Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 3: Hàm số liên tục

Khởi động

Cầu sông Hàn là một trong những cây cầu bắc qua sông Hàn ở Đà Nẵng. Đây là cây cầu đầu tiên do kĩ sư, công nhân Việt Nam tự thiết kế và thi công. Khi cầu không quay (Hình 10a), mặt cầu liền mạch nên các phương tiện có thể đi lại giữa hai đầu cầu. Khi cầu quay (Hình 10b) để các tàu, thuyền có thể đi qua thì mặt cầu không còn liền mạch nữa, các phương tiện không thể đi qua giữa hai đầu cầu.

Kiến thức gì trong toán học thể hiện chuyển động có đường đi là đường liền mạch?

Hướng dẫn trả lời: 

Kiến thức trong toán học thể hiện chuyển động của đường đi là đường liên mạch đó là kiến thức về hàm số liên tục.

Để tìm hiểu kĩ hơn hàm số liên tục là gì thì chúng ta sẽ cùng tìm hiểu bài học ngày hôm nay. Bài học: “Hàm số liên tục”.

I. KHÁI NIỆM

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Hoạt động 1: Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x ở Hình 11.

a) Tính $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$

b) So sánh $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ và f(1)

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}x=1$

b) Ta có: f(1) = 1 nên $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)$

Luyện tập 1: Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=x^{3}$ tại $x_{0}=1$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}(x^{3}+1)=2$ và $f(1)=1^{3}+1=2$

Suy ra $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)$

Vì vậy hàm số liên tục tại $x_{0}=1$

2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

Hoạt động 2: Cho hàm số f(x) = x + 1 với x ∈ ℝ.

a) Giả sử x$_{0}$ ∈ ℝ. Hàm= số f(x) có liên tục tại điểm x$_{0}$ hay không?

b) Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x + 1 với x ∈ ℝ (Hình 13), nêu nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm số đó.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Với x$_{0}$ ∈ ℝ bất kì ta có: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=x_{0}+1-f(x_{0})$. Do đó hàm số liên tục tại x = x$_{0}$.

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số là một đường thẳng liền mạch với mọi giá trị x ∈ ℝ.

Luyện tập 2: Hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}x-1 & khi x < 2 \\ -x & khi x\geq 2 \end{matrix}\right.$. Có liên tục trên R hay không?

Hướng dẫn trả lời: 

Với mỗi $x_{0}\in (-\infty ;2)$ có $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}(x-1)=x_{0}-1=f(x_{0})$ là hàm số liên tục

Với mỗi $x_{0}\in (2;+\infty )$ có $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}(-x)=-x_{0}=f(x_{0})$ là hàm số liên tục

Tại x = 2, ta có: $\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x-1)=1$ và f(2) = -2 nên $\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)\neq f(2)$

II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản

Hoạt động 3: Quan sát đồ thị các hàm số: y = x$^{2}$ – 4x + 3 (Hình 14a); y = $\frac{x+1}{x-1}(x\neq 1)$ (Hình 14b); y = tanx (Hình 14c) và nêu nhận xét về tính liên tục của mỗi hàm số đó trên từng khoảng của tập xác định.

Hướng dẫn trả lời: 

Hình 14a) đồ thị là đường cong Parabol liền mạch nên hàm số liên tục trên toàn bộ khoảng xác định.

Hình 14b) đồ thị bị chia làm hai nhánh:

- Với x < 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.

- Với x > 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.

Vậy hàm đố liên tục trên từng khoảng xác định.

Hình 14c) đồ thị hàm số y = tanx chia thành nhiều nhánh, và mỗi nhánh là các đường cong liền. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng xác định của chúng.

Luyện tập 3: Hàm f(x)=$f(x)=\frac{x+2}{x-8}$ có liên tục trên mỗi khoảng (– ∞; 8), (8; + ∞) hay không?

Hướng dẫn trả lời: 

Do f(x)=$f(x)=\frac{x+2}{x-8}$ nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng (– ∞; 8), (8; + ∞).

2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

Hoạt động 4: Cho hai hàm số f(x)= x$^{3}$ + x và g(x) = x$^{2}$ + 1 (x ∈ ℝ). Hãy cho biết:

a) Hai hàm số f(x), g(x) có liên tục tại x = 2 hay không.

b) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x); f(x).g(x); $\frac{f(x)}{g(x)}$ có liên tục tại x = 2 hay không

Hướng dẫn trả lời: 

a) Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{3}+x)= 2^{3}+2 = 10 = f(2)$. Do đó hàm số f(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{2}+1)= 2^{2}+1 = 5 = g(2)$. Do đó hàm số g(x) liên tục tại x = 2.

b) Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)+\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x)=10+5=15=f(2)+g(2)$

Do đó hàm số f(x) + g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(f(x)-g(x))=\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)-\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)=10-5=5=f(2)-g(2)$

Do đó hàm số f(x) – g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(f(x).g(x))=\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x).\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)=10.5=50=f(2).g(2)$

Do đó hàm số f(x).g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)}{\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)}=\frac{10}{5}=2=\frac{f(2)}{g(2)}$

Do đó hàm số $\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại x = 2.

Luyện tập 4: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = sinx + cosx trên ℝ.

Hướng dẫn trả lời: 

Hàm số sinx và cosx liên tục trên ℝ.

