac{\pi }{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $cos(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}$

c) sin3x -cos5x =0

d) $cos^{2}x=\frac{1}{4}$

e) $sinx-\sqrt{3}cosx=0$

g) sinx + cosx = 0

Hướng dẫn trả lời: 

a) $sin(2x-\frac{\pi }{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow sin(2x-\frac{\pi }{6})=sin(-\frac{\pi }{3})$

$\Leftrightarrow 2x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi $ hoặc $2x-\frac{\pi }{6}=\pi -(-\frac{\pi }{3})+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{12}+k\pi $ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi $ và $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$

b) $cos(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow cos(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4})=cos\frac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow \frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+k2\pi $ hoặc $\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{18}+k\frac{4\pi }{3}$ hoặc $x=-\frac{7\pi }{18}+k\frac{4\pi }{3}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{18}+k\frac{4\pi }{3}$ và $x=-\frac{7\pi }{18}+k\frac{4\pi }{3}(k\in Z)$

c) sin3x -cos5x =0

$\Leftrightarrow sin3x=cos5x$

$\Leftrightarrow cos(\frac{\pi }{2}-3x)=cos5x$

$\Leftrightarrow 5x=\frac{\pi }{2}-3x+k2\pi $ hoặc $5x=-(\frac{\pi }{2}-3x)+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{4}$ hoặc $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{4}$ và $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$

d) $cos^{2}x=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{1+cos2x}{2}=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow cos2x=-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow cos2x=cos\frac{2\pi }{3}$

$\Leftrightarrow 2x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi $ hoặc $2x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\pi $ hoặc $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=\frac{\pi }{3}+k\pi $ và $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi (k\in Z)$

e) $sinx-\sqrt{3}cosx=0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=0$

$\Leftrightarrow sinxcos\frac{\pi }{3}-cosxsin\frac{\pi }{3}=0(do cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ và $sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\Leftrightarrow sin(x-\frac{\pi }{3})=0$

$\Leftrightarrow x-\frac{\pi }{3}=k\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=\frac{\pi }{3}+k\pi (k\in Z)$

g) sinx + cosx = 0

$\Leftrightarrow cosx=-sinx$

$\Leftrightarrow cosx=sin(-x)$

$\Leftrightarrow cosx=cos(\frac{\pi }{2}-(-x))$

$\Leftrightarrow cosx=cos(\frac{\pi }{2}+x)$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+x+k2\pi $ hoặc $x=-\frac{\pi }{2}-x+k2\pi $

$\Leftrightarrow 0x=\frac{\pi }{2}+k2\pi $ (loại) hoặc $2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$

Bài tập 13: Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 ≤ t < 24) cho bởi công thức $h=3cos(\frac{\pi t}{6}+1)+12$ (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021). Tìm t để độ sâu của mực nước là:

a) 15 m;

b) 9 m;

c) 10,5 m.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Để độ sâu của mực nước là 15 m thì $h=3cos(\frac{\pi t}{6}+1)+12=15$

$\Leftrightarrow cos(\frac{\pi t}{6}+1)=1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi t}{6}+1=k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow t=-\frac{6}{\pi }+12k(k\in z)$

Do $0\leq t<24$ nên $0\leq -\frac{6}{\pi }+12k<24$

$\Leftrightarrow \frac{6}{\pi }\leq 12k<24+\frac{6}{\pi }$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2\pi }\leq k<2+\frac{1}{2\pi }$

Mà $k\in Z$ nên $k\in ${1;2}

Với k = 1 thì $t=-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 10,09$ (giờ)

Với k = 2 thì $t=-\frac{6}{\pi }+12.2\approx 22,09$ (giờ)

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

b) Để độ sâu của mực nước là 9 m thì $h=3cos(\frac{\pi t}{6}+1)+12=9$

$\Leftrightarrow cos(\frac{\pi t}{6}+1)=-1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi t}{6}+1=\pi +k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow t=6-\frac{6}{\pi }+12k(k\in z)$

Do $0\leq t<24$ nên $0\leq 6-\frac{6}{\pi }+12k<24$

$\Leftrightarrow -6+\frac{6}{\pi }\leq 12k<18+\frac{6}{\pi }$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{2}+\frac{1}{2\pi }\leq k<\frac{3}{2}+\frac{1}{2\pi }$

Mà $k\in Z$ nên $k\in ${0;1}

Với k = 0 thì $t=6-\frac{6}{\pi }+12.0\approx 4,09$ (giờ)

Với k = 1 thì $t=6-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 16,09$ (giờ)

Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

c) Để độ sâu của mực nước là 10,5 m thì $h=3cos(\frac{\pi t}{6}+1)+12=10,5$

$\Leftrightarrow cos(\frac{\pi t}{6}+1)=-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\pi t}{6}+1=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $\frac{\pi t}{6}+1=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ (k\in Z)$

$\Leftrightarrow t=4-\frac{6}{\pi }+12k (1)$ hoặc $t=-4-\frac{6}{\pi }+12k (2)(k\in Z)$

Do $0\leq t<24$ nên từ (1) ta có: $0\leq 4-\frac{6}{\pi }+12k<24$

$\Leftrightarrow -4+\frac{6}{\pi }\leq 12k<20+\frac{6}{\pi }$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{3}+\frac{1}{2\pi }\leq k<\frac{5}{3}+\frac{1}{2\pi }$

Mà $k\in Z$ nên $k\in ${0;1}

Với k = 0 thì $t=4-\frac{6}{\pi }+12.0\approx 2,09$ (giờ)

Với k = 1 thì $t=4-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 14,09$ (giờ)

Do $0\leq t<24$ nên từ (2) ta có: $0\leq -4-\frac{6}{\pi }+12k<24$

$\Leftrightarrow 4+\frac{6}{\pi }\leq 12k<28+\frac{6}{\pi }$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}+\frac{1}{2\pi }\leq k<\frac{7}{3}+\frac{1}{2\pi }$

Mà $k\in Z$ nên $k\in ${1;2}

Với k = 1 thì $t=-4-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 6,09$ (giờ)

Với k = 2 thì $t=-4-\frac{6}{\pi }+12.2\approx 18,09$ (giờ)

Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 10,5 m.

Bài tập 14: Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số $y=4,8.sin\frac{x}{8}$ và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 39.

a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Tìm chiều rộng đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

b) Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6 m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 13,1 m.

c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hoá đó là 9 m sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 4,3 m.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Hai vị trí O và A là hai vị trí chân cầu, tại hai vị trí này ta có: y = 0

<=> $4,8.sin\frac{x}{9}=0$

<=> $sin\frac{x}{9}=0$

<=> $\frac{x}{9}=k\pi (k \in Z)$

<=> $x=9k\pi (k \in Z)$

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số $y=4,8.sin\frac{x}{9}$ cắt trục hoành tại điểm O và A liên tiếp nhau với x ≥ 0.

Xét k = 0, ta có $x_{1}$ = 0;

Xét k = 1, ta có $x_{2}$ = 9π.

Mà $x_{1}$ = 0 nên đây là hoành độ của O, do đó $x_{2}$ = 9π là hoành độ của điểm A.

Khi đó OA = 9π ≈ 28,3.

Vậy chiều rộng của con sông xấp xỉ 28,3 m.

b) Do sà lan có độ cao 3,6 m so với mực nước sông nên khi sà lan đi qua gầm cầu thì ứng với y = 3,6.

$\Leftrightarrow 4,8.sin\frac{x}{9}=3,6$

$\Leftrightarrow sin\frac{x}{9}=\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{9}\approx 0,848+k2\pi $ hoặc $\frac{x}{9}\approx \pi -0,848+k2\pi $

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp  ta được kết quả gần đúng là 0,848)

$\Leftrightarrow x\approx 7,632+18k\pi $ hoặc $x\approx 9\pi -7,632+18k\pi (k\in Z)$

Xét k = 0, ta có x1 ≈ 7,632; x2 ≈ 20,642.

Ta biểu diễn các giá trị x vừa tìm được trên hệ trục tọa độ vẽ đồ thị hàm số $y=4,8.sin\frac{x}{9}$ như sau:

Khi đó để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì khối hàng hóa có độ cao 3,6 m phải có chiều rộng nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng BC trên hình vẽ.

Mà BC ≈ 20,642 – 7,632 = 13,01 (m) < 13,1 (m).

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 13,1 m.

c) Giả sử sà lan chở khối hàng được mô tả bởi hình chữ nhật MNPQ:

Khi đó QP = 9; OA = 28,3 và OQ = PA.

Mà OQ + QP + PA = OA

⇒ OQ + 9 + OQ ≈ 28,3

⇒ OQ ≈ 9,65

Khi đó $y_{M}=4,8.sin\frac{x_{M}}{9}=4,8.sin\frac{OQ}{9}\approx 4,8.sin\frac{9,65}{9}\approx 4,22(m)$ < 4,3 (m).

Vậy để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 4,3 m.