Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới Bài tập cuối chương VIII

Bài 1 trang 116 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Cho hình lập phương MNPQ.M'N'P'Q' có cạnh bằng a 

a) Góc giữa đường thẳng MN và M'P' bằng:

A. $30^{\circ}$     B. $45^{\circ}$     C. $60^{\circ}$      D. $90^{\circ}$

b) Gọi là số đo góc giữa đường thẳng M'P và mặt phẳng (MNPQ). Giá trị bằng:

A. 1     B. 2       C. $\sqrt{2}$      D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

c) Số đo của góc nhị diện [N, MM', P] bằng:

A. $30^{\circ}$     B. $45^{\circ}$     C. $60^{\circ}$      D. $90^{\circ}$

d) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (NQQ'N') bằng:

 A. a     B. $\frac{a}{\sqrt{2}}$       C. $a\sqrt{2}$      D. $\frac{a}{2}$

Hướng dẫn giải

a)  Có M'P' // MP 

=> Góc giữa đường thẳng M'P' và MN bằng góc giữa đường thẳng MP và MN là $\widehat{NMP}=45^{\circ}$  => Phương án B

b) Có MM' ⊥ (MNPQ) 

=> Góc giữa đường thẳng M'P và (MNPQ) là $\widehat{MPM'}$

$MP=\sqrt{MN^{2}+NP^{2}}=a\sqrt{2}$

=> $tan\widehat{MPM'}=\frac{MM'}{MP}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ => Phương án D

c) $MM'\perp (MNPQ) => MM'\perp MN, MM' \perp MP$

=> $\widehat{NMP}=45^{\circ}$ => Phương án B

d) Gọi $O=MP\cap NQ$

MNPQ là hình vuông => $MO\perp NQ$

$NN'\perp (MNPQ)$ => $NN'\perp MO$

=> $d(M,(NQQ'N'))=MO=\frac{1}{2}MP=\frac{a}{\sqrt{2}}$ => Phương án B

Bài 2 trang 116 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Cho hình hộp chữ nhật MNPQ.M'N'P'Q' có $MN=2a, MQ=3a, MM'=4a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng NP và M'N' bằng

A. 2a       B. 3a      C. 4a      D. 5a

Hướng dẫn giải

Có NP ⊥ NN'

M'N' ⊥ NN'

=> d(NP, M'N') = NN' = 4a => Đáp án C

Bài 3 trang 116 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $a^{2}$ và chiều cao bằng 3a. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng:

A. $a^{3}$     B. $3a^{3}$      C. $\frac{a^{3}}{3}$      D. $9a^{3}$

Hướng dẫn giải

Có $V = a^{2}.3a=3a^{3}$ => Đáp án B

Bài 4 trang 116 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho khối chóp có diện tích đáy là $a^{2}$ và chiều cao là 3a. Thể tích của khối chóp bằng: 

A. $a^{3}$     B. $3a^{3}$      C. $\frac{a^{3}}{3}$      D. $9a^{3}$

Hướng dẫn giải

$V=\frac{1}{3}\cdot a^{2}\cdot 3a=\frac{3a^{3}}{3}=a^{3}$ => Đáp án A

Bài 5 trang 116 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho tứ diện OABC thỏa mãn $OA=a, OB=b, OC = c$, 

$\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COA}=90^{\circ}$. Thể tích của khối tứ diện OABC bằng: 

A. abc      B. $\frac{abc}{2}$      C. $\frac{abc}{3}$       D. $\frac{abc}{6}$

Hướng dẫn giải

$V_{OABC}=\frac{1}{6}abc$ => Đáp án D

Bài 6 trang 116 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABC có: $SA ⊥ (ABC), AC ⊥ BC, SA=BC=a\sqrt{3}, AC=a$

a) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC

b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)

c) Tính số đo góc nhị diện [B, SA, C]

d) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) 

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC

g) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

Hướng dẫn giải

a) SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC => $(SA, BC) = 90^{\circ}$

b) SA ⊥ (ABC) => $(SC, (ABC))=(SC, AC)=\widehat{SCA}$

Có tam giác SAC vuông tại A

=> $tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$

=> $\widehat{SCA}=60^{\circ}$

c) $SA \perp (ABC)$ => $SA\perp AB, SA\perp AC$

=> $\widehat{BAC}$ là góc nhị diện [B,SA,C]

