Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 1: Dãy số

Khởi động 

Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định. Số cánh hoa trong các bông hoa thường xuất hiện nhiều theo những con số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Ta có thể viết số cánh hoa của các bông hoa ở các hình trên lần lượt như sau: vị trí thứ nhất viết số 1, vị trí thứ hai viết số 1, vị trí thứ ba viết số 2,..., vị trí thứ tám viết số 21.

Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm nào trong toán học?

Hướng dẫn trả lời: 

Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm “dãy số” trong toán học. Bài học ngày hôm nay sẽ tìm hiểu về khái niệm này.

I. Khái niệm

Hoạt động 1: Một vật chuyển động đều với vận tốc 20 m/s. Hãy viết các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang.

Hướng dẫn trả lời: 

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 1 giây là: 20 . 1 = 20 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 2 giây là: 20 . 2 = 40 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 3 giây là: 20 . 3 = 60 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 4 giây là: 20 . 4 = 80 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 5 giây là: 20 . 5 = 100 (m).

Vậy các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang là: 20, 40, 60, 80, 100.

Luyện tập 1: Hàm số u(n) = n$^{3}$ xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; 4; 5} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.

Hướng dẫn trả lời: 

Số hạng đầu của khai triển là $u_{1}$ = u(1) = 1$^{3}$ = 1.

Số hạng cuối của khai triển là $u_{5}$ = u(5) = 5$^{3}$ = 125.

Dãy số được viết dưới dạng khai triển là: 1; 8; 27; 64; 125.

Hoạt động 2: Cho hàm số u(n) = $\frac{1}{n}$, n ∈ ℕ*. Hãy viết các số $u_{1}; u_{2}; ...; u_{n}; ... $ theo hàng ngang.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{1}=\frac{1}{1}=1;u_{2}=\frac{1}{2};u_{3}=\frac{1}{3};...;u_{n}=\frac{1}{n};...$

Luyện tập 2: Cho dãy số $(u_{n}) = n^{2}$.

a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$

b) Viết dạng khai triển của dãy số $(u_{n})$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: $u_{1}=1^{2}=1;u_{2}=2^{2}=4;u_{3}=3^{2}=9;u_{4}=4^{2}=16;u_{5}=5^{2}=25$

Số hạng tổng quát của dãy số $u_{n}$ là $(u_{n}) = n^{2}$. với n ∈ ℕ.

b) Dạng khai triển của dãy số $u_{1}=1;u_{2}=4;u_{3}=9;u_{4}=16;u_{5}=25,...,(u_{n}) = n^{2},...$

II. Cách cho một dãy số

Hoạt động 3: Xét mỗi dãy số sau:

● Dãy số: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 (1)

● Cho số $\sqrt{2}$ =1,414213562... . Dãy số ($u_{n}$) được xác định bởi: Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, un là số thập phân hữu hạn có phần số nguyên là 1 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng sau dấu “,” của số $\sqrt{2}$ . Cụ thể là: $u_{1} = 1,4; u_{2} = 1,41; u_{3} = 1,414; u_{4} = 1,4142; u_{5} = 1,41421; ...$ (2)

● Dãy số ($u_{n}$) với $(u_{n}) = (– 2)^{n}$ (3)

● Dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi: $u_{1} = 1$ và $u_{n} = u_{n-1} + 2$ với mọi n ≥ 2 (4)

a) Hãy nêu cách xác định mỗi số hạng của lần lượt các dãy số (1), (2), (3), (4).

b) Từ đó hãy cho biết dãy số có thể cho bằng những cách nào.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Cách xác định mỗi số hạng của các dãy số đã cho là:

- Dãy số (1) được xác định bằng cách liệt kê.

- Dãy số (2) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

- Dãy số (3) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

- Dãy số (4) được xác định bằng cách cho bằng phương pháp quy hồi.

b) Từ ý a) ta có thể thấy dãy số có thể cho bằng 4 phương pháp: liệt kê, diễn đạt bằng lời các xác định mỗi số hạng của dãy số đó, cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó, cho bằng phương pháp quy hồi.

