Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1. Mặt phẳng

Hoạt động 1: Sân vận động Old Trafford (Hình 2) ở thành phố Manchester, có biệt danh là “Nhà hát của những giấc mơ”, với sức chứa 75 635 người, là sân vận động lớn thứ hai ở Vương quốc Anh.

Quan sát Hình 2 và cho biết mặt sân vận động thường được làm phẳng hay cong.

Hướng dẫn trả lời: 

Mặt của sân vận động là mặt phẳng.

Luyện tập 1: Nêu ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh của một phần mặt phẳng.

Hướng dẫn trả lời: 

Các ví dụ trong thực tiễn nói về một phần của mặt phẳng là: Mặt bàn, mặt ghế, nền nhà, ...

2. Điểm thuộc mặt phẳng

Hoạt động 2: Quan sát Hình 1, nếu coi mặt sân Napoléon là một phần của mặt phẳng (P) thì đỉnh của kim tự tháp có thuộc mặt phẳng (P) hay không?

Hướng dẫn trả lời: 

Nếu coi mặt sân Napoléon là một phần của mặt phẳng (P) thì đỉnh của kim tự tháp không thuộc mặt phẳng (P).

3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian

Luyện tập 2: Vẽ hình biểu diễn của mặt phẳng (P) và đường thẳng a xuyên qua nó.

Hướng dẫn trả lời: 

II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Hoạt động 3: Hình 9 là hình ảnh xà ngang trong môn Nhảy cao.

Quan sát Hình 9 và cho biết ta cần bao nhiêu điểm đỡ để giữ cố định được xà ngang đó.

Hướng dẫn trả lời: 

Dựa vào Hình 9, cần có 2 điểm đỡ để giữ cố định được xà ngang.

Hoạt động 4: Quan sát Hình 10. Đó là hình ảnh bếp củi với kiềng ba chân. “Kiềng ba chân” là vận dụng bằng sắt, có hình vòng cung được gắn ba chân, dùng để đặt nồi lên khi nấu bếp. Bếp củi và kiềng ba chân là hình ảnh hết sức quen thuộc với gia đình ở Việt Nam. Vì sao kiềng ba chân khi đặt trên mặt đất không bị cập kênh?

Hướng dẫn trả lời: 

Vì ba điểm chân kiềng sẽ luôn luôn nằm trên một mặt phẳng.

Hoạt động 5: Hình 15 mô tả một phần của phòng học. Nếu coi bức tường chứa bảng và sàn nhà là hình ảnh của hai mặt phẳng thì giao hai mặt phẳng đó là gì?

Hướng dẫn trả lời: 

Giao giữa bức tường chứa bảng với nền nhà là một đường thẳng.

Luyện tập 3: Trong Ví dụ 4 xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: S ∈ (SAC) và S ∈ (SBD)

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) đi qua điểm S.

Ta lại có: O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) nên O ∈ (SAC);

                O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) nên O ∈ (SBD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) đi qua điểm O.

Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) chính là đường thẳng SO.

Vậy (SAC) ∩ (SBD) = SO.

III. MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG

Hoạt động 6: Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Lấy hai điểm B và C thuộc đường thẳng d (Hình 18).

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có đi qua đường thẳng d hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng d?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Dựa vào hình vẽ ta thấy mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C đi qua đường thẳng d.

b) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng d.

Hoạt động 7: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Lấy điểm A trên đường thẳng a (A khác O), lấy điểm B trên đường thẳng b (B khác O) (Hình 19).

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, O có đi qua hai đường thẳng a và b hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai đường thẳng a và b?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, O có đi qua hai đường thẳng a và b.

b) Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng a và b.

Luyện tập 4: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC. Điểm D không thuộc mặt phẳng (P). Hỏi qua hai đường thẳng AD và BC có xác định được một mặt phẳng không?

Hướng dẫn trả lời: 

Do tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (P) nên (P) đi qua ba điểm A, B, C.