Do đó hàm số y = sinx + cosx liên tục trên ℝ.

Bài tập

Bài tập 1: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = 2x$^{3}$ + x + 1 tại điểm x = 2.

Hướng dẫn trả lời: 

Hàm số f(x) = 2x$^{3}$ + x + 1 xác định trên ℝ.

Ta có:$\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(2x^{3}+x+1)=2.2^{3}+2+1=17=f(2)$

Do đó hàm số liên tục tại x = 2.

Bài tập 2: Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.

Hướng dẫn trả lời: 

+) Hình 15a): Hàm số f(x) = x$^{2}$ – 2x có tập xác định D = ℝ.

Hàm số liên tục trên toàn bộ ℝ.

+) Hình 16b): Hàm số g(x)=$\frac{x}{x-1}$ có tập xác định D = ℝ\{1}.

Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số.

+) Hình 16c):

Với x ∈ (– ∞; – 1) có f(x) = – 2x liên tục.

Với x ∈ (– 1; ∞) có f(x) = x + 1 liên tục.

Tại x = – 1 có $\underset{x\rightarrow -1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow -1}{lim}2x=-2$ và f(– 1) = – 1 + 1 = 0.

Suy ra $\underset{x\rightarrow -1}{lim}f(x)\neq f(-1)$. Do đó hàm số liên tục tại x = – 1.

Vậy hàm số kiên tục trên các khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; ∞).

Bài tập 3: Bạn Nam cho rằng: “Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x$_{0}$, còn hàm số y = g(x) không liên tục tại x$_{0}$, thì hàm số y = f(x) + g(x) không liên tục tại x$_{0}$”. Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.

Hướng dẫn trả lời: 

Theo em ý kiến của bạn Nam là đúng.

Ta có: Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x$_{0}$ nên $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

Hàm số y = g(x) không liên tục tại x$_{0}$ nên $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}g(x)\neq g(x_{0})$

Do đó $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)+\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}g(x)\neq f(x_{0})+g(x_{0})$

Vì vậy hàm số không liên tục tại x$_{0}$.

Bài tập 4: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:

a) $f(x)=x^{2}+sinx$

b) $g(x)=x^{4}+x^{2}+\frac{6}{x-1}$

c) $h(x)=\frac{2x}{x-3}+\frac{x-1}{x+4}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Hàm số f(x) = x$^{2}$ + sinx có tập xác định là ℝ.

Hàm số x$^{2}$ và sinx liên tục trên ℝ nên hàm số f(x) = x$^{2}$ + sinx liên tục trên ℝ.

b) Hàm số g(x) = $x^{4}-x^{2}+\frac{6}{x-1}$ có tập xác định là ℝ\{1}.

Hàm số $x^{4}-x^{2}$ liên tục trên toàn bộ tập xác định

Hàm số $\frac{6}{x-1}$ liên tục trên các khoảng ( – ∞; 1) và (1; +∞).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số.

c) Hàm số h(x) = $\frac{2x}{x-3}+\frac{x-1}{x+4}$ có tập xác định D = ℝ\{– 4; 3}.

Hàm số $\frac{2x}{x-3}$ liên tục trên các khoảng ( – ∞; 3) và (3; +∞).

Hàm số $\frac{x-1}{x+4}$ liên tục trên các khoảng ( – ∞; – 4) và (– 4; +∞).

Bài tập 5: Cho hàm số f(x) = $\left\{\begin{matrix}x^{2}+x+1 & khi x\neq 4 \\ 2a+1 & khi x= 4 \end{matrix}\right.$

a) Với a = 0, xét tính liên tục của hàm số tại x = 4.

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4?

c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Với a = 0, tại x = 4, ta có:

$\underset{x\rightarrow 4}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 4}{lim}(x^{2}+x+1)=4^{2}+4+1=21$ và f(4) = 2.0 + 1 = 1

Suy ra $\underset{x\rightarrow 4}{lim}f(x)\neq f(4)$

Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 4.

b) Ta có: $\underset{x\rightarrow 4}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 4}{lim}(x^{2}+x+1)=4^{2}+4+1=21$ và f(4) = 2.a + 1

Để hàm số liên tục tại x = 4 thì $\underset{x\rightarrow 4}{lim}f(x)= f(4)$

⇔ 21 = 2a + 1

⇔ 2a = 20

⇔ a = 10

Vậy với a = 10 thì hàm số liên tục tại x = 4.

c) Với x ∈ (– ∞; 4) có f(x) = x$^{2}$ + x + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Với x ∈ (4; +∞) có f(x) = 2a + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Tại x = 4 thì a = 10 hàm số liên tục.

Vậy với a = 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

Bài tập 6: Hình 16 biểu thị độ cao h(m) của một quả bóng đá lên theo thời gian t(s), trong đó h(t) = – 2t$^{2}$ + 8t.

a) Chứng tỏ hàm số h(t) liên tục trên tập xác định.

b) Dựa vào đồ thị hãy xác định $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(-2t^{2}+8t)$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Hàm số h(t) = – 2t$^{2}$ + 8t là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định.

b) Dựa vào đồ thị hàm số khi t tiến dần đến 2 thì h(t) dần đến 8.

Vậy $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(-2t^{2}+8t)=8$