Luyện tập 3: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n-3}{3n+1}$ . Tìm $u_{33},u_{333}$ và viết dãy số dưới dạng khai triển

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{33}=\frac{33-3}{3.33+1}=\frac{3}{10}=0.3$

$u_{333}=\frac{333-3}{3.333+1}=\frac{33}{100}=0.33$

Dãy số dưới dạng khai triển là:

$u_{1}=-\frac{1}{2};u_{2}=-\frac{1}{7};u_{3}=0;u_{4}=\frac{1}{13};...;u_{n}=\frac{n-3}{3n+1};...$

III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Hoạt động 4: Cho dãy số ($u_{n}$) với $u_{n} = n^{2}$. Tính $u_{n+1}$. Từ đó, hãy so sánh $u_{n+1}$ và $u_{n}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{n+1} = (n + 1)^{2} = n^{2} + 2n + 1$.

Xét hiệu: $u_{n+1} – u_{n} = n^{2} + 2n + 1 – n^{2} = 2n + 1 > 0$ với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy $u_{n+1} > u_{n}$.

Luyện tập 4: Chứng minh rằng dãy số $(v_{n})$ với $v_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ là một dãy số giảm

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $v_{n+1}=\frac{1}{3^{n+1}}$

Xét hiệu $v_{n+1}-v_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}-\frac{1}{3^{n}}=-\frac{2}{3}.\frac{1}{3^{n}}<0$

Suy ra $v_{n+1}<v_{n}$

Vậy dãy số giảm

IV. DÃY SỐ BỊ CHẶN

Hoạt động 5: Cho dãy số ($u_{n}$) với $u_{n} = 1+\frac{1}{n}$ . Khẳng định $u_{n}$ ≤ 2 với mọi n ∈ ℕ* có đúng không?

Hướng dẫn trả lời: 

Xét hiệu $u_{n} – 2 = 1+\frac{1}{n}+2=\frac{1}{n}-1$

Vì n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 suy ra $\frac{1}{n}≤1$ do đó: $\frac{1}{n}-1≤ 0 $.

Vậy $u_{n} – 2 ≤ 0$ hay $u_{n} ≤ 2$.

Luyện tập 5: Chứng minh rằng dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+4}$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+4}=\frac{1}{2}(\frac{n^{2}+1}{n^{2}+2})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n^{2}+2})<\frac{1}{2}$

Ta lại có: $u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+4}>0$

Do đó $0<u_{n}<\frac{1}{2}$

Vì vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn

Bài tập 

Bài tập 1: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức sau:

a) $u_{n}=2n^{2}+1$

b) $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2n-1}$

c) $u_{n}=\frac{2^{n}}{n}$

d) $u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy $(u_{n})$ là $u_{1}=2.1^{2}+1=3;u_{2}=2.2^{2}+1=9;u_{3}=2.3^{2}+1=19;u_{4}=2.4^{2}+1=33;u_{5}=2.5^{2}+1=51$

b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2n-1}$ là:

$u_{1}=\frac{(-1)^{1}}{2.1-1}=\frac{-1}{1}=-1$

$u_{2}=\frac{(-1)^{2}}{2.2-1}=\frac{1}{3}$

$u_{3}=\frac{(-1)^{3}}{2.3-1}=-\frac{1}{5}$

$u_{4}=\frac{(-1)^{4}}{2.4-1}=\frac{1}{7}$

$u_{5}=\frac{(-1)^{5}}{2.5-1}=-\frac{1}{9}$

c) Ta có 5 số hạng đầu của dãy $u_{n}=\frac{2^{n}}{n}$ là

$u_{1}=\frac{2^{1}}{1}=2;u_{2}=\frac{2^{2}}{2}=2;u_{3}=\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3};u_{4}=\frac{2^{4}}{4}=4;u_{5}=\frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}$

d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy $u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$ là:

$u_{1}=(1+\frac{1}{1})^{1}=2;u_{2}=(1+\frac{1}{2})^{2}=\frac{9}{4};u_{3}=(1+\frac{1}{3})^{3}=\frac{64}{27};$

$u_{4}=(1+\frac{1}{4})^{4}=\frac{625}{256};u_{5}=(1+\frac{1}{5})^{5}=\frac{7776}{3125}$

Bài tập 2:

a) Gọi u$_{n}$ là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát cho dãy số (u$_{n}$).

b) Gọi v$_{n}$ là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (v$_{n}$).