Mà có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Do đó qua ba điểm A, B, C xác định được duy nhất mặt phẳng (P).

Mà điểm D không thuộc mặt phẳng (P) nên bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy không xác định được mặt phẳng nào đi qua hai đường thẳng AD và BC .

IV. Hình chóp và hình tứ diện

Hoạt động 8 : Hình 22 là hình ảnh của một hộp quà lưu niệm có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Quan sát Hình 22 và trả lời các câu hỏi

a) Đỉnh S có nằm trong mặt phẳng (ABCD) hay không?

b) Mỗi mặt phẳng của hộp quà lưu niệm có dạng hình gì?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Đỉnh S không nằm trong mặt phẳng (ABCD).

b) Các mặt bên của hộp quà lưu niệm có dạng hình tam giác cân.

Mặt đáy của hộp quà lưu niệm có dạng hình vuông.

Luyện tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và AD.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (CMN) với các đường thẳng AB, SB.

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (CMN) với mỗi mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Hướng dẫn trả lời: 

a)

+) Trong mặt phẳng (ABCD): Gọi giao điểm của AB với NC là E.

Mà NC ⊂ (CMN)

Suy ra: (CMN) ∩ AB = {E}.

+) Trong mặt phẳng (SAB): Kéo dài EM cắt AB tại F.

Mà EM ⊂ (CMN)

Suy ra (SAB) ∩ EM = {F}.

b)

+) Ta có: M ∈ SA mà SA ⊂ (SAB) nên M ∈ (SAB);

                M ∈ CM mà CM ⊂ (CMN) nên M ∈ (CMN).

Do đó M là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (CMN).

Ta lại có: AB ∩ CN = {E};

                AB ⊂ (SAB);

                CN ⊂ (CMN).

Do đó E là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (CMN).

Vì vậy (SAB) ∩ (CMN) = EM.

+) Ta có: C ∈ SC mà SC ⊂ (SBC);

               C ∈ CM mà CM ⊂ (CMN).

Do đó C là giao điểm của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN).

Ta lại có: SB ∩ EM = {F};

                SB ⊂ (SBC);

                EM ⊂ (CMN).

Do đó F là giao điểm của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN).

Vì vậy (SBC) ∩ (CMN) = CF.

Hoạt động 9: Hình 25 là hình ảnh của khối rubik tam giác (Pyraminx). Quan sát Hình 25 và trả lời các câu hỏi:

a) Khối rubik tam giác có bao nhiêu đỉnh? Các đỉnh có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

b) Khối rubik tam giác có bao nhiêu mặt? Mỗi mặt của khối rubik tam giác là những hình gì?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Khối rubik tam giác có 4 đỉnh. Các đỉnh không cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Khối rubik tam giác có 4 mặt. Mỗi mặt của khối rubik tam giác là hình tam giác.

Luyện tập 6: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AD, BC sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3};\frac{AN}{AD}=\frac{2}{3};\frac{BP}{BC}=\frac{3}{4}$

a) Xác định E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AC, BD với mặt phẳng (MNP).

b) Chứng minh rằng các đường thẳng NE, PF và CD cùng đi qua một điểm.

Hướng dẫn trả lời: 

a)

+) Trong mặt phẳng (ABC), gọi giao điểm của MP  với AC là E.

Mà MP ⊂ (MNP) nên (MNP) ∩ AC = {E}.

+) Trong mặt phẳng (ABD), gọi giao điểm của MN với BD là F.

Mà MP ⊂ (MNP) nên (MNP) ∩ BD = {F}.

b) • Ta có: N ∈ AD, mà AD ⊂ (ACD) nên N ∈ (ACD).

Lại có N ∈ (MNP)

Do đó N là giao điểm của (ACD) và (MNP).

Mặt khác: MP ∩ AC = {E};

                 MP ⊂ (MNP);

                 AC ⊂ (ACD).

Do đó E là giao điểm của (ACD) và (MNP).