=> $tan \widehat{BAC}=\frac{BC}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$

=> $\widehat{BAC}=60^{\circ}$

d) Có $SA \perp BC, AC \perp BC => BC \perp (SAC)$

=> $d (B,(SAC))=BC=a\sqrt{3}$

e) $SA \perp (ABC)$ => $SA \perp AC, AC\perp BC$

=> $d (SA,BC)=AC=a$

g) $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

$h=SA=a\sqrt{3}$

=> $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta ABC}.SA=\frac{a^{3}}{2}$

Bài 7 trang 117 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB (Hình 100).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và B'C'.
b) Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC).
c) Tính số đo của góc nhị diện [B, CC,M).
d) Chứng minh rằng CC’ // (ABB’A’). Tính khoảng cách giữa đường thẳng CC và mặt phẳng (ABB’A’).
e) Chứng minh rằng CM ⊥ (ABB'A’). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC” và A’M.

g) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ và thể tích khối chóp A’.MBC.

Hướng dẫn giải

a) BCC'B' là hình chữ nhật => BC // B'C'

=> $(AB, B'C')=(AB,BC)=\widehat{ABC}=60^{\circ}$

b) Có tam giác AA'B vuông tại A => $tan\widehat{AB'A}=\frac{AA'}{AB}=\frac{a}{a}=1 => \widehat{ABA'}=45^{\circ}$

c) Có CC' ⊥ (ABC) => CC' ⊥ BC, CC' ⊥ CM

=> $\widehat{BCM}$ là góc nhị diện [B, CC', M]

Có tam giác ABC đều => $\widehat{BCM}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=30^{\circ}$

d) Có SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ CM

mà tam giác ABC đều => CM ⊥ AB

=> CM ⊥ (ABB'A')

=> $CMCM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

- Có CC' // (ABB'A')

$=> d (CC', (ABB'A'))= d(C, (ABB'A')) = CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

e) Có CM ⊥ (ABB'A') => CM ⊥ A'M

=> CC' ⊥ (ABC)  => CC' ⊥ CM

=> $d (CC', A'M) = CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

g) $S_{\Delta ABC}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$,

$h=AA'=a$

=> $V_{ABC.A'B'C'}=S_{\Delta ABC}.AA'=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$

Có $S_{\Delta MBC}=\frac{1}{2}S_{\Delta ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}$

=> $V_{A'.MBC}=\frac{1}{3}S_{\Delta MBC}.AA'=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}\cdot a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$

Bài 8 trang 117 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Đền Kukulcan (Hình 101) là một kim tự tháp Trung Mỹ nằm ở khu di tích Chichen Itza, Mexico, được người Maya xây vào khoảng từ thế kỉ IX đến thế kỉ XII. Phần thân của đền, không bao gồm ngôi đền nằm phía trên, có dạng một khối chóp cụt tứ giác đều (không tính cầu thang và coi các mặt bên là phẳng) với độ dài đáy dưới là 55,3 m, chiều cao là 24 m, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là khoảng 47.

Hướng dẫn giải

Có ABCD là hình vuông

=> $AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=55,3\sqrt{2}$

=> $CO=\frac{1}{2}AC=27,65\sqrt{2}$

Kẻ C'H ⊥ OC => C'H // OO' => C'H ⊥ (ABCD)

=> $(CC', (ABCD)) = (CC', CH) = \widehat{HCC'}=47^{\circ}$

Có OHC'O' là hình chữ nhật 

=> $OO' = C'H = 24$

Có tam giác CC'H vuông tại H

=> $CH=\frac{C'H}{tan\widehat{HCC'}}=\frac{24}{tan47^{\circ}}\approx 22,38$

Có $O'C'=OH=CO-CH\approx 16,72$

=> $A'C'=2.O'C'=33,44$

Có A'B'C'D' là hình vuông => $A'B'=\frac{A'C'}{\sqrt{2}}\approx 23,65$

Diện tích đáy lớn là

$S=AB^{2}=55,3^{2}=3058,09 (m^{2})$

Diện tích đáy bé là 

$S=A'B'^{2}=23,65^{2}=545,2225 (m^{2})$

Thể tích hình chóp cụt là 

$V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{SS'}+S')\approx 39156 (m^{3})$