Hướng dẫn trả lời: 

a) Số chấm ở hàng thứ nhất là: u$_{1}$ = 1;

Số chấm ở hàng thứ hai là: u$_{2}$ = 2;

Số chấm ở hàng thứ ba là: u$_{3}$ = 3;

Số chấm ở hàng thứ tư là: u$_{4}$ = 4;

Vậy số chấm ở hàng thứ n là: u$_{n}$ = n.

b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: $v_{1} = 1 = 1^{3}$;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: $v_{2} = 8 = 2^{3}$;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: $v_{3} = 27 = 3^{3}$;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: $v_{4} = 64 = 4^{3}$;

Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: $v_{n} = n^{3}$.

Bài 3: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số $(u_{n})$, biết:

a) $u_{n}=\frac{n-3}{n+2}$

b) $u_{n}=\frac{3^{n}}{2^{n}.n!}$

c) $u_{n}=(-1)^{n}.(2^{n}+1)$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{n+1}=\frac{n+1-3}{n+1+2}=\frac{n-2}{n+3}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n}=\frac{n-2}{n+3}-\frac{n-3}{n+2}=\frac{n^{2}-4-n^{2}+9}{(n+3)(n+2)}=\frac{5}{(n+3)(n+2)}>0,\forall n\in N^{*}$

Suy ra $u_{n+1}>u_{n}$

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng

b) Ta có $u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}.(n+1)!}=\frac{3.3^{n}}{2(n+1).2^{n}.n!}=\frac{3}{2(n+1)}.u_{n}$

Vì $n\in N^{*}$ nên $\frac{3}{2(n+1)}<\frac{3}{2}$ suy ra $u_{n+1}<u_{n}$

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm

c) Ta có $u_{n+1}=(-1)^{n+1}.(2^{n+1}+1)$

Nếu n chẵn thì $u_{n+1}=-(2.2^{n}+1)$ và $u_{n}=2^{n}+1$. Do đó $u_{n+1}<u_{n}$

Vì vậy với n  chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm

Nếu n lẻ thì $u_{n+1}=2.2^{n}+1$ và $u_{n}=-(2^{n}+1)$. Do đó $u_{n+1}>u_{n}$

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng

Bài tập 4: Trong các dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) $u_{n} = n^{2} + 2$;

b) $u_{n} = – 2n + 1$;

c) $u_{n}=\frac{1}{n^{2}+n}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 suy ra $n^{2}$ + 2 ≥ 3

Do đó $u_{n}$ ≥ 3

Vậy dãy số ($u_{n}$) bị chặn dưới bởi 3.

b) Ta có: n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 suy ra $u_{n} = – 2n + 1 ≤ – 1$

Do đó $u_{n}$ ≤ – 1.

Vậy dãy số ($u_{n}$) bị chặn trên bởi – 1.

c) Ta có: $u_{n}=\frac{1}{n^{2}+n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Vì $n\in N^{*}$ nên $n\geq 1$ suy ra $\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}\Rightarrow u_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}>0$

Ta lai có: $\frac{1}{n}\leq 1$ và $-\frac{1}{n+1}\leq -\frac{1}{2}$ suy ra $u_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\leq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Do đó $0<u_{n}\leq \frac{1}{2}$

Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn

Bài tập 5: Cho dãy số thực dương $(u_{n})$. Chứng minh rằng dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng khi và chỉ khi $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}>1$ với mọi n ∈ ℕ*.

Hướng dẫn trả lời: 

Nếu $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}>1$ với mọi n ∈ ℕ* thì $u_{n+1}>u_{n}$. Do đó dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng

Nếu $(u_{n})$ là dãy số tăng thì $u_{n+1}>u_{n}$ do đó $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}>1$

Bài tập 6: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau. Lần đầu chị gửi 100 triệu động. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi P$_{n}$ (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) Dự đoán công thức của P$_{n}$ tính theo n.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là:

P$_{1}$ = 100 + 100.0,5% + 6 = 100,5 + 6 (triệu đồng).

b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

P$_{2}$ = 100,5 + 6 + (100,5 + 6).0,5% + 6= (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 = 100,5(1 + 0,5%) + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

P$_{3}$ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 ].0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)2 + 6(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng).

c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:

P$_{4}$ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6]0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)3 + 6.(1 + 0,5%)3 + 6(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6

Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:

P$_{n}$ = 100,5.(1 + 0,5%)n-1 + 6(1 + 0,5%)n-1 + 6(1 + 0,5%)n-2 + 6.(1 + 0,5%)n-3 + ... + 6 với mọi n ∈ ℕ*