Suy ra NE = (MNP) ∩ (ACD).

Trong mặt phẳng (ACD), nối NE cắt CD tại I.

Khi đó I ∈ CD và I ∈ NE ⊂ (MNP)

• Ta có: P ∈ BC, mà BC ⊂ (BCD) nên P ⊂ (BCD)

Lại có P ∈ (MNP)

Do đó P là giao điểm của (BCD) và (MNP).

Mặt khác: MN ∩ BD = {F}.

                 MN ⊂ (MNP);

                 BD ⊂ (BCD) .

Do đó F là giao điểm của (BCD) và (MNP).

Suy ra PF = (BCD) ∩ (MNP).

Trong mặt phẳng (BCD), gọi giao điểm của CD với PF là I.

Khi đó I ∈ CD, mà CD ⊂ (ACD)

            I ∈ PF, mà PF ⊂ (MNP)

Suy ra I là giao điểm của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

Hay I nằm trên giao tuyến NE của (MNP) và (ACD).

Do đó I ∈ NE.

Vậy ba đường thẳng NE, PF, CD cùng đi qua điểm I.

Bài tập

Bài tập 1: Khi trát tường, dụng cụ không thể thiếu của người thợ là thước dẹt dài (Hình 28). Công dụng của thước dẹt này là gì? Giải thích.

Hướng dẫn trả lời: 

Công dụng của thước dẹt: Kiểm tra xem mặt tường đã phẳng chưa.

⇒ Áp thước vào mặt tường, nếu toàn bộ thước áp khít vào mặt tường thì mặt tường đã được trát phẳng, nếu thước không khít vào mặt tường thì cần bổ sung thêm vữa trát vào phần chưa khít đó.  

Bài tập 2: Hình 29 là hình ảnh của chặn giấy gỗ có bốn mặt phân biệt là các tam giác. Vẽ hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ đó.

Hướng dẫn trả lời: 

Hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ là:

Bài tập 3: Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy.

Hướng dẫn trả lời: 

Giả sử a ∩ b = {I} và α = mp(a, b);

            a ∩ c = {J} và β = mp(a, c);

            b ∩ c = {K} và γ = mp(b, c) với các điểm I, J, K phân biệt.

Khi đó α ∩ β = a và đường thẳng a chính là đường thẳng IJ.

            α ∩ γ = b và đường thẳng b chính là đường thẳng IK.

            β ∩ γ = c và đường thẳng c chính là đường thẳng JK.

Mà chỉ có một mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm I, J, K, đó là (IJK)

Khi đó a, b, c cùng thuộc mặt phẳng (IJK), điều này trái với giả thiết a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Vậy I, J, K phải trùng nhau hay a, b, c đồng quy.

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD tại O và AB cắt CD tại P. Điểm M thuộc cạnh SA (M khác S, M khác A). Gọi N là giao điểm của MP và SB, I là giao điểm của MC và DN. Chứng minh rằng S, O, I thẳng hàng.

Hướng dẫn trả lời: 

• Ta có: S ∈ (SAC) và S ∈ (SBD)

Do đó S là giao điểm của (SAC) và (SBD).

Mặt khác: AC ∩ BD = {O}.

                 AC ⊂ (SAC);

                 BD ⊂ (SBD).

Do đó O là giao điểm của (SAC) và (SBD).

Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO.

• Trong mặt phẳng (DMNC) có:

   DN ∩ MC = {I}.

   DN ⊂ (SDB);

   MC ⊂ (SAB).

Do đó I là giao điểm của (SAC) và (SBD).

Suy ra giao tuyến SO của hai mặt phẳng này đi qua điểm I.

Hay I ∈ SO.

Vậy S, I, O thẳng hàng.

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC sao cho MA = 2MS, NS = 2NC.

a) Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (ABC).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BMN) với mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn trả lời: 

a) Trong mặt phẳng (SAC), gọi giao điểm của MN và AC là P.

Mà AC ⊂ (SAC)

Do đó MN ∩ (ABC) = {P}.

b) Ta có MN ∩ (ABC) = {P} nên P ∈ (ABC)

Lại có P ∈ MN mà MN ⊂ (BMN) nên P ∈ (BMN)

Do đó P là giao điểm của (BMN) và (ABC).

Mặt khác: B ∈ (BMN) và B ∈ (ABC).

Do đó B là giao điểm của (BMN) và (ABC).

Vì vậy (BMN) ∩ (ABC) = BP.

Bài tập 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi M là trung điểm của SA.

a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng (SAB).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SBC).

Hướng dẫn trả lời: 

a) Trong mặt phẳng (ABCD) ta có: gọi giao điểm của AB và CD là N.

Mà AB ⊂ (SAB)

Do đó CD ∩ (SAB) = {N}.

b) Ta có: AB ∩ CD = {N};

               AB ⊂ (SAB);

               CD ⊂ (SCD)

Do đó N là giao điểm của (SAB) và (SCD).

Lại có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD).

Nên S là giao điểm của (SAB) và (SCD).

Vì vậy (SAB) ∩ (SCD) = SN.

c) Ta có: C ∈ (SBC) và C ∈ (MCD).

Do đó C là giao điểm của (SBC) và (MCD).

Trong mặt phẳng (SAB), gọi Q là giao điểm của MN và SB.

Mà MN ⊂ (MCD) và SB ⊂ (SBC)  

Suy ra Q là giao điểm của (SBC) và (MCD).

Vì vậy (SBC) ∩ (MCD) = CQ.

Bài tập 7: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{1}{3}$

Hướng dẫn trả lời: 

a)

+) Xét tam giác BCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.

Mà M là trọng tâm tam giác BCD nên BI đi qua M.

Do đó M ∈ BI.

Lại có AI ⊂ (ABI) nên M ∈ (ABI).

+) Xét tam giác ACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.

Mà N là trọng tâm tam giác ACD nên AI đi qua N.

Do đó N ∈ AI.

Lại có BI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).

b) Trong ΔBCD có M là trọng tâm tam giác nên $\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$

Trong ΔACD có N là trọng tâm tam giác nên $\frac{NI}{BI}=\frac{1}{3}$

Xét ΔABI có: $\frac{NI}{AI}=\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$  nên MN // AB (theo định lí Thalés đảo).

Xét ΔABI và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalés ta có $\frac{MN}{AB}=\frac{NI}{AI}=\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$

Xét ΔABG và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalés ta có $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$

c)

• Gọi G’ là giao điểm của AM và CP; G’’ là giao điểm của AM và DQ.

Chứng minh tương tự câu b, ta có: $\frac{G'M}{G'A}=\frac{G'P}{G'C}=\frac{PM}{AC}=\frac{1}{3}$ và $\frac{G"M}{G"A}=\frac{G"Q}{G"D}=\frac{QM}{AD}=\frac{1}{3}$

Do đó $\frac{GM}{GA}=\frac{G'M}{G'A}=\frac{G"M}{G"A}=\frac{1}{3}$

Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.

Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.

• Xét tam giác ABC, kẻ đường trung tuyến AE (E ∈ BC).

Ta có: Q là trọng tâm tam giác ABC nên $\frac{AQ}{AE}=\frac{2}{3}$

Xét tam giác ABD, kẻ đường trung tuyến AF (F ∈ BD).

Ta có: P là trọng tâm ΔABD nên $\frac{AP}{AF}=\frac{2}{3}$

+) Trong mặt phẳng (AEF), có: $\frac{AQ}{AE}=\frac{AP}{AE}=\frac{2}{3}$ nên PQ // EF (định lí Thalés đảo)

Mà EF // CD (đường trung bình tam giác BCD).

Suy ra PQ // CD

Theo hệ quả định lí Thalés ta có:

$\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{QP}{CD}=\frac{QP}{2EF